Notas sobre REDES COMPLEJAS Famaf Noviembre 2 2005

Notas sobre REDES COMPLEJAS Famaf, Noviembre 2, 2005 1

● Motivación y elementos de redes ● Ejemplos de redes complejas ● Conceptos básicos ● Análisis de algunas Redes Reales 2

Introducción: Motivación (1) Expresiones Populares de Small Worlds ¿A cuántos saludos estás tú de Bill Clinton? Six degrees of separation 1 Los números de Kevin Bacon y de Paul Erdös PE-0 1 1 2 2 Los seis grados de M. Lewinski 3 3

Introducción: Motivación (2) Motivación para Redes Complejas Incapacidad de las redes aleatorias de capturar algunas características básicas de las redes complejas y generar principios de organización no triviales. Sumado a la gran cantidad de información disponible en diferentes sistemas complejos por los avances en Computacion y obtencion de datos de sistemas reales. 4

Introducción: Elementos de Redes (1) Describen amplia variedad de sistemas naturales, tecnológicos y sociales. Se representan por medio de grafos dirigidos o nodirigidos. Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i, j) conecta los nodos i y j Cada nodo tiene un número entero no-negativo de enlaces conectados (grado del nodo). 5

Introducción: Elementos de Redes (2) A complex network often is the skeleton of a complex system Satellite View NY City Area Conmuter View NY City Area 6

Introducción: Elementos de Redes (1) The way in which nodes connect each other is relevant in many aspects… Pinochet 7

Introducción: Elementos de Redes (1) More often networks in Nature are non homogeneous Homogeneous Scale-free P(k) ~ k - In random nets most nodes are linked by about the same number of links (k), while in scale-free nets a few are extremely well connected. 8

Introducción: Elementos de Redes (1) A few numbers to pay attention Homogeneous l. Average minimal length: L (shortest distance between any two nodes) l. Clustering: C(k) (how many of your links are also mutually linked) The “few well connected” Random Scale-free Small word Is “small-world” if: l C >> Crand l L ~ Lrand 9

Introducción: Elementos de Redes (1) Example The highway system is homogeneous The consequence of deleting a node (city or airport) is dramatically different in these two cases. The airline network is Scale-Free Scale-free nets, in terms of resistance to damage are: Robust (to random) but Fragile (to targeted attack). 1. Introduction 2. Complex Networks 3. Catalogue 4. f. MRI nets 5. Ever New? 6. Cortical Cultures 7. Conclusion 10

Redes Complejas Ejemplos Internet es una red compleja donde los nodos son computadores y routers y las aristas comunican computadores. También se puede definir la red a nivel de inter-dominio (o sistema autónomo), donde cada dominio, compuesto de cientos de routers y computadores, se representa por un único nodo, y un enlace conecta dos dominios si existe a lo menos una ruta que los conecte. 11

Internet 12

Ejemplos de Redes Complejas (2) WWW es una red compleja (virtual) los nodos son las páginas web y las enlaces son los hyperlinks. Se pueden establecer a nivel de dominios y de páginas. www. chialvo. net www. ucla. edu/~dchialvo/ 13

Ejemplos de Redes Complejas (3) Redes Celulares es una red compleja donde los nodos son substratos tales como ATP, ADP y H 2 O y los enlaces representan reacciones químicas (dirigidas) entre los substratos. Interacciones entre proteínas donde los nodos son proteínas y los enlaces conectan proteínas que a través de experimentos se demuestra que interactúan. 14

Nodes: chemicals Metabolic Network (substrates) Links: bio-chemical reactions 15

Nature 408 307 (2000) …“One way to understand the p 53 network is to compare it to the Internet. The cell, like the Internet, appears to be a ‘scale-free network’. ” 16

Ejemplos de Redes Complejas (4) Redes Lingüísticas las palabras son nodos y los enlaces conectan palabras consecutivas (no trivialmente) o casi consecutivas en un texto. Otra red lingüística mantiene los nodos como palabras pero las enlaces son palabras que son sinónimos, antonimos, etc. 17

Ejemplos de Redes Complejas (5) Red Social: Es un conjunto de personas, cada una de ellas conocida para un subconjunto de las restantes. Se puede definir en diferentes contextos particulares, como por ejemplo, la Universidad de Cordoba, y también generales; por ejemplo, el mundo entero. Una motivación para su estudio es conocer los patrones de interacción humana, y otra puede ser investigar implicaciones para la difusión de información y contagio. 18

Red Social: 19

Sex-web Nodes: people (Females; Males) Links: sexual relationships 4781 Swedes; 18 -74; 59% response rate. 20 Liljeros et al. Nature 2001

Ejemplo de Redes Complejas (6) Collaborativas (co-autoría de papers) donde los nodos son científicos y los enlaces representan co-autoría en un paper. El ejemplo más famoso de este tipo de red es en torno al matemático Paul Erdös (número de Erdös). [ más detalle esta red] 21

Ejemplos de Redes Complejas (7) Citaciones en artículos científicos donde los nodos son artículos publicados y un enlace apunta a una referencia de un artículo publicado. (no debería tener ciclos dirigidos) (Physical Review Letters 1975 -94, ISI) Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los actores y una enlace representa una participación conjunta de actores en una película. 22

Ejemplos de Redes Complejas (8) Llamadas Telefónicas (larga distancia). Los nodos son números telefónicos y las aristas son arcos dirigidos del nodo origen al nodo destino de la llamada. (duró el experimento un día - USA) Redes Ecológicas en las cuales los nodos son especies y Los enlaces representan relaciones tipo predador-presa entre las especies. [se estudiaron 7 webs de comida] Contactos sexuales humanos. Los nodos son personas y las enlaces conectan dos personas que se han relacionado sexualmente. (Experimento conducido en Suecia [1996]) 23

Food Web (red troficas) Nodes: trophic species Links: trophic interactions R. J. Williams, N. D. Martinez Nature (2000) R. Sole (cond-mat/0011195) 24

Ejemplos de Redes Complejas (9) Redes Neuronales en las cuales los nodos son neuronas y los enlaces son sinapsis o correlaciones entre (grupos de) neuronas. [C elegans, Corteza Cerebral, Fmri] Redes de Potencia donde los nodos son generadores, transformadores y subestaciones, y los enlaces son líneas de transmisión de alto voltaje. [Western USA ] Otras Redes Circuitos Electrónicos Evolución Viral 25

Mapa del sistema nervioso del C. Elegans 26

Degree k, degree distribution P(k) Degree = total number of connections (edges) from a node In- and out-degrees for directed graphs Average degree <k> Degree distribution P(k) = function expressing the probability that a node has degree k Log distribution (log P(k) as function of log k) is also often used 27

Between 1999 – 2001, researchers found out that most real world networks have the same internal structure: Scale-free networks ie P(k) ~ k-r r constant Why? What does it mean? 28

Scale-free complex networks 29

Nature July 27, 2000 30

Halting Viruses in Scale-Free Networks Classical Epidemiology: epidemic threshold T exists, such that transmission probability < T implies disease will die out Recent Results: w w T = 0 in scale free networks (Pastor-Satorras & Vespigniani 01) Network of sexual contacts is scale-free (Liljeros et al 01) spread of AIDS will not be stopped by traditional methods Solution: immunizing hubs (with degree > k 0) restores positive T ) 31

Barabasi-Albert Scale-free model (1) GROWTH : At every timestep we add a new node with m edges (connected to the nodes already present in the system). (2) PREFERENTIAL ATTACHMENT : The probability Π that a new node will be connected to node i depends on the connectivity ki of that node P(k) ~k-3 A. -L. Barabási, R. Albert, Science 286, 50932(1999)

Hierarchical structures Problem: scale free model did not explain recent discovery of Dorogovtsev et al (in the deterministic scale-free case, 12/01) that C(k) ~ k -1 A new „hierarchical model“ in recent papers by Ravascz, Barabasi et al (Science Sep 02, Phys Rev E in press) integrates modularity and scalefreedom 33

Hierarchical growth 34

Hierarchical vs. „classical“ scalefree models 35

Measurements for some networks 36

CONCEPTOS BÁSICOS Small Worlds (Mundos Pequeños) [o el fenómeno de los seis grados de separación] En algunas redes (pudiendo tener millones de nodos), el camino más corto (CMC) entre dos nodos cualesquiera (en promedio), medido como la cantidad de aristas en el camino, es un número pequeño. (típicamente menor a 7) 37

Conceptos Básicos: Small Worlds (2) Esta propiedad es aplicable a muchas redes complejas, como redes de actores de cine, donde el promedio CMC es aprox. 3, o los substratos en una célula están separados por 3 reacciones. Ejemplo hecho a mano: 38

Conceptos Básicos: Small Worlds (3) El psicólogo S. Milgram (Yale U. ) [67] realizó un experimento que partía seleccionando 300 personas al azar en USA (Boston y Omaha), debidamente instruídos para enviar una carta a única persona “objetivo” en Boston. Estos diseminadores disponían de ciertas guías acerca de la persona objetivo, tal como su localización geográfica y ocupación. Con base en esta información, los diseminadores debieron mandar una carta a una persona que ellos conocían y que se ajustaba lo mejor posible a esta información. Este proceso se repitió hasta que las cartas eventualmente llegaron finalmente a la persona objetivo. 39

Conceptos Básicos: Small Worlds (4) Milgram publicó los resultados de su investigación (Psychology Today) diciendo que 60 de las 300 cartas llegaron a la persona correcta y que pasaron, en promedio, por seis conjuntos de manos hasta llegar a la persona correcta. (note que solo el 1/5 llego) La conclusión de Milgram fue que las personas están mucho más cercanas entre si de lo que uno puede imaginar. La realidad es un poco diferente. . . Esta experiencia generó un hito en lo que ahora se conoce como propiedad de mundos pequeños o los seis grados de separación o los seis grados de Kevin Bacon y, posiblemente, otros nombres. 40

Conceptos Básicos: Small Worlds (5) Después del experimento de Milgram, pasaron muchos años antes de continuar con ese tipo de trabajos, principalmente por las limitaciones en cuanto al manejo de grandes cantidades de información. En todo caso, en el año 1993, se hizo una película Six Degrees of Separation (adaptación de una obra de teatro inspirada en el fenómeno). A partir de finales de los años 90, el tema se ha desarrollado fuertemente con gran ayuda de las tecnologías de información y con nuevas teorías. 41

Conceptos Básicos: Small Worlds (6) Tres estudiantes inventaron el juego “Los seis grados de Kevin Bacon” y es posible jugarlo online en una página de CS-D de Virginia U. (o los 4 grados de KB) ( http: //oracleofbacon. org/) El grafo para el oráculo de Bacon es provisto por la base de datos de películas de Virginia U. 42

El oracle • The Oracle says: alfredo alcon has a Bacon number of 3. • Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis Induni • Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach • Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon • The Oracle says: Palito Ortega has a Bacon number of 3. • Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with Cris Huerta • Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach • Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon 43

Conceptos Básicos: Small Worlds (7) Bajo ciertas condiciones puede ser importante para nosotros saber algunas cosas de los amigos de nuestras amigas (os). Por ejemplo, al momento de relacionarse sexualmente con alguien. Lo anterior podría ocurrir para otros efectos, como por ejemplo, para la búsqueda de un buen trabajo. En definitiva, ya sea en la vida profesional o en la privada, las redes y sus complejas estructuras nos pueden ayudar a comprender mejor el mundo. 44

Highly clustered „small worlds“ Nature June 4, 1998 August 1999 http: //smallworld. sociology. columbia. edu 45

Conceptos Básicos: Small Worlds (8) Una ilustración de la topología de las redes dependiendo del nivel de aleatoriedad. Redes regulares, redes small-worlds y redes aleatorias. 46

Clustering (Agrupamiento) El clustering se refiere a la conectividad entre los nodos que conforman la red. En un caso extremo tenemos un(a) clique (clan) en el cual cada par de nodos está conectado. Denotemos por ki el grado del nodo i. Si el nodo i fuese parte de un clique entonces este clique tiene ki (ki -1)/2 enlaces. Ei: número de enlaces que hay entre los ki nodos. 47

Clustering (2) Coeficiente de clustering del nodo i, Ci, se define por la fracción entre el número de enlaces en los ki nodos, Ei, y el máximo posible. Ci = 2 Ei /ki(ki-1) C(G) es el promedio de los Ci. En un grafo aleatorio tenemos: Ei = p· ⇒ Ci = E i / = p. En la mayoría de las redes reales, C(G) es mucho mayor que en redes aleatorias del mismo tamaño. 48

Clustering (3) Ejemplo: n = 1000 ⇒ m =500. 000 En redes reales, m = ßn; si ß = 3 ⇒ m = 3. 000 Aplicamos la propiedad que: ∑ gr(k) = 2 m y luego (para redes aleatorias): m = n <k>/2 ⇒ <k> = 2 m/n. Además, para redes aleatorias: p = <k>/n. ⇒ p = 2 m/n 2 ⇒ p = 6. 000/1. 000000 = 0. 006, un valor típico para redes aleatorias. 49

Distribución de Grado Salvo redes regulares, no todos los nodos de una red tienen el mismo grado pudiendo, incluso, tener todos los grados diferentes. P(k) : función de distribución para la probabilidad que un nodo seleccionado tenga exactamente k enlaces. Para un grafo aleatorio, P(k) se distribuye Poisson con un pico en <k>, el grado promedio de la red. 50

Distribución de Grado (2) Para la mayoría de las redes grandes, P(k) se distribuye de una forma bien diferente a una distribución de Poisson. Para las redes WWW, Internet y redes metabólicas, la distribución sigue una ley de potencias; esto es, P(k) = β·k-γ 51

Modelos de Redes Existen tres paradigmas de modelos: - Modelos de Grafos aleatorios: se usan en varios campos y sirven como benchmarks para modelación y estudios empíricos. - Modelos Small Worlds: se sitúan entre redes regulares altamente clustered y grafos aleatorios. - Modelos con Distribución de grado de ley de potencias: se enfocan sobre redes dinámicas, buscando ofrecer una teoría universal de evolución en redes. 52

La Topología de Redes Reales 3 medidas robustas de la topología de redes: longitud de camino promedio, coeficiente de clustering, y distribución de grado. Mostraremos dos tablas, una para las propiedades generales de las bases de datos estudiadas y la otra para los exponentes obtenidos. N: número de nodos en la red. <k>: grado promedio de la red. l : longitud de camino promedio. C : Coeficiente de clustering. 53

La Topología de Redes Reales: varios casos (2) Red n <k> l WWW 153127 35. 21 3. 1 Internet domain 3015 -6209 Actores 225226 61 3. 65 2. 99 0. 79 0. 00027 Medline coautoría 1520251 18. 1 4. 6 4. 91 0. 066 1. 1· 10 -5 NCSTRL coautoría 11994 3. 59 9. 7 7. 34 0. 496 3· 10 -4 Neurosc. coautoría 209293 11. 5 6 5. 01 0. 76 5. 5· 10 -5 7. 35 2. 9 3. 04 0. 32 0. 026 70. 13 2. 67 3. 03 0. 437 0. 0001 E. Coli grafo sub Co-ocurr. palabras 282 460902 3. 52 -4. 11 lrand 3. 7 -3. 76 3. 35 6. 36 -6. 18 C Crand 0. 1078 0. 00023 0. 18 -0. 3 0. 001 54

La Topología de Redes Reales: varios casos (3) Net n <k > γout γin lreal lrand 7. 5 2. 72 2. 1 16 8. 85 4 6. 3 WWW 2· 108 WWW site 26000 Internet domain 30154389 3. 423. 76 2. 1 -2. 2 Internet router 3888 2. 57 2. 48 12. 15 9. 75 Coauth. Math. 70975 3. 9 2. 5 9. 5 8. 2 Phone Call 53· 106 3. 16 2. 1 Co-ocur words 460902 70. 13 2. 7 1. 94 55

La Topología de Redes Reales: varios casos (4) Algunas Conclusiones de Redes Reales Web - Cumple mundos pequeños. l = 16 para una red grande (n = 108). - Para una red con aprox. 153. 000 sitios, Adamic encontró C = 0. 1078, comparado con Crand = 0. 00023, para un grafo aleatorio del mismo tamaño y grado promedio. Esto es, una fracción muy pequeña. (versión red nodirigida) - Para la distribución de grado analizamos la distribución de los grados internos y los externos. En varios estudios se encontró que ambos valores siguen una ley de potencias con valores de γ entre 2 y 3. 56

La Topología de Redes Reales: Internet (10) Internet Diversos estudios llegaron a resultados similares respecto a que la distribución de grado sigue una ley de potencias. La longitud de camino promedio también fue pequeña y el coeficiente de clustering fue mucho mayor que para el caso de redes aleatorias. Resultados similares se encontraron para las otras redes estudiadas. 57

La Topología de Redes Reales: Red de colaboración (Math. ) (11) Red de Colaboración y Número de Erdös (Estadísticas de la Red) Información [2004] es dada por la bases de datos de Mathematical Reviews (MR) de la American Mathematical Society. 1. 9 millones de artículos para 401. 000 autores diferentes. 62. 4% escritos por un único autor, 27. 4% por dos autores, 8% por tres autores y 2. 2% por más autores. En los años 40, los artículos escritos por un único autor correspondían al 90% y ahora están bajo el 50%. 58

La Topología de Redes Reales: Red de colaboración (Math. ) (12) Sea B un grafo bipartito cuyos nodos son artículos y autores. B tiene 2. 9 millones de enlaces. Promedio de autores por artículo: 1. 51. Promedio de artículos por autor: 7. 21 y la mediana es 2. 42% en la bases de datos tiene un único artículo. Cuatro autores tienen más de 700 artículos (Erdös tiene 1416) y ocho con más de 500 y menos de 700. 59

La Topología de Redes Reales: Red de colaboración (Math. ) (13) La Red de Colaboración C tiene 401. 000 autores como nodos y dos autores están conectados si participan en un mismo artículo (existan o no otros co-autores). C tiene 676. 000 aristas y el número promedio de colaboradores por autor es 3. 36. En C existe una componente grande con 268. 000 nodos. De los restantes 133. 000, 84. 000 no han colaborado, y luego, son nodos aislados en C. El número promedio de colaboradores por autores que han colaborado es 4. 25, que sube a 4. 73 para los que están en la componente grande, y cae a 1. 65 para aquellos que no están en la componente grande pero que han colaborado. 60

La Topología de Redes Reales: Red de colaboración (Math. ) (14) Para la clase de autores que han colaborado, la mediana es 1, la media es 4. 25. Si despreciamos los nodos aislados entonces la mediana sube a 2 y la media sube a 5. 37. Grados no nulos se ajustan a una ley de potencias: número de nodos con grado x = β·xk, k entre -2 y -3. Existen 5 autores con más de 200 co-autores y Erdös es uno de ellos. 61

La Topología de Redes Reales: Red de colaboración (Math. ) (15) Small Worlds 1. Longitud Promedio: Se tomó una muestra de 100 pares de nodos en la componente grande y se obtuvo el valor 7. 64. La mediana de la muestra fue 7, la menor distancia fue 4 y la mayor fue 11. 2. Coeficiente de Clustering: Fracción de ternas ordenadas de nodos a, b, c en las cuales la arista ab y bc están presentes cuando ac lo está. En otras palabras, cuán frecuentemente son adyacentes dos vecinos de un nodo. C = 1308045/9125801 = 0. 14. Luego, C se ajusta a un modelo S-W. 62

La Topología de Redes Reales: Números de Erdös (16) Números de Erdös (1919 -1996), el matemático actualmente con más publicaciones y con más co-autores es el origen de una red y tiene número de Erdös 0, sus co-autores tienen número 1, los co-autores de éstos tiene número 2, y así sucesivamente. Veamos la distribución de los números de Erdös considerando solamente aquellos autores que han colaborado y que además están a una distancia finita de Erdös. Existen (a la fecha del estudio) 268. 000 de estos autores. 63

La Topología de Redes Reales: Números de Erdös (17) Número de Erdös Número de Autores 0 1 1 504 2 6593 3 33605 4 83642 5 87760 Media: 4. 65 6 40014 Mediana : 5 7 11591 8 3146 Dante Chialvo 9 819 tiene número 4 10 244 11 68 12 23 13 5 64

La Topología de Redes Reales: Números de Erdös (18) ¿ Qué pasa si la raíz no es Erdös ? Si fuese Jerry Grossman, se tendría una mediana de 6 y una media de 5. 71 y el rango crece a 15. Si fuese Arturo Robles, la mediana sería 15, y la media es 15. 06. Se han estudiado también los números de Erdös de segunda clase, donde solamente se aceptan coautorías entre 2 personas. Con ésto, por ejemplo, Yolanda Debose pierde su número de Erdös igual a 1 (Erdös, Hobbs, Debose), pero no Hobbs. 65

Modelos de Redes Existen tres paradigmas de modelos: - Modelos de Grafos aleatorios: se usan en varios campos y sirven como benchmarks para modelación y estudios empíricos. - Modelos Small Worlds: se sitúan entre redes regulares altamente clustered y grafos aleatorios. - Modelos con Distribución de grado de ley de potencias: se enfocan sobre redes dinámicas, buscando ofrecer una teoría universal de evolución en redes. 66

Análisis de algunos modelos Modelo de Watts-Strogatz (W-S) Un primer resultado exitoso corresponde al modelo de Watts-Strogatz. Se introduce un parámetro que interpola entre red regular y un grafo aleatorio, de modo de tener altos coeficientes de clustering y pequeños caminos más cortos. 67

Modelo de Watts-Strogatz (1) Procedimiento de diseño de la red (1) Comenzar con Orden: comenzar con una red tipo anillo con n nodos en la cual cada nodo está conectado a sus primeros k vecinos (k/2 a cada lado). Para efectos de tener siempre una red esparsa y conexa, se supone que n>>k>>ln(n)>>1. (2) Aleatorizar: reconectar cada arista de la red con probabilidad p, y de modo de eliminar autoloops y aristas paralelas. Este proceso introduce p·n·k/2 aristas de largo alcance. Manipulando p estamos entre orden (p = 0) y aleatoriedad (p = 1). 68

Modelo de Watts-Strogatz : Figura W-S (2) P=0 P=1 69

Modelo de Watts-Strogatz (3) El modelo de W-S tiene sus orígenes en sistemas sociales en los cuales la mayoría de la gente son conocidos con sus vecinos y colegas. Sin embargo, la gran mayoría de las personas tiene amigos lejanos, de otros tiempos, o que viven lejos. Notamos que para una red anillo, p = 0: l(0) n/2 k >>1 y C(0)= 3(k-2)/4(k-1) ¾. Luego, l(0) es función lineal de n y C es grande. En el otro extremo, para una red aleatoria: p tiende a 1 ⇒ l(1) ln(n)/ln(k) y C(1) k/n Ahora l es función logarítmica de n y C decae con n. 70

Modelo de Watts-Strogatz (4) Veamos que ocurre con la longitud de caminos promedio l(p), clustering C(p) y distribución de grado, en función de la probabilidad de conexión p. Longitud de Caminos La longitud de los caminos depende de la fracción p de aristas reasignadas. 71

Modelo de Watts-Strogatz: l (5) p pequeño ⇒ l es una función lineal del tamaño del sistema. p grande ⇒ l es una función logarítmica del tamaño del sistema. La caída brusca de l se debe a la aparición de atajos. Basta solamente algunos para esta caída. El estudio del valor de l = l (n, p) está bién estudiado aún cuando no es trivial. La relación obtenida se ha confirmado por varias simulaciones numéricas. Se confirma crecimiento lento de l. 72

Modelo de Watts-Strogatz: C (6) Clustering Para p = 0, C no depende de n, depende solamente de su topología. Cuando se aleatorizan las conexiones, C permanece cercano a C(0) aún para valores relativamente grandes de p. Se define un nueva fórmula para C, C’, pero muy parecida a la anterior. Se obtiene: C’(p) = C’(0)·(1 -p)3 73

Modelo de Watts-Strogatz: C (7) Watts y Strogatz encontraron que existe un intervalo amplio para el cual l(p) es cercano a l(1) aún cuando C(p)>>C(1). En este intervalo, coexisten l pequeño y C grande, de acuerdo a los datos reales sobre la mayoría de los tipos de redes comentadas. 74

Modelo de Watts-Strogatz: C (9) El gráfico siguiente muestra la distribución de grados del modelo W-S para k = 3 y varios valores de p. También se muestra la distribución de grado de un grafo aleatorio con los mismos parámetros. • La topología de la red es relativamente homogénea con grados parecidos de los nodos. 75

Modelo Redes Libres de Escala Modelos aleatorio y W-S no pueden reproducir el hecho que la distribución de grados siga una ley de potencias. Problema: ¿cuál es el mecanismo responsable por la aparición de las redes libres de escala ? R. : El dinamismo es fundamental y la topología es un subproducto. 76

Modelo Redes Libres de Escala (1) Modelo de Barabasi-Albert (B-A) ▪ Hasta ahora los modelos vistos asumen que la red se forma con un número fijo de nodos n y que después se altera la estructura de la red cambiando las conexiones. Sin embargo, las redes reales son sistemas abiertos que crecen a través de nuevos nodos y conexiones. 77

Modelo Redes Libres de Escala (2) ▪ También los modelos vistos asumen que p es independiente de los grados de los nodos. Esto es, las nuevas aristas se conectan al azar. ▪ La mayoría de las redes reales exhiben conexión preferencial, de modo que la probabilidad de conexión a un nodo en la red depende del grado del nodo. H. Simon [1950]: el rico llega a ser más rico D. S. Price [1965]: ventaja acumulada (red de citaciones) 78

Inmunidad en Redes Inmunidad en redes: Tolerancia a Errores y Ataques Aspectos topológicos de la robustez asociados a remoción de arcos y/o nodos. Robustez está asociada a la topología de la red. Una red es robusta si contiene un cluster gigante conteniendo la mayoría de los nodos aún después de la eliminación de un cierto número de nodos. Se sabe que redes libres de escala son más robustas que redes aleatorias contra fallas aleatorias en los nodos, pero son más vulnerables cuando las fallas ocurren en los nodos más conectados. 79