Nombres primers nombres misteriosos nombres meravellosos s primer

Nombres primers: nombres misteriosos, nombres meravellosos

És primer qualsevol nombre natural major d'1, que només es pot dividir per 1 i per ell mateix

Euclides: 1. Si un nombre primer p divideix un producte m. n, almenys divideix un dels dos factors m o n. 2. Un nombre natural, o bé és un nombre primer, o bé es pot expressar de manera única com a producte de diversos nombres primers, no necessàriament diferents (Teorema fonamental de l'Aritmètica). 3. Hi ha infinits nombres primers.

Per què l'1 no es considera primer? - Per definició. - Per complir la 2ª proposició d'Euclides - Per no haver d'anar repetint sempre "per a qualsevol nombre primer n excepte l'1" en l'enunciat de diverses propietats. Al capdavall s'exclou l'1 de la llista de nombres primers per pura comoditat.

Una taula de nombres primers es pot fer pel mètode del Garbell d'Eratòstenes:

Demostració de la infinitud de la successió de nombres primers (Euclides): Suposem que pn és el nombre primer més gran que existeix. Ara multipliquem tots els nombres primers fins a pn i sumem-hi 1. P = p 1 x p 2 x p 3 … pn + 1 Si P és primer, ja hem trobat un nombre primer més gran que pn. Si P és compost, haurà de ser divisible per un nombre primer més gran que pn, ja que dividint-lo per qualsevol nombre primer fins a pn la divisió sempre donaria 1 de resta. Per tant, la hipòtesi inicial és falsa, i sempre podrem trobar un nombre primer més gran que qualsevol altre.

Qualsevol nombre primer és "veí" d'un múltiple de 6. En efecte: n = 6 q + r, essent r = 0, 1, 2, 3, 4 o 5. per a r = 0, 2, o 4, n resulta ser un nombre parell. per a r = 3, n resulta ser un múltiple de 3. per a r = 1, n resulta ser un múltiple de 6 + 1. per a r = 5, n resulta ser un múltiple de 6 + 5, o sigui un múltiple de 6 - 1.

Descomposició d'un nombre en factors primers: Aquesta descomposició és única (deixant de banda l'ordre dels factors, atesa la propietat commutativa de la multiplicació). Es fa una ratlla vertical a la dreta del nombre i es va dividint successivament pels nombres primers per ordre creixent, mentre es pugui. Vegem p. ex. la descomposició de 161. 700:

Nombres primers entre si: Són aquells que no tenen cap divisor comú, tret de l'1 (no cal que siguin primers individualment, sinó que poden ser compostos). P. ex. : 99 = 33 x 11 i 490 = 2 x 5 x 72 són nombres compostos, però són primers entre si perquè no tenen cap divisor comú. Una fracció ja no es pot simplificar més quan el numerador i el denominador arriben a ser nombres primers entre si. P. ex. : 1. 188/5. 880 = 594/2. 940 = 297/1. 470 = 99/490 i ja no es pot simplificar més.

Distribució dels nombres primers dintre el conjunt dels nombres naturals = Quants nombres primers hi ha fins a un nombre qualsevol x ( x inclòs)? D'aquest valor en direm la funció (x). Com que la successió de nombres primers és infinita, (x) tendeix a quan x tendeix a . Aquesta funció és esglaonada, irregular i de pendent decreixent, la qual cosa vol dir que els nombres primers van essent cada cop més escassos. Vegem les gràfiques corresponents per a x = 100, x = 1. 000 i x = 1. 000.

Però si mirem d'igualar l'escala vertical de les figures amb l'horitzontal, la cosa ja es veu bastant diferent Ara farem el mateix però amb la quantitat de nombres primers fins a 1. 000.

La gràfica real de la quantitat de nombres primers fins a 1. 000 seria més o menys aquesta. No es veu gaire bé, però la seva alçada ha de ser el 7, 85 % de la seva llargada. Com que la corba és molt aixafada, no es nota que al principi té més pendent i que aquest pendent va disminuint progressivament, però realment és així.

Hi ha alguna funció coneguda que permeti calcular o aproximar els valors de la funció (x)? L'any 1896 es va demostrar que la funció x/ln(x) era assimptòtica amb la funció (x). Això no vol pas dir que la seva diferència tendeixi a 0 sinó que vol dir que el seu quocient tendeix a 1. També es va descobrir que la funció x/ln(x-1) encara s'aproxima més a la funció (x). A la diapositiva següent veurem una taula comparativa dels valors d'aquestes tres funcions i del grau d'aproximació de x/lnx i de x/ln(x-1) a (x).

Estimació aproximada de l'enèsim nombre primer, que anomenarem p(n), o pn: Hi ha diverses fórmules aproximades i bastant complicades, p. ex. que p(n) és una funció assimptòtica amb n*(ln(n) + lnln(n) -1). Per a n = 1. 000 aquesta fórmula dóna aproximadament 15. 400. 000. En realitat, el mil·lionèsim nombre primer és el 15. 485. 863 (error d'un 0, 56 %).

Probabilitat que un nombre x elegit a l'atzar sigui primer: De la mateixa definició de probabilitat = nº de casos favorables/nº de casos possibles, es dedueix que aquesta probabilitat s'aproxima assimptòticament a (x/lnx)/x = 1/lnx, funció que tendeix a 0 quan x tendeix a . Ara bé, com que la densitat de nombres primers va disminuint, no podem triar arbitràriament un nombre i pensar-nos que l'hem elegit a l'atzar, sinó que caldria escriure'ls tots en unes paperetes ben iguals, barrejarles perfectament i després extreure'n una, perquè tots tinguessin la mateixa probabilitat de ser elegits.

Probabilitat que dos nombres elegits a l'atzar siguin primers entre si: Malgrat que la "densitat" de nombres primers va disminuint quan x augmenta, la probabilitat que dos nombres qualssevol elegits a l'atzar siguin primers entre si, no tendeix a 0 sinó que és un valor constant = 6/ 2 = 0, 607927 …, o sigui del 60, 7927 … %

Interval entre nombres primers consecutius: Anomenem funció g(pn) el nombre de nombres compostos que hi ha entre el nombre primer pn i el nombre primer següent pn+1, de manera que pn+1 = pn + g(pn) + 1 (la lletra g ve de l'anglès "gap"). El valor mitjà d'aquest interval resulta ser ln(n). Ara bé els valors màxim i mínim d'aquest interval ja són una altra cosa. El valor màxim d'aquest interval és , perquè és fàcil demostrar que per a qualsevol nombre n sempre és possible trobar dos nombres primers consecutius que estiguin separats n unitats. Si mai s'aconsegueix demostrar que hi ha infinits parells de nombres primers veïns o bessons (senars consecutius) aleshores resultarà que el valor mínim d'aquest interval seria = 1, però això tampoc no està demostrat encara.

Lloc de primera aparició dels diferents intervals entre nombres primers consecutius: P. ex. un interval de 3 compostos consecutius apareix per primera vegada després del 7, un interval de 17 compostos consecutius apareix després del 523 i un interval de 950 compostos consecutius apareix després del 2182209. 4051436. 543. De la taula següent sembla que els intervals més grans van apareixent ordenadament després de nombres primers més grans, però no sé això arriba a ser una conjectura plausible o bé és una simple suposició meva perquè la taula no és prou completa.

Si ara definim una funció pn(g) com al primer nombre primer que té almenys g nombres compostos al darrera, hi ha una conjectura de Shanks, de 1964, que diu que pn(g) és una funció assimptòtica amb g. He comprovat que aquesta funció dóna errors considerables per a valors no enormes d'n, o de g, però per a valors molt i molt grans suposo que s'hi deu anar aproximant.

Ara farem un repàs a diverses sèries de nombres primers de característiques particulars.

Nombres primers bessons o veïns: Son aquells parells de nombres primers que són senars consecutius. P. ex. : 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73, o bé 12000. 0001000. 061 i 12000. 0001000. 063. La quantitat (de parells) que n'hi ha és aquesta: Fins a 1. 000 8. 169 Fins a 1001000. 000 440. 312 Fins a 10. 0001000. 000 271412. 679

La suma dels inversos dels nombres naturals tendeix a i la suma dels inversos dels nombres primers (malgrat que n'hi ha molts menys que de nombres naturals) també tendeix a . Ara bé, curiosament, la suma dels inversos dels nombres primers bessons és finita i tendeix a l'anomenada constant de Brun (1919), que val 1, 902160578… O sigui que 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + 1/73 … = 1, 902160578. . .

Els nombres primers bessons més grans que es coneix són 33. 218. 925 x 2169. 690 1. Es conjectura que hi ha infinits parells de nombres bessons, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Nombres (primers i compostos) de Mersenne: Són nombres de Mersenne tots els que són iguals a una potència de 2 disminuïda en una unitat, o sigui de la forma 2 n - 1. No tots els membres d'aquesta successió són primers, ni molt menys, de fet, fins ara només se'n coneix 39 que siguin primers (perquè costa molt d'esbrinar si un nombre molt gran és primer o no ho és). P. ex. són primers M 2, M 3, M 5, M 7, M 13, M 17, M 19, M 31, M 61, M 89, M 107 etc. Perquè un nombre de Mersenne Mn sigui primer, cal que el seu subíndex n (i exponent de 2) també sigui primer. Això és una condició necessària però no suficient, p. ex. M 11 té subíndex primer, però val 2. 047, que és un nombre compost = 23 x 89.

La llista dels primers nombres de Mersenne és aquesta:

Els nombres primers de Mersenne gaudeixen de la propietat que multiplicats per la potència anterior de 2, donen lloc a nombres perfectes = que són iguals a la suma de tots els seus divisors (tret d'ells mateixos). P. ex. : M 7 = 27 - 1 = 128 - 1 = 127. Aleshores tenim: (27 - 1) x 27 -1 = 127 x 26 = 127 x 64 = 8. 128 Els divisors de 8. 128 són 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1. 016, 2. 032 i 4. 064, que sumats donen 8. 128 (això no és cap propietat misteriosa sinó molt vulgaris i es demostra molt fàcilment).

Esbrinar si un nombre molt gran és primer o compost és una feina que consumeix moltes hores d'ordinador, però hi ha programes que permeten saber més fàcilment si un nombre de Mersenne és primer o compost, que no pas un nombre qualsevol. Per això els nombres primers més grans coneguts són justament nombres primers de Mersenne. El NPM 23 va ser descobert a la Universitat d'Illinois el 1963, i en van quedar tan satisfets que, mentre no es va descobrir el següent, van fer figurar aquest nombre en el matasegells de les cartes que enviaven.

Aquests nombres ara es busquen amb l'ajuda de molts aficionats que tenen els seus ordinadors en marxa fent córrer un programa anomenat GIPMS (Great Internet Mersenne Prime Search), de manera semblant al que es fa amb el programa SETI de cerca de senyals intel·ligents extraterrestres. D'aquesta manera s'ha trobat els nombres del NPM 35 en endavant. De totes maneres, el mes gran de tots (nº de Cameron) no se sap ben bé si és l'NPM 39 o bé si entre aquest i el NPM 38 n'hi ha algun altre que s'ha escapat a les indagacions. Si hi fos, aleshores aquest nombre no seria l'NPM 39 sinó el 40, el 41, o el que fos. Com que aquest nombre té més de 4 milions de dígits, sembla que aviat s'arribarà a trobar el primer nombre primer de més de 10 milions de dígits. Quan arribi ho haurem de celebrar.

Llista de tots els nombres primers de Mersenne coneguts fins ara:

De les taules també es veu que a mida que es va avençant, els nombres de la successió que són primers escassegen cada vegada més (cosa que també passa amb els nombres primers "normals), però no s'ha pogut demostrar si a partir d'un cert punt ja no n'hi ha cap més, o bé si malgrat això n'hi ha infinits (cosa que sí que està demostrada per als nombres primers "normals"). I tampoc no està demostrat que a partir d'un cert punt no ho siguin tots de primers. Per tant les possibilitats que a la successió de nombres de Mersenne hi hagi infinits nombres primers i també que hi hagi infinits nombres compostos no passen de ser unes meres conjectures.

Nombres primers factorials: Anomenem nombres primers factorials els de la forma n! + 1 o bé n! - 1. P. ex. , fins a n = 10. 000, de la forma n! + 1 són primers els que corresponen al subíndex n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1. 477 i 6. 380 (de 21. 570 dígits). De la forma n! - 1 són primers els que corresponen al subíndex n = 3, 4, 5, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 469, 546, 974, 1. 963, 3. 507, 3. 610 i 6. 917 (de 23. 560 dígits).

Els nombres primers factorials actualment coneguts, són respectivament: 34. 790! + 1 (142. 891 dígits) i 21. 480! - 1 (83. 727 dígits). Es conjectura que hi ha infinits nombres primers factorials, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Nombres primers primorials: Són els que tenen la forma n# + 1 o bé n# - 1, essent # com un factorial restringit, o sigui no pas el producte de tots els enters de l'1 fins a l'n sinó només el producte dels nombres primers de l'1 (o del 2) fins a l'n. Els nombres primers primorials més grans actualment coneguts, són respectivament: 392. 113# + 1 i 15. 877# - 1 Es conjectura que hi ha infinits nombres primers primorials, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Nombres primers de Fibonacci: Perquè un nombre de Fibonacci pugui ser primer, cal el seu subíndex també sigui primer (amb l'excepció d'F 4 = 3). Això és una condició necessària però no suficient, p. ex. F 19 té subíndex primer, però val 4. 181, que és un nombre compost = 37 x 113. Fins ara s'ha comprovat que són primers els nombres de Fibonacci amb subíndex 3, 4, 5, 7, 11, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2. 971, 4. 723, 5. 387, 9. 311, 9. 677, 14. 431, 25. 561, 30. 757, 35. 999 i 81. 839 (17. 103 dígits).

Se sospita que també són primers els nombres de Fibonacci amb subíndex 37. 511, 50. 833, 104. 911, 130. 021, 148. 091, 201. 107, 397. 370 i 433. 781, però encara no està comprovat. No sé si tots els altres nombres de Fibonacci que no estan en aquestes darreres dues llistes està compovat que són compostos o és que no està comprovat. Es conjectura que hi ha infinits nombres primers de Fibonacci, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Nombres de Lucas: Són com els de Fibonacci però en lloc de començar la successió amb 1 i 1 es comença amb 1 i 3. Fins ara s'ha comprovat que són primers els nombres de Lucas amb subíndex 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 17, 19, 31, etc. en total 41 nombres, fins a 51. 169 (10. 694 dígits). Se sospita que també són primers 6 nombres de Lucas encara més grans, fins al que té subíndex 202. 667. També es conjectura que hi ha infinits nombres primers de Lucas, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Nombres primers consecutius en progressió aritmètica: Per poder parlar de progressió aritmètica, almenys cal tenir un grup de 3 nombres primers consecutius distanciats en un mateix interval. Teorema de Dirichlet: Si a i b són nombres primers entre si, a la progressió aritmètica a+b, a+2 b, a+3 b. . . etc. hi ha infinits nombres primers. Ara bé, aquest teorema no diu que els nombres primers que hi hagi a la progressió siguin consecutius.

Tampoc no diu que per a qualsevol nombre enter n, hi hagi n nombres primers en qualsevol d'aquestes progressions. Es conjectura que sí que hi són, però això no d'ha demostrat ni tan sols per a n = 3. Ara bé, per a n = 3, s'ha demostrat que sí que hi són si s'elimina la condició que siguin consecutius. Bé, vegem quina és la progressió aritmètica actualment coneguda, de nombres primers més grans, que només és de 3 termes. Comença amb el nombre 3. 247. 803 x 2229. 377 - 82. 953. 297 x 2180. 000 - 1 i té per raó o diferència 3. 247. 803 x 2229. 376 - 82. 953. 297 x 2180. 000

Progressions aritmètiques llargues: Una senzilla progressió de 5 termes és la formada pels nombres 5, 11, 17, 23 i 19, de raó 6. El 1967 es va descobrir dues progressions de 5 i 6 termes respectivament, i totes dues de raó 30, que comencen per: 10. 000. 024. 493 i 121. 174. 811 Després ja es va trobar progressions de 7, 8, 9 i 10 termes (nombres primers consecutius). Aquesta darrera és la més llarga coneguda, comença per un nombre de 93 dígits i té per raó un nombre no gaire alt, el 210. Vegem aquest nombre tan interessant a la diapositiva següent.

10015996. 97214247. 63713247. 63712786. 65511587. 96910840. 3299509. 3248689. 1907041. 8036603. 417 5758. 9044341. 7033348. 8822159. 0671229. 719 Sumant a aquest nombre 9 vegades 210, s'obtenen 10 nombres primers consecutius posats en progressió aritmètica. És la progressió aritmètica més llarga formada per nombres primers consecutius que es coneix.

Nombres primers de Sophie Germain: Són aquells nombres primers p, tals que el nombre 2 p+1 també és primer, p. ex. 2, 3, 5, 11, 23, 41, 53, 89, 113, 131. . . etc. El seu interès ve que a l'any 1825, Sophie Germain va demostrar que per a aquests nombres primers es complia el Teorema de Fermat, que diu que l'equació zn = xn + yn no té solucions enteres per a valors d'n > 2 (cas del Teorema de Pitàgores). Aquest teorema ha estat un dels problemes matemàtics més apassionants dels darrers segles, va ser enunciat per Pierre de Fermat abans de 1665 i no s'ha arribat a demostrar fins a 1995 pel matemàtic anglès Andrew Wiles.

La quantitat de nombres primers de Sophie Germain que hi ha és aquesta: El nombre primer de Sophie Germain més gran que es coneix és: 2. 5401041. 185 x 2114. 729 - 1. Es conjectura que hi ha infinits nombres primers de Sophie Germain, però no s'ha demostrat ni sí ni no.

Quina és la llista de nombres primers més llarga? La veritat és que aquesta llista no existeix. Vegem a continuació i com a mostra, unes llistes de nombres primers qualssevol entre 10 i 100 dígits.

Vegem seguidament algunes conjectures sobre nombres primers encara no resoltes avui dia: Ja n'hem comentades unes quantes, i n'hi afegirem encara unes quantes més de molt interessants per acabar el tema.

Conjectura de Goldbach: Potser aquesta és la més famosa de totes. Diu que tot nombre parell > 2 és suma de 2 nombres primers, p. ex. : 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 16 = 3 + 13, etc. S'ha comprovat que la conjectura es compleix almenys fins a 4 x 1014, però encara no se sap si és certa o no ho és. S'ha demostrat que la conjectura de Goldbach és equivalent a una altra: Que qualsevol enter > 17 és suma de 3 nombres primers diferents. També s'ha demostrat que qualsevol nombre parell és la suma de 6 nombres primers com a màxim.

Conjectura de Goldbach dels nombres senars: Qualsevol nombre senar > 5 és suma de 3 nombres primers (no necessàriament diferents), p. ex. 7 = 5 + 1, 17 = 11 + 5 + 1 … etc. S'ha demostrat que aquesta conjectura és certa per a n > 1043. 000. Això vol dir que si es comprova manualment o informàticament que també es compleix per a tots i cada un dels valors de n inferiors, ja quedaria demostrada en la seva totalitat.

Hi ha infinits nombres primers de Mersenne? No se sap. Hi ha infinits nombres compostos de Mersenne? Tampoc no se sap. Hi ha nombres perfectes senars? Tots els nombres perfectes actualment coneguts deriven dels nombres de Mersenne i són parells, però això no vol dir que teòricament no n'hi pugui haver de senars. De moment no se n'ha trobat cap i tampoc no se sap si n'hi ha algun o si no n'hi ha cap.

Conjectura de Polignac: Per a qualsevol nombre parell 2 n, hi ha infinits parells de nombres primers consecutius que difereixen en 2 n? (p. ex. en 6, o en 23. 552, etc. ). Per a n = 1 equival a la conjectura de la infinitud dels nombres primers bessons. Conjectura d'n 2 + 1: Hi ha infinits nombres primers que siguin un quadrat perfecte + 1? (p. ex. 5, 17, 37, 197, 257, etc. ? Conjectura dels quadrats perfectes consecutius: No se sap si sempre hi ha almenys un nombre primer entre n 2 i (n+1)2 (p. ex. entre 992 i 1002 n'hi ha 20).

Una altra conjectura sobre progressions aritmètiques: Hi ha infinits grups de nombres primers consecutius en progressió aritmètica? No se sap ni sí ni so, però està demostrat que sí que hi ha infinits tercets de nombres primers en progressió aritmètica si s'elimina la condició que siguin consecutius I ara, la cirereta del pastís:

El 73. 939. 133 és un nombre primer meravellós. Si li aneu suprimint la darrera xifra, tots els nombres resultants també són primers. 7. 393. 913 també és primer 739. 391 també és primer 73. 939 també és primer 7. 393 també és primer 739 també és primer 73 també és primer 7 també és primer El 73. 939. 133 és el nombre més gran conegut que té aquesta propietat. En voleu buscar més?

Per acabar (de debò): Deia un famós matemàtic del Cal. Tech, que si sou capaços de resoldre qualsevol d'aquestes conjectures, el vostre nom viurà per tota l'eternitat en l'espai de la fama matemàtica.