Nociones de Algebra Lineal 1 Determinar si R

Nociones de Algebra Lineal

1) Determinar si (R 2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) k (a, b) = (k a, k b) (a, b) , (c, d) R 2 k R (a, b) R 2 b) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) k (a, b) = (a, a) (a, b) , (c, d) R 2 k R (a, b) R 2 c) (a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) k (a, b) = (k a, k b) (a, b) , (c, d) R 2 k R (a, b) R 2 2) Dados los siguientes subconjuntos de R 2 y R 3 a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / y = 2 } c) { (x, y) / y + x = 3 } d) { (x, y) / x = y / 2 } e) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -3)} f) { (x, y, z) / z = 0 } g) { (x, y, z) / y = 1 } h) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) { (x, y, z) / x + y = 1 } Representar gráficamente los conjuntos dados y establecer cuáles de ellos son subespacios de R 2 o de R 3 según corresponda, justificando la respuesta.

3) a) En R 3 verificar que el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de los vectores siendo los escalares : a = 2 ; b= 3 y c = 1. b) Expresar los vectores como combinación lineal de los versores 4) Determinar analíticamente si los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base de R 2, justificando la respuesta. a) A = { (1, 2) ; (-2, 1) } b) B = { (1, 2) ; (2, 4) } c) C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } d) D = { (0, 0) ; (2, 1) } 5) Dados los vectores a) Verificar que el conjunto b) Hallar en la base de R 2 : es una base de R 2 las coordenadas del vector

6) Sean los conjuntos de vectores a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / x = y / 2 } c) { (x, y, z) / z = 0 } d) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) Determinar por lo menos dos bases distintas en cada sub espacio ii) Determinar la dimensión de cada sub espacio 7) Una concesionaria de automóviles tiene sus reportes mensuales de venta de autos expresados en forma de matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos estándar y de lujo, mientras que las columnas indican el número de unidades de color rojo bermellón, azul metalizado, gris plomo y verde acuario. La casa central vendió en el mes de julio del modelo estándar 10 unidades de color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y en el modelo de lujo 6 unidades color rojo bermellón, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12 verde acuario. La venta del mes de agosto fue en el modelo estándar ninguna unidad de color rojo bermellón, 20 azul metalizado, 10 gris plomo y 5 verde acuario y en el modelo de lujo 10 unidades color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 12 verde acuario. De acuerdo a la información dada : a) Exprese la matriz de venta de la casa central para los meses de julio y agosto. b) ¿ De qué clase es cada matriz ? c) ¿ Cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses ? d) ¿ Cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses ? e) Esta concesionaria de automóviles tiene una sucursal, que vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. Exprese la matriz de venta para los meses de julio y agosto. f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ? ¿ Cuántos autos se hubieran vendido en la sucursal si la venta en dicho local hubiese sido el triple que en la casa central ?

8) Escribir : a) Una matriz F C 3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i j b) Una matriz G C 3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ; gij = i - j si i j 9) Sean las matrices A y B R 2 x 3 Calcular : i) A + B ii) 3 A iii) 2 A - 3 B 10) Dadas las matrices : a) Escribir las matrices -A y –D b) Calcular, si es posible, B x A ; D x A y D x B.

11) Calcular los rangos de las siguientes matrices : 12) Calcular los siguientes determinantes

Espacio Vectorial Para que (V, *, K, ) sea espacio vectorial se debe verificar que: Si x V e 1) x V , y V y es un escalar del cuerpo K x*y V 1 a 1 b 1 c Ley de cierre para * composición interna en V 2) x, y, z : x, y, z V (x * y) * z = x * (y * z) Asociativa para * 3) 0 V / x : x V x * 0 = 0 * x = x Existe Elemento Neutro para * 4) x V, x´ V / x * x´ = x´ * x = 0 Existe Elemento Inverso para * 5) x, y : x, y V x * y = y * x Conmutativa para * Hasta aquí se verificaron condiciones en V respecto de *, que hacen de (V, *) un grupo abeliano Ahora en las restantes condiciones analizaremos el comportamiento de las operaciones * y entre elementos de V y de K

6) x V, V x V Ley de cierre 1 a 7) x V , , K : ( x) = ( ) x Asociativa 8) x, y V, K : (x * y) = x * y es distributiva con respecto a * 9) x V, , K : ( * ) x = x * x es distributiva con respecto a * 10) x V : x 1 = 1 x = x El elemento neutro de es el 1 de K 1 b 1 c

1 a) Determinar si (R 2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R 2 k (a, b) = (k · a, k · b) k R , (a, b) R 2 1) (a, b) , (c, d) R 2 (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) R 2 L. C. I. 2) (a, b), (c, d), (e, f) R 2 : [(a, b) (c, d)] (e, f) = (a, b) [(c, d) (e, f)] [(a, b) (c, d)] (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f) (a, b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f) Asociativa 3) (e 1, e 2) R 2 / (a, b) : (a, b) R 2 (a, b) (e 1, e 2) = (a + e 1, b + e 2) = (a, b) Existe Elemento Neutro para 4) (a, b) : (a, b) R 2, (a´, b´) R 2 / (a a´, b b´) = (e 1, e 2) Existe Elemento Inverso para 5) (a, b); (c, d) : (a, b); (c, d) R 2 (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b) Conmutativa para 1 b 1 c

6) (a, b) R 2, R (a, b) = ( · a, · b) R 2 Ley de cierre para con un escalar 7) a, b) R 2 , , R : [ (a, b)] = · [ ( · a, · b)] = ( · · a, · · b) = ( · ) · (a, b) Asociativa para con R 2 y R 8) (a, b), (c, d) R 2, R : [(a, b) (c, d)] = · [(a + c, b + d)] = [ · (a + c), · (b + d)] = ( · a + · c, · b + · d) = = ( · a, · b) + ( · c, · d) = [ · (a, b)] + [ · (c, d)] Es distributivo con respecto de en R 2 9) (a, b) R 2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) · a, ( + ) · b] = [( · a + · a), ( · b + · b)] = [( · a, · b) + ( · a, · b)] = [ (a, b)] Es distributivo con respecto de * en K 10) 1 R 2 / (a, b) : (a, b) R 2 1 (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b) Existe Elemento Neutro para Se verifican todas las condiciones Es Espacio Vectorial

1 b) Determinar si (R 2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones y definidas por : (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R k • (a, b) = (a, a) k R (a, b) R 2 La operación definida en R 2 es la misma que la del ejercicio anterior, por tanto las primeras cinco condiciones se verifican, estudiaremos las restantes 6) (a, b) R 2, R (a, b) = ( a, b) = (a, a) R 2 Ley de cierre para con un escalar 7) (a, b) R 2 , , R : [ (a, b)] = [( a, b)] = (a, a) ( ) (a, b) = [( ) a, ( ) b] = (a, a) Asociativa para con R 2 y R 8) (a, b), (c, d) R 2, R : [(a, b) (c, d)] = [(a + c, b + d)] = [ (a + c), (b + d)] = (a + c, a + c) =[ (a, b) (c, d)] = (a, a) + (c, c) = (a + c, a + c) Es distributivo con respecto de * en R 2 9) (a, b) R 2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) a, ( + ) b] = (a, a) ( * ) (a, b) = [ (a, b)] + [ (a, b)] = (a, a) + (a, a) = (a + a, a + a ) Pero (a, a) (a + a, a + a) No se verifica esta condición NO Es distributivo con respecto de * en R NO Es Espacio Vectorial 1 c

1 c) Determinar si (R 2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : (a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) k • (a, b) = (k · a, k · b) (a, b) , (c, d) R 2 k R (a, b) R 2 1) (a, b) , (c, d) R 2 L. C. I. 2) (a, b), (c, d), (e, f) R 2 : [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)] pero * NO Es Asociativa en R 2 NO Es Espacio Vectorial

2 a Subespacios 2 d 2 b - c 2 e 2 g - h 2 f 2 i Dado un espacio vectorial (V, *, K, ) y el conjunto no vacío S V S es un sub conjunto del conjunto V Si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composición interna que en V (S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K, ) ó S es subespacio de V Escribimos de otra manera : Si 1) S 2) x S y S x + y S 3) R x S Si (S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K, ) (S, *) es un sub grupo de (V, *) entonces el elemento neutro pertenece a S

Representamos gráficamente 2 a) Si A = { (x, y) R 2 / x = y } Para analizar si A es subespacio, verificamos x y=x y que se cumplan las tres condiciones suficientes para que un conjunto sea subespacio. 2 2=2 2 Pero previamente verificamos que el vector 4 4=4 4 nulo pertenezca al conjunto A Efectivamente (0, 0) A 2) Si 1) A con cerrada para la suma pero 3) Si pero A es sub espacio de R 2 2 b - c 2 d 2 e 2 f cerrada para el producto por un escalar 2 g - h 2 i

Representamos gráficamente 2 b) B = { (x, y) / y = 2 } Antes de analizar si es subespacio verificamos si el vector nulo pertenece al conjunto B x y=2 y 2 2 2 4 2 2 -6 2 2 x y = -x + 3 y 2 -2+3 1 6 -6+3 -3 Pero (0, 0) B B NO es sub espacio de R 2 2 c) C = { (x, y) / y + x = 3 } Pero (0, 0) C 2 d C NO es sub espacio de R 2 2 e 2 f 2 g - h 2 i

para representar gráficamente, haciendo 2 d) D= { (x, y) / x = y / 2 } pasajes de términos, busco la forma y = f(x) Ahora puedo confeccionar tabla de valores y representar gráficamente x y = 2 x y 2 2 2 4 1) D 4 4 2 8 2) Si El nulo (0, 0) D porque 0 = 2 0 con cerrada para la suma luego 3) Si ¿ podés hacer la interpretación geométrica del producto ? pero cerrada para el producto por un escalar D es sub espacio de R 2 2 e 2 f 2 g - h 2 i

2 e) E = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -3) } Trazamos un par de ejes Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan ortogonales x-y en el plano (como si fuera en el piso de una habitación gráficamente en el espacio. y a este par de ejes le incorporamos el eje z, perpendicular al plano determinado por x-y en el origen de coordenadas (0, 0) Al punto (1, 0, 0) le corresponde x = 1; y = 0 y z = 0 Al punto (0, 1, 0) le corresponde x = 0 ; y = 1; y z = 0 Al punto (0, 0, 1) le corresponde x = 0 ; y = 0; y z = 1 Al punto (1, 2, 3) le corresponde x = 1; y = 2 y z = 3 Al punto (1, 3, -1) le corresponde x = 1; y = 3 y z = -1 Al punto (-2, 1, 4) le corresponde x = -2; y = 1 y z = 4 Al punto (-3, -2, 5) le corresponde x = -3; y = -2 y z = 5 Al punto (1, -1, 1) le corresponde x = 1; y = -1 y z=1 Al punto (2, -3) le corresponde x = 2; y = -2 y z = -3 El vector nulo (0, 0, 0) E E NO es sub espacio de R 2 2 f 2 g - h 2 i

2 f) F = { (x, y, z) / z = 0 } Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan gráficamente en el espacio. Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 2, 0); (6, -1, 0) al ser siempre la última componente 0 (z = 0) también el vector nulo (0, 0, 0) F Todos los vectores del conjunto F están en el plano x, y cualquier punto del plano x, y F 1) F se verifica 2) F 3) si = 2 (puede tomar cualquier otro valor) F F ES sub espacio de R 2 2 g - h 2 i

2 g) { (x, y, z) / y = 1 } Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan gráficamente en el espacio. Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 1, 0); (6, 1, 0) y cualquier otro vector que verifique y= 1 (no importa cuál sea x ó z) pero el vector nulo (0, 0, 0) F F NO es sub espacio de R 3 2 h) { (x, y, z) / x + y = 1 } representamos la recta x + y = 1 Cualquier par de valores de x e y que verifiquen esa ecuación, con cualquier valor de z pertenece al conjunto de vectores por ejemplo (1, 0, 6); (-1, 2, 3); etc Pero (0, 0, 0) H H NO es sub espacio de R 3 2 i

2 i) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan gráficamente en el espacio. Pertenecen al conjunto vectores como: (0, 0, 4); (0, 0, 6); (0, 0, -2) al ser siempre las dos primeras componentes 0 también el vector nulo (0, 0, 0) I Todos los vectores del conjunto I están contenidos en el eje z 1) I se verifica 2) I 3) I ES sub espacio de R 2

Combinación Lineal Una combinación lineal del conjunto de vectores A = {v 1 v 2 v 3. . . vn } Es cualquier vector v = 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3. . . n vn Por ejemplo: dado el conjunto de vectores v 1= (3, -1); v 2 = (-4, 6); v 3 = (1, 2) con todos los i K A = {v 1 v 2 v 3 } Si 1 = 3 donde 2 = -2 3 = -1 El vector v = 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 = 3 (3, -1) + (-2) (-4, 6) + (-1) (1, 2) = v = (9, -3) + (8, -12) + (-1, -2) = (9 + 8 - 1; - 3 – 12 - 2) = (16; - 17) es combinación lineal de A Si hay alguna combinación lineal no trivial de los vectores del conjunto A, cuyo resultado es el vector nulo, decimos que A es linealmente dependiente Para saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es L. D. Debemos plantear : (0, 0) = 1 (3, -1) + 2 (-4, 6) + 3 (1, 2) = (3 1, -1 1) + (-4 2, 26) + ( 31, 2) = = (3 1 -4 2 + 3; - 1 + 6 2 + 2 3) Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

(1) Al sistema de ecuaciones De (1) (2) (3) Lo resolvemos por sustitución Reemplazo 3 en (2) y tengo Ponemos 2 en función de 1 Ponemos 3 en función de 1, reemplazando en (3) Así es posible afirmar que para cualquier 1 0 ; 2 y 3 son también distintos de 0 Si 1 = 1 ; 2 = 1/2 y 3 = -1 Con estos escalares es posible establecer una combinación lineal v = 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 = con 1 0 2 0 y 3 0 El vector nulo es combinación lineal de los vectores del conjunto A Luego, los vectores de A son Linealmente Dependientes

3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2, -1) a partir de la suma de los vectores Previamente multiplicados por escalares a=2 Es combinación lineal 3 b) Para expresar escribimos de como combinación lineal de b = 3 y c =1

Sistema de Generadores 5 a 5 b Si un conjunto de vectores A, de un espacio vectorial (V, *, K, ) es tal que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como combinación lineal de los vectores del conjunto A Se dice que A es un Sistema de Generadores de V En la práctica, dado un conjunto de vectores A = { v 1 v 2 v 3. . . vn } 4 a 4 b 4 c 4 d Se busca escribir cualquier vector de V, como combinación lineal de los vectores de A Base Un conjunto de vectores A es Base de un Espacio Vectorial si: Los vectores de A son linealmente independientes A es un sistema de Generadores de V Recuerde que los vectores son linealmente independientes, si al establecer una combinación lineal, la única forma de obtener el vector nulo, es que todos los escalares de la combinación lineal sean nulos

4 a) Para saber si A = { (1, 2) ; (-2, 1) } es base de R 2, Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente dependientes, haciendo 1 (1, 2) + 2 (-2, 1) = (0, 0) ( 1 -2 2 , 2 1 + 2) = (0, 0) ( 1, 2 1) + (-2 2, 2) = (0, 0) entonces: Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L. I. ya que 1 = 2 =0. Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L. D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones. A es linealmente independiente Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto A Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y) R 2 4 b 4 c y escribimos : 4 d

Si dos vectores son iguales, sus componentes son iguales Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde 1 y 2 son las incógnitas Con los valores hallados de planteamos A es un Sistema de Generadores de R 2 Vemos que para cada vector (x, y), existirán valores de 1 y 2 Por ejemplo si v = ( 3, 1 ) luego ( 3, 1 ) A es una Base de R 2 4 b 4 c 4 d

4 b) Para saber si B = { (1, 2) ; (2, 4) } es base de R 2, Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente dependientes, haciendo 1 (1, 2) + 2 (2, 4) = (0, 0) ( 1 + 2 2 , 2 1 + 4 2) = (0, 0) ( 1, 2 1) + (2 2, 4 2) = (0, 0) entonces: Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L. I. ya que 1 = 2 =0. Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L. D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones. B es linealmente dependiente B NO es Base 4 c 4 d

4 c) Para saber si C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } es base de R 2, verificamos si (1, 3) ; (1/2, -4) y (17/5, 8) son linealmente dependientes, 1 (1, 3) + 2 (1/2, -4) + 3 (17/5, 8) = (0, 0) De (2) De manera que: Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con tres incógnitas Reemplazando en (1) si 3 = 15 ; 2 = - 6 Los vectores de C son L. D. C NO es una Base de R 2 4 d

4 d) Para saber si D = { (0, 0) ; (2, 1) } es una Base de R 2 Planteamos la siguiente expresión para averiguar si los vectores de A son linealmente dependientes entonces para Los vectores del conjunto A son linealmente dependientes cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo, es linealmente dependiente A NO es una Base de R 2

Coordenadas de un vector Si es una base de R 2 Precisamente por ser A una base de R 2 si v R 2 existen y son únicos los escalares a y b R Tal que: Donde a y b se llaman coordenadas del vector v respecto de la base A v = a · v 1 + b · v 2 DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Es el cardinal (número de vectores) de cualquiera de sus bases Por ejemplo 6 a Cada vector de R 2 puede expresarse como una combinación lineal de A ya que los vectores de A son linealmente independientes y sistema de generadores Entonces: 5 a B = { (x, y) / x = y } Son bases de B { (1, 1) } ; B es subespacio de R 2 { (2, 2) } La Dimensión de B es 1 (nº de vectores en cada base de B)

5) Dados los vectores de R 2 : 5 a) Verificar que el conjunto verificamos si (1/2 , 2) y (3, 1) son linealmente dependientes, 1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (0, 0) De (2) es una base de R 2 Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas Base Coordenadas Reemplazando en (1) Reemplazando en (2) Los vectores son Linealmente Independientes Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto V y escribimos : 1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (x, y) 5 b

Si dos vectores son iguales, sus componentes son iguales Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde 1 y 2 son las incógnitas Base Coordenadas Con los valores hallados de Podemos ver que para cada vector (x, y), existirán valores de 1 y 2 planteamos V es un Sistema de Generadores de R 2 V es una Base de R 2 5 b

5 b) Para hallar las coordenadas del vector En la base A = { u; v } donde Planteamos la siguiente expresión: u = ( ½ ; 2 ) ; v = ( 3, 1 ) que resulta A partir de esta expresión por la igualdad de los pares ordenados, planteamos un sistema de dos ecuuaciones con dos incógnitas Si b = -2 De (1) Reemplazo a en (2) Coordenadas

6) a) dimensión de { (x, y) / x = y } Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2 a) donde ( x, y ) S ( x, y ) = ( y, y ) Si y = 1 ( 1, 1 ) S Con { (1, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x = y con multiplicar el vector por un escalar estableciendo una combinación lineal { (1, 1) } { (2, 2) } es una base de { (x, y) / x = y } también es base de { (x, y) / x = y } Dim (1) Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede genera cualquier vector que esté contenido en la recta y = x 6 b 6 c 6 d

6) b) dimensión de { (x, y) / x = y / 2 } Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2 d) donde: ( x, y ) S ( x, y ) = ( x, 2 x ) Si x = 1 ( 1, 2 ) S Con { (1, 2) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x = y /2 con multiplicar el vector por un escalar estableciendo una combinación lineal { (1, 2) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 } { (3, 6) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 } Dim (1) Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que esté contenido en la recta y = 2 x 6 c 6 d

6) c) La dimensión de { (x, y, z) / z = 0 } Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2 f) ( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( x, y, 0 ) Si x = 1 y=4 ( 1, 4, 0 ) S Con { (1, 4, 0) } NO puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en el plano x, y Necesito otro vector, por ejemplo Si x = 6 y=3 ( 6, 3, 0 ) S Con { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en el plano x, y estableciendo una combinación lineal { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } es una base de { (x, y, z) / z = 0 } Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio { (3, 6, 0); (-1, 2, 0) } también es es una base de { (x, y) / x = y / 2 } Dim (2) Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que esté contenido en el plano (x, y, 0) 6 d

6) d) La dimensión de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2 i) ( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( 0, 0, z ) Si z = 1 ( 0, 0, 1 ) S Con { (0, 0, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido sobre el eje z estableciendo una combinación lineal { (0, 0, 1) } es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } { (0, 0, 3) } también es es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Dim (1) Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier vector que esté contenido en la recta (0, 0, z)

MATRICES informalmente una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas Esta matriz tiene m filas y n columnas El número de filas no tiene por qué ser igual al número de columnas, pero si esto sucede, la matriz es cuadrada operaciones con matrices ver en los ejercicios resueltos Una matriz conformada con los mismos elementos que los de la matriz A, pero dispuestos de manera diferente, es una matriz distinta de A

7 a) De la consigna extraemos los siguientes datos en forma ordenada Mes: Julio Mes: Agosto R A G V estándar 10 5 7 9 0 20 10 5 de lujo 6 7 5 12 10 5 7 12 De manera que es posible componer dos matrices, una para cada mes La clase de una matriz está dada por la cantidad de filas y de columnas 7 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J(2 x 3) A es de la misma clase, A(2 x 3) 7 c) Para saber cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses sumamos el correspondiente al mes de Julio y el correspondiente al mes de Agosto es 10 + 0 = 10 7 d e 7 f g

7 d) Para saber cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses Sumamos las matrices que representan cada uno de los meses se efectúa sumando ordenadamente los elementos de cada fila y columna entre sí 7 e) Si la sucursal vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. al resultado de la suma de ambos meses, lo multiplicamos por 2 (duplicamos) que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento de la matriz (J + A ) 7 f g

7 f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ? Sumamos a lo vendido en casa central lo vendido en la sucursal 7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido el triple que en la casa central

8) a) Escribir una matriz F C 3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i j F(3 x 3) tiene tres filas y tres columnas Si la matriz F es de clase 3 x 3 Donde los subíndices de cada elemento, significan el orden de filas y columnas que le corresponde, según su ubicación Podemos escribir la matriz F de la siguiente manera: Es el elemento ubicado en la fila i columna j Es el elemento ubicado en la fila 3 columna 2 y cuando i j f 12 = 1 ; f 13 = 1; fij = i entonces : f 21 = 2 ; f 23 = 2 ; f 31 = 3 ; Si fij = 0 cuando i = j f 11 = 0 ; f 32 = 3 f 22 = 0; entonces 8 b f 33 = 0

8 b) La matriz G C 3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si gij = i - j si La matriz G es de clase 3 x 2 i > j ; i j G(3 x 2) tiene tres filas y dos columnas Podemos escribir la matriz G de la siguiente manera: Es el elemento ubicado en la fila i Donde los subíndices de cada elemento, significan el orden de filas y columnas que le corresponde, según su ubicación columna j En g 11 i = j luego g 11 = 1 – 1 = 0 En g 22 i = j luego g 22 = 2 – 2 = 0 En g 12 i < j luego g 12 = 1 – 2 = -1 En g 31 i > j luego g 31 = 2 3 + 1 = 7 En g 21 i > j luego g 21 = 2 2 + 1 = 5 En g 32 i > j luego g 32 = 2 3 + 2 = 8 entonces :

9 i) A + B 9 ii) 3 A 9 iii) 2 A - 3 B =

10 a) Para escribir la opuesta de una matriz, cambiamos los signos de la matriz cuya opuesta buscamos Si 10 b) B x A B(3 x 4) x A(4 x 3) Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz el resultado será una matriz M( 3 x 3) que tendrá igual cantidad de filas que la primera matriz e igual cantidad de columnas que la segunda matriz

Trazamos dos rectas perpendiculares entre sí Bx. A En el cuadrante inferior izquierdo colocamos la matriz B -11 14 -35 7 -15/2 -31 -18 5 1/2 18 -5 1 1 + 5 0 + 2 3 + (-6) 3 = -11 1 2 + 5 1 + 2 ½ + (-6) (-1) = 14 1 (-1) + 5 0 + 2 7 + (-6) 8 = -35 7 1 3 + 5 0 + 2 2 + (-6) 0 = 0 1 + 1 0 + (-9) 3 + 4 3 = 0 2 + 1 1 + (-9) ½ + 4 (-1) = 0 (-1) + 1 0 + (-9) 7 + 4 8 = 0 3 + 1 0 + (-9) 2 + 4 0 = En el cuadrante superior derecho colocamos la matriz A Y efectuamos la sumatoria del producto de los elementos de cada fila de la primera matriz Por los elementos de cada columna de la segunda matriz (-1) 1 + 5 0 + (-1) 3 + 3 3 = 5 -15/2 -31 -18 (-1) 1 + 5 1 + (-1) ½ + 3 (-1) = 1/2 (-1) + 5 0 + (-1) 7 + 3 8 = 18 (-1) 3 + 5 0 + (-1) 2 + 3 0 = - 5

El resultado obtenido será: Dx. A D(3 x 3) x A(4 x 4) Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz No es posible realizar D x A En este caso esto no es así : Las columnas de D son 3 y las filas de A son 4

Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar Dx. B D(3 x 3) x B(3 x 4) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz 1 1 + (-4) 0 + 3 (-1) = - 2 D x. B el resultado será una matriz M ( 3 x 4) 1 5 + (-4) 1 + 3 5 = 16 1 2 + (-4) (-9) + 3 (-1) = 35 1 (-6) + (-4) 4 + 3 3 = -13 -2 -4 16 35 -13 1 -15 22 -1 -4 -11 10 (-2) 1 + 1 0 + 2 (-1) = -4 (-2) 5 + 1 1 + 2 5 = 1 (-2) 2 + 1 (-9) + 2 (-1) = -15 (-2) (-6) + 1 4 + 2 3 = 22 (-1) 1 + 1 0 + 0 (-1) = -1 (-1) 5 + 1 1 + 0 5 = -4 (-1) 2 + 1 (-9) + 0 (-1) = -11 (-1) (-6) + 1 4 + 0 3 = 10

Rango de una Matriz El Rango de una matriz es su rango fila ó su rango columna (que siempre coinciden) Rango fila ó rango columna de una matriz es el máximo número de vectores filas ó vectores columnas linealmente independientes de la matriz Para conocer el rango de una matriz, podemos analizar cada fila (o columna) como vectores y determinar si son o no linealmente independientes Otra manera de hacerlo es efectuando una serie de operaciones elementales sobre la matriz, y al cabo de un número determinado de operaciones elementales, habremos encontrado el rango de la matriz, ya que habremos obtenido otra matriz del mismo rango Operaciones elementales sobre una matriz: 1. Permutación de dos filas entre sí, o de dos columnas entre sí 2. Adición de una fila a otra ó de una columna a otra. 3. Multiplicación de una fila ó de una columna por un escalar no nulo.

Método de Gauss Jordan para determinar el rango de una matriz Este método es una manera “mecánica” de operar en forma ordenada pasos repetitivos de operaciones elementales; y al cabo de un número finito de pasos, se obtiene el máximo número posible de vectores canónicos linealmente independientes, que es precisamente el rango de la matriz Sea A una matriz no nula de la que se indicaron solo algunos elementos Elegimos cualquier elemento distinto de 0 al que llamaremos pivote En nuestro caso el pivote será a 11 = a Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote y los restantes elementos de la fila quedan se dividen por el pivote Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido por el pivote Luego se reitera el procedimiento eligiendo pivotes que no estén en la misma fila ni en la misma columna que los pivotes ya elegidos en pasos anteriores

Por ejemplo: Hallar el rango de la matriz Tomamos como pivote el elemento de la 1º fila y 1ºcolumna Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote y los restantes elementos de la fila se dividen por el pivote (1) y quedan como están Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido por el pivote Se transforma en Se transforma en Luego se repite el procedimiento, ahora tomo – 3 como pivote al dividir – 6 por el pivote (-3) se hace 2

La matriz hallada No se puede seguir transformando por Gauss. Jordan porque el próximo pivote debe ser de la 3º columna 3º fila y este elemento es 0 Pero 0 no puede ser pivote En este caso, el rango de la matriz A es 2 porque son dos las filas linealmente independientes de la matriz porque los elementos de la terceras fila después de todas las transformaciones posibles, son todos nulos (0); significa que esa fila es combinación lineal de las otras dos Gauss-Jordan no es el único método para efectuar operaciones elementales en una matriz, pero lo adoptamos porque es el método que nos provee: Un algoritmo eficiente (en un número determinado de pasos entrega la solución) Aunque para ello debes estar muy entrenado en el cálculo de operaciones con fracciones. . .

11 a) Para calcular el rango de Tomamos el pivote – 2 de la 1º fila 1º columna Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivote Y completamos los restantes elementos de la 2º fila Tomamos el pivote – 3 de la 2º fila 2º columna Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los elementos de la columna del pivote trabajamos ahora con los elementos de la 3º fila completamos los restantes elementos de la 1º fila y completamos los restantes elementos de la 3º fila 11 b

El próximo pivote debe estar en la 3º fila, en las columnas 3º ó 4º Pero ambos elementos son 0 y el pivote debe ser distinto de 0 En consecuencia las operaciones elementales se terminaron en esta matriz La matriz de tres filas quedó con una fila de elementos nulos Existen otros métodos para realizar operaciones elementales en una matriz El Rango de la matriz será la cantidad de filas con al menos un elemento distinto de 0 NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier elemento, con tal que no sea de una fila y/o columna repetida. No tiene porqué seguir un orden, y si estás trabajando sin calculadora te conviene que los pivotes sean los 1 pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es un método algorítmico, y como tal puede programarse. 11 b

11 b) Calculamos el rango de B tomamos el pivote 1 de la 1º fila 1º columna Dividimos la fila poryel hacemos pivote 0 los elementos restantes de la columna del pivote y completamos los restantes elementos de la 2º fila completamos los restantes elementos de la 3º fila los restantes elementos de la 4º fila son Tomamos como pivote el 1 de la 4º fila 2º columna

Dividimos la fila poryel hacemos pivote 0 los elementos restantes de la columna del pivote y completamos los restantes elementos de la 2º fila y completamos los restantes elementos de la 1º fila y completamos los restantes elementos de la 3º fila Tomamos como pivote el 4 en la 2º fila 3º columna Dividimos la fila poryel hacemos pivote 0 los elementos restantes de la columna del pivote completamos

En la matriz resultante El único elemento que puede ser pivote está en la 3º fila 4º columna También puede transformarse en canónica si: a la tercera fila le multiplicamos por -1 a la primera fila le sumamos la tercera fila multiplicada por -3/4 a la segunda fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 5/4 a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 2 Y la matriz queda con cuatro filas linealmente independientes, por tanto El Rango de la matriz B es 4

Determinantes Determinante es una función f: Kn x n K que se escribe det A ó A Determinante es una función definida en el conjunto de las matrices cuadradas que tiene imagen en conjunto de números reales (si los elementos de la matriz son complejos, la imagen puede ser un complejo). Dada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR del elemento aij al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la fila i y la columna j

Una definición de determinante por recurrencia requiere: i) Definir el determinante de orden 1 A = ( a 11 ) A = a 11 ii) Definir el determinante de orden k+1 suponiendo conocido el determinante de orden k entonces: Por ejemplo:

En determinantes de 3 X 3 - + ordenando resulta lo que verifica la regla de Sarrus Una vez escrito el determinante queremos calcular, transcribimos las dos primeras filas como se indica Luego se suman (y restan) el producto de las diagonales ( y de las contradiagonales) según corresponda

Las reglas antes vistas sirven solamente para determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3 Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no contamos con reglas para calcularlo, pero podemos hacerlo mediante el método del desarrollo por los elementos de una línea donde tendremos que calcular 4 determinantes de orden 3 Si el determinante fuera de orden superior, siempre es posible reducir a uno de orden “inferior en 1” y así sucesivamente, hasta encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus

12 a) El determinante Se resuelve restándole al producto de la diagonal el producto de la contradiagonal Para resolver B de orden 3 se aplica la regla de Sarrus Transcribo las dos primeras filas al final determinante Efectuamos la suma de los productos de las diagonales A esto le restamos los productos de las contradiagonales

El determinante Vamos a desarrollarlo por los elementos de la segunda fila No se puede resolver con ninguna regla particular por ser de orden 4 Aplicamos el desarrollo por los elementos de una línea

Todo esto hecho con entusiasmo puede parecerse a. . . Un juego de niños Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr. Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil. . . y sin embargo es lo mas preciado que tenemos. El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra abrir. Albert Einstein