NMEROS REALES U D 1 Angel Prieto Benito

NÚMEROS REALES U. D. 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

NÚMEROS IRRACIONALES U. D. 1. 2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

Números IRRACIONALES • DEFINICIÓN • Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. • Ejemplo: 21, 303003000… • No se pueden escribir en forma de fracción. • Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) • • Los más importantes y característicos son: El número √ 2 = 1, 4142… El número π = 3, 1415 … El número e = 2, 7182… @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

El número √ 2 • • El primer radical irracional conocido fue √ 2. Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Fue descubierto por Pitágoras, pero prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √ 2 un número irracional, quedaba fuera del dogma. • • Aplicando el T. de Pitágoras: h= √ (12 + 12) = √ (1 + 1) = √ 2 • En general, si p no es una potencia nsima, n √ p es un número irracional. • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I √ 2 1 1 4

El número л • La relación entre la longitud de una circunferencia y uno cualquiera de sus diámetros. A O • л = 3, 141592… B @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

El número e • • • • Sea la sucesión n 1 1 + ---, donde n es un número natural n Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2 Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0, 5)2 = 2, 25 …………………………………… Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0, 01)100 = 2, 7048 Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0, 001)1000 = 2, 7169 Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. Si hallamos su limite (4º ESO) en el infinito: 1 n L = lím ( 1 + ---- ) = e = 2, 7182… n oo n @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6

El número Ø C D • El número Phi ( Ø ) O • La divina proporción • 1 x • ----- = ---- • x x+1 1 • x ( Ø ) = 1, 618281… A @ Angel Prieto Benito 1 Matemáticas Aplicadas CS I B 7

Valor absoluto • VALOR ABSOLUTO. • El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo. • Ejemplos: • • • |2| = 2 |-3| = 3 | -3/4| = ¾ |- √ 2| = √ 2 |1 - √ 5| = √ 5 – 1 , pues √ 5 es mayor que 1 |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

Propiedades • 1. - |a| = |–a| • • Ejemplo Sea a = – 5 • 2. - |a. b| = |a|. |b| • • Ejemplo_1 Sea a=3 y b=– 2 |3. (– 2)| = |3|. |– 2| |– 6| = 3. 2 6 = 6 • 3. - • • Ejemplo_1 Sea a = 3 y b = – 2 @ Angel Prieto Benito |– 5| = |– (– 5)| |– 5| = |5| 5 = 5 |a+b| ≤ |a|+|b| |3+(– 2)| ≤ |3|+|– 2| |1| ≤ 3+2 1 ≤ 5 Matemáticas Aplicadas CS I 9

Aplicaciones • ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades/desigualdades? • EJEMPLO 1 • • |x| = 5 ↔ x = 5 o x = – 5 • • • -5 0 5 |x| > 5 ↔ x > 5 o x < – 5 -5 0 5 EJEMPLO 3 |x| < 5 ↔ x < 5 y x > – 5 -5 0 5 EJEMPLO 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10

• ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades/desigualdades? • EJEMPLO 4 • |x – 3| = 5 • • x– 3=5 x– 3=– 5 • • EJEMPLO 5 • |3 – x | ≥ 5 • • 3–x ≥ 5 3–x ≤– 5 @ Angel Prieto Benito x=8 x=– 2 – 2≥x 8≤ x -2 0 8 Matemáticas Aplicadas CS I 11

• • EJEMPLO 6 Expresa, sin la notación del valor absoluto, |x – 3| + x Buscamos los valores para los cuales el valor absoluto se bifurca: x – 3 = 0 x =3 Habrá dos intervalos diferentes: (-oo , 3) y (3, +oo) • • • |x – 3| + x = • • • Aplicación 1 Si fuera una ecuación, |x – 3| + x = 1, resolveríamos: 3 = 1 , si x < 3 No habría solución 2. x – 3 = 1 , si x ≥ 3 2. x = 4 x = 2 No valdría al ser x ≥ 3 No habría ningún valor de x que cumpliera la ecuación. • • • Aplicación 2 Hallar el valor para x = – 2 y para x = 5 Para cada valor de x hay que tomar el intervalo en el que se encuentre: Para x = – 2 3 Para x = 5 2. x – 3 2. 5 – 3 = 10 – 3 = 7 –x+3+x =3 , si x < 3 x– 3+x = 2. x – 3 , si x ≥ 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12

• • EJEMPLO 7 Expresa, sin la notación del valor absoluto, |x + 5| – (3 – x) Buscamos los valores para los cuales el valor absoluto se bifurca: x + 5 =0 x=– 5 Habrá dos intervalos diferentes: (– oo , – 5) y (– 5 , +oo) • • • |x + 5| – (3 – x) = • • Aplicación 1 Resuelve la ecuación: |x + 5| – (3 – x) = 7 – 8=7 , si x < – 5 No habría solución. 2. x + 2 = 7 , si x ≥ – 5 x = (7 – 2) / 2 = 2, 50 sería una solución, la única. • • • Aplicación 2 Hallar el valor para x = 1 Para x = 1 2. x + 2 2. 1 + 2 = 2+2 = 4 @ Angel Prieto Benito – x – 5 – (3 – x) = – 8 , si x < – 5 x + 5 – 3 + x = 2. x + 2 , si x ≥ – 5 Matemáticas Aplicadas CS I 13