NMEROS REALES U D 1 Angel Prieto Benito

NÚMEROS REALES U. D. 1 @ Angel Prieto Benito * 4º ESO E. AP. Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

INTERVALOS U. D. 1. 6 @ Angel Prieto Benito * 4º ESO E. AP. Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

VALOR ABSOLUTO • VALOR ABSOLUTO. • Los números irracionales, como √ 2 , junto con los números racionales, como 4 / 7, forman el conjunto de los números REALES ( R ) • El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o 0, y con su opuesto si es negativo. • Ejemplos: • • • |2| = 2 |-3| = 3 | -3/4| = ¾ |- √ 2| = √ 2 |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

• PROPIEDADES del valor absoluto: • • • 1. Ejemplo: |a| = |-a| |3| = |-3| 3 = 3 |4, 13| = |- 4, 13| 4, 13 = 4, 13 • • • 2. Ejemplo: |a. b| = |a|. |b| |3. (-2)| = |3|. |-2| |-6| = 3. 2 6 = 6 |(-3). 5| = |-3|. |5| |-15| = 3. 5 15 = 15 • • • 3. Ejemplo: |a+b| ≤ |a|+|b| |3+(-2)| ≤ |3|+|-2| |1| ≤ 3+2 1 ≤ 5 |(-5)+(-2)| ≤ |-5|+|-2| |-7| ≤ 5+2 7 ≤ 7 • • • 4. - Si |a|<k, entonces -k < |a| < k Ejemplo: |-2| < 3 - 3 < 2 < 3 Ejemplo: |3| < 5 - 5 < 3 < 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 4

Intervalos sobre la recta real • INTERVALOS FINITOS • Son unos subconjuntos de la recta real especialmente interesantes y que se emplean mucho. • • Abierto Ejemplo: (a, b) (-2, 3) Todos los números entre -2 y 3 • • Cerrado Ejemplo: [a, b] [-5, -2] Todos los números entre -5 y -2, incluidos ambos. • • Semiabierto por la izquierda (a, b] Ejemplo: (- 5, 2] Todos los números entre -5 y 2, incluido el 2. • • Semiabierto por la derecha [a, b) Ejemplo: [- 3, 2) Todos los números entre -3 y 2, incluido el - 3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 5

Representación sobre R • NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN a<x<b R a b a≤x≤ b R a b a<x≤ b R a b a≤ x< b R a @ Angel Prieto Benito b Matemáticas 4º ESO E. AP. 6

Intervalos sobre la recta real • • INTERVALOS INFINITOS o SEMIRRECTAS Estos intervalos dan lugar a semirrectas. • • (a, + ∞) Ejemplo: (2, + ∞) Todos los números mayores que 2 • • • [a, + ∞) Ejemplo: [2, + ∞) Todos los números mayores que 2, incluido el 2. (- ∞, b) Ejemplo: (- ∞, 2) Todos los números menores que 2 • • (- ∞, b] Ejemplo: (- ∞, 2] Todos los números menores que 2, incluido el 2. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Representación sobre R • NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN a<x R a a≤x R a x≤ b R b x< b R @ Angel Prieto Benito b Matemáticas 4º ESO E. AP. 8

Intervalos y valor absoluto • INTERVALOS Y VALOR ABSOLUTO • Sea la expresión: | x | ≤ 5 • Sabemos que x puede variar de - 5 a + 5 para que se cumpla la expresión, incluido el – 5 y el + 5. • Representados todos los valores de x que cumplen la expresión: -5≤x≤ 5 R -5 @ Angel Prieto Benito +5 Matemáticas 4º ESO E. AP. 9

Intervalos sobre la recta real • Otro ejemplo • Sea la expresión: | x – 3 | < 1 • Si (x – 3) > 0 queda x– 3<1 x<4 • Si (x – 3) < 0 queda – x + 3 < 1 2 < x • • Vemos que x puede variar de 2 a 4 para que se cumpla la expresión, sin incluir ni el 2 ni el 4. • Representados todos los valores de x que cumplen la expresión: 2< x< 4 R 2 @ Angel Prieto Benito 3 4 Matemáticas 4º ESO E. AP. 10

Entornos sobre la recta real • ENTORNO • Un intervalo de la forma (a-r, a+r) se llama entorno abierto de centro el punto a y radio r. Se designa por E(a, r) y está formado por todos los puntos cuya distancia al centro, a, es menor que el radio. • • • Un intervalo de la forma [a-r, a+r] se llama entorno cerrado de centro el punto a y radio r. Se designa por E[a, r] y está formado por todos los puntos cuya distancia al centro, a, es menor o igual que el radio. E(3 , 1) R 2 @ Angel Prieto Benito 3 E[5’ 5 , 0’ 75] 4 4, 75 Matemáticas 4º ESO E. AP. 5, 5 6, 25 11

Ejemplos de entornos • • Ejercicio múltiple para completar con sus equivalencias ENTORNOS VALOR ABSOLUTO INTERVALOS • E(5, 3) ↔ |x – 5| < 3 • E(- 2, 3) ↔ |x + 2| < 3 • E[3, 7] ↔ |x – 3| ≤ 7 • E(- 7, 5) ↔ |x + 7| ≤ 5 • E[-1, 3] ↔ [-4, 2] • E(-3’ 5, 1’ 5) ↔ (- 5, - 2) • E[2, 5’ 5] ↔ [ – 3’ 5 , 7’ 5] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 12