NMEROS REALES U D 1 1 BCT Angel

NÚMEROS REALES U. D. 1 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 1

RADICALES U. D. 1. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 2

RADICALES • EXPRESIÓN RADICAL índice raíz radicando si se verifica que rn = a, siendo n > 1 un número natural. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 3

PROPIEDAD FUNDAMENTAL • Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. • Ejemplos: • • 4 3. 4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3. 8 = √ 2 24 • • 4 4/2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 • • 4 12 √ 2 4 = √ 2 8 = √ 2 24 2 4 / 2 = 2 8 / 4 = 2 24 / 12 • Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 4

RADICALES EQUIVALENTES • Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. • Ejemplos: • 4 3. 4 12 • √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3. 8 = √ 2 24 • 4 4/2 2 • √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 • 6 6/3 2 • √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 5

ORDENACIÓN DE RADICALES • • Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viceversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes. • • CASO DE NO TENER EL MISMO ÍNDICE NI EL MISMO RADICANDO: Se harán radicales equivalentes de igual índice. • Ejemplo • • 3 7 √ 2 y √ 5 No se pueden ordenar sin hacer índices comunes. • • 7. 3 7 3 √ 2 y √ 5 • • Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice. Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando. @ Angel Prieto Benito 21 7 √ 2 y 21 3 21 21 √ 5 √ 128 y √ 125 Matemáticas 1º Bachillerato CT 6

PROPIEDADES DE LOS RADICALES • PROPIEDAD 1: • • n. p n √ap = √a • PROPIEDAD 2: • • • n n 4 4 √ap = ( √a )p Ejemplo: ( √ 5 ) 2 = √ 52 Contraejemplo: ( √ (- 3) ) 2 <> √ (- 3)2 • PROPIEDAD 3: • • m n m. n √(√a) = √a 4 2. 2 Ejemplo: √ 9 = √ 32 = √ 3 @ Angel Prieto Benito 3 6 Ejemplo: √ (√ 3 ) = √ 3 Matemáticas 1º Bachillerato CT 7

• PROPIEDAD 4: • • n n n √a. b = √a √b • Ejemplo • • 3 3 3 1/3 3 √ 2. √ 4 = √ 2. 4 = √ 8 = 2 • PROPIEDAD 5: • • n n n √a / b = √a / √b • Ejemplo • • 7 7 7 7/7 1 √ 512 : √ 4 = √ (512 : 4) = √ 128 = √ 2 = 2 = 2 @ Angel Prieto Benito 4 4 Ejemplo: √ 6 = √ 2. 3 = √ 2. √ 3 3 3 Ejemplo: √ 2 = √ 6 / 3 = √ 6 / √ 3 Matemáticas 1º Bachillerato CT 8

EXTRACCIÓN DE FACTORES • Para extraer factores de una raíz se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo índice de la raíz. • • • Ejemplo 1 3 3 2 √ 108 = √ 2. 3 = 3. √ 2 • • • Ejemplo 2 4 4 10 4 4 4 2 √ 1024 = √ 2. 2. 2 = 2. 2. √ 2 = 4. √ 2 • • • Ejemplo 3 5 5 √ 1 / 32 = √ 1 / 25 = ( 1 / 2 ). √ 1 / 1 = (1 / 2). √ 1 = 1 / 2 • • • Ejemplo 4 4 4 √ 32 / 81 = √ 25 / 34 = √ 2. 24 / 34 = (2 / 3). √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 9

SUMA DE RADICALES • Para que se puedan sumar convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. • • 3 √ 2 + √ 5 No se pueden sumar. Habría que dejar indicada la suma. • • 3 3 √ 2 + √ 5 No se pueden sumar Habría que dejar la suma indicada. • • 3 3 √ 2 + √ 16 = • • 3 Sacando factor común a √ 2 tenemos: • • 3 3 √ 2. (1+2) = 3. √ 2 @ Angel Prieto Benito 3 3 3 3 √ 2 + √ 2. 8 = √ 2 + √ 2. 2 = √ 2 + 2 √ 2 Matemáticas 1º Bachillerato CT 10

PRODUCTO DE RADICALES • • Para que se puedan multiplicar o dividir convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. En su defecto siempre se puede conseguir tener el mismo índice haciendo previamente radicales equivalentes. • Ejemplo 1 • • 3 3 1/3 1/3 √ 2. √ 5 = 2. 5 = (2. 5) = 10 • Pues queda como producto de potencias de igual exponente. • Ejemplo 2 • • 3 4 1/3 1/4 (1/3+1/4) 7/12 √ 7 = 7. 7 =7 • Pues queda como producto de potencias de igual base. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 11

• Ejemplo 3 • • 3 √ 2. √ 5 No se pueden multiplicar sin hacer índices comunes. • El mínimo común múltiplo de los índices (3 y 2) es 6 • • 6 2 6 3 1/6 1/6 6 √ 2. √ 5 = 4. 125 = (4. 125) = 500 = √ 500 • Pues queda como producto de potencias de igual exponente. • Ejemplo 4 • • 3 4 12 3 4 3 1/12 12 4 3 √ 7. √ 3 = (7. 3 ) = √( 7. 3 ) • Pues queda como producto de potencias de igual exponente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 12

• Ejemplo 5 • • 3 5 √ 2. √ 4 • • • Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 15): 15 5 15 3 15 5 6 15 11 √ 2. √ 4 = √ (2. 4 ) = √ 2. 2 = √ 2 • Ejemplo 6 • • 12 4 3 √ 2 • Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 12): 12 12 3 12 4 12 3 4 12 8 6 4 3 2 3 √ 2 = √ 2. 2. 2 = √ 4 • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 13

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES • Racionalizar una expresión es transformarla en otra equivalente que no tenga radicales en el numerador. • • • CASO 1 Hay raíces cuadradas en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. • Ejemplo: • • • 3 3. √ 2 ----- = -------- = ------√ 2 √ 2 (√ 2)2 2 • Ejemplo: • • • 6. √ 2. √ 3 6. √ 6 -------- = ----- = 2. √ 6 √ 3 (√ 3)2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 14

• • • CASO 2 Hay raíces de índice n > 2 en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por la raíz de índice n elevada a la potencia complementaria. • Ejemplo: • • • 3 3 5 5. √ 22 3 ----- = --------- = 2, 5. √ 22 3 3 3 √ 22 √(2. 22) √ 23 2 • Ejemplo: • • • 5 5 5 6. √ 2. √ 33 5 -------- = ----------- = 2. √ 33 5 5 √ 32 √ 33 √ 35 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 15

• CASO 3 • Hay sumas o diferencias en el denominador en las cuales intervienen raíces cuadradas. • Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. • Ejemplo: • • 5 5. (3 + √ 2) 5. (3 +√ 2) 15 + 5. √ 2 • ---- = ------------- • 3 - √ 2 (3 - √ 2). (3 + √ 2) 9 -2 7 • Ejemplo: • • √ 2. (√ 3 - √ 2) √ 6 - 2 • ------ = ------------- = √ 6 – 2 • √ 3 + √ 2 (√ 3 + √ 2). (√ 3 - √ 2) 3– 2 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 16