NMEROS Naturales y Enteros U D 1 3

NÚMEROS Naturales y Enteros U. D. 1 * 3º ESO E. Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

M. C. D. Y M. C. M. U. D. 1. 3 * 3º ESO E. Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

Máximo común divisor: MCD • MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes. • Se forma tomando los factores comunes a todos los números con el menor exponente que presenten. • Ejemplo: Hallar el MCD de los números 18 y 24 • • Factorizamos los números: 18 = 2. 32 24 = 23. 3 Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el menor exponente que presente cada uno ( 1 y 1 respectivamente ) • Luego: MCD (18, 24) = 2. 3 = 6 • El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

• Verificamos la solución: • • • MCD Factorizamos los números: 18 = 2. 32 24 = 23. 3 Los divisores de 18 son { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } Los divisores de 24 son { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } • Los divisores comunes son { 1, 2, 3, 6 } • El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común. • • Se cumple: 18 = 3. 6 24 = 4. 6 Los factores 3 y 4 deben ser primos entre sí. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

MCD • Ejemplo práctico: • Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. • • Hallamos el mcd de los números 18 y 24 Como ya hemos visto es 6 Es el mayor de los divisores comunes. Dividimos 18: 6 = 3 trozos se obtienen de la cuerda de 18 cm • Dividimos 24: 6 = 4 trozos se obtienen de la cuerda de 24 cm • En total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

MCD • Ejemplo práctico: • Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. • En total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno. 18 cm 6 cm 24 cm 6 cm @ Angel Prieto Benito 6 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

• Otro ejemplo práctico: • Tres libros tienen 120, 150 y 180 hojas cada uno. Deseamos cortarlos y formar fascículos con la misma cantidad de hojas cada uno, de forma que esa cantidad sea la mayor posible. • • Hallamos el mcd de los números 120, 150 y 180 Factorizamos 120 = 23. 3. 5 Factorizamos 150 = 2. 3. 52 Factorizamos 180 = 2. 32. 5 • Tomamos factores comunes con el menor exponente: • Mcd = 2. 3. 5 = 6. 5 = 30 • Dividimos 120: 30 = 4 fascículos de 30 hojas cada uno. 150: 30 = 5 fascículos de 30 hojas cada uno. 180: 30 = 6 fascículos de 30 hojas cada uno. • En total tendremos 4+5+6 = 15 fascículos de 30 hojas cada uno. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Mínimo común múltiplo: MCM • MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más números, es el menor de los múltiplos comunes. • Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los números con el mayor exponente que presenten. • Ejemplo: Hallar el MCM de los números 18 y 24 • • Factorizamos los números: 18 = 2. 32 24 = 23. 3 Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el mayor exponente que presente cada uno ( 3 y 2 respectivamente ) y todos los factores no comunes ( en este caso no hay ) • Luego: MCM (18, 24) = 23. 32 = 8. 9 = 72 • El 72 es el menor de los múltimplos comunes. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

• Verificamos la solución: • Factorizamos los números: MCM • 18 = 2. 32 • 24 = 23. 3 • Los múltiplos de 18 son { 18, 36, 54, 72, 90, 108, 144, … } • Los múltiplos de 24 son { 24, 48, 72, 96, 120, 144, … } • Los múltiplos comunes son { 72, 144, … } • El 72 es el menor de los múltiplos que tienen en común. • • Se cumple: 72 = 18. a 72 = 24. b Los factores a y b deben ser primos entre sí. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

MCM • Ejemplo práctico: • • Dos coches de carrera parten a la vez y tardan 18 y 24 mn en dar una vuelta a la pista. ¿Cuándo se vuelven a encontrar en la línea de salida? . • Hallamos el mcm de los números 18 y 24 • Como ya hemos visto es 72 • Es el menor de los múltiplos comunes. • Dividimos 72: 18 = 4 vueltas completas da el primer vehículo. 72: 24 = 3 vueltas completas da el segundo vehículo. • Vuelven a encontrar al cabo de 72 mn en la línea de salida, tras dar 3 y 4 vueltas a la pista cada uno de ellos. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

• Otro ejemplo práctico: • Un alumno tarda 25 s en leer una página, otro 40 s y un tercero tarda 54 s en leer una página similar. En un supuesto maratón, si los tres comienzan a leer a las 9, 00 horas, ¿ cuándo volverán a coincidir los tres en volver a comenzar a leer una página? . • • Hallamos el mcm de los números 25, 40 y 54 Factorizamos 25 = 52 Factorizamos 40 = 5. 23 Factorizamos 54 = 2. 33 • Tomamos factores comunes y no comunes con el mayor exponente: • Mcm = 23. 33. 52 = 8. 27. 25 = 216. 25 = 5400 s • Coincidirán nuevamente a los 5400 s = 90 mn • Dividimos 5400: 25 = 216 páginas habrá leído el primero. 5400: 40 = 135 páginas habrá leído el segundo. 5400: 54 = 100 páginas habrá leído el tercero. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

Relación MCM y MCD • PROPIEDAD: • • Sean A y B dos números naturales cualesquiera. • Siempre se cumple: A. B = MCM. MCD • Veamos con un ejemplo: • MCM (18 y 24) = 72 • MCD (18 y 24) = 6 • 18. 24 = 72. 6 • 432 = 432 • Hemos comprobado que se cumple la propiedad mencionada. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12