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Números Complexos Matéria Dada é Matéria Estudada!!! “Difícil é tudo aquilo que eu AINDA não sei fazer”

Números Complexos Quantas vezes, ao calcularmos o valor Δ = (b 2 - 4 ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C. Esquematicamente

Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja: ►z = (x, y), onde x pertence a R e y pertence a R. ►z= x + y. i (forma algébrica) , em que i = √-1 ►z = (x, y) Afixo

y Exemplos: A (5, 3) = 5 + 3 i B(2, 1) = 2 + i C(-1, 3) = -1 + 3 i. . . 3 A 5 x Todo número complexo z = (x, y) pode ser escrito na forma z = x + y. i, conhecido como forma algébrica, onde temos: ►x = Re(z), parte real de z (termo independente) ►y = Im(z), parte imaginária de z (coeficiente do i)

Igualdade entre números complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: ►z 1 = z 2 ↔ a = c e b = d

Adição de números complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: ►z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i Subtração de números complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: ► z 1 – z 2 = (a - c) + (b - d)i

Multiplicação de números complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: ►z 1. z 2 = (a + bi). (c + di ) ►z 1. z 2 = a. c + adi + bci + bdi 2 ►z 1. z 2 = a. c + bdi 2 = adi + bci ►z 1. z 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i 2= -1

Exemplo: Qual a área do triângulo cuja representação sobre o plano cartesiano são os afixos do números complexos w 1, w 2 e w 3 abaixo? A) w 1 = 0 + 2 i B) w 2 = 0 + 5 i C) w 3 = - 4 + 12 i 4 12 5 3 2 -4

Conjugado de um número complexo Dado um número complexo z = a + bi, chamamos de conjugado de z o número complexo z = a – bi. Exemplos § z 1 = 1 + i z 1 = 1 – i § z 2 = – 3 – 5 i z 2 = – 3 + 5 i § z 3 = 3 § z 4 = –i z 4 = i Propriedades do conjugado Dado z = a + bi:

Exemplo Determine o número complexo z tal que z + 2 i = 3 z + 5.

Divisão de números complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Dados dois números complexos z e w (w ≠ 0):

Exemplo: Calcule: (7+4 i)/(1+2 i).

Exemplo: (FUVEST) Determine o valor de , para que a parte imaginária de (2 + i)/( + 2 i) seja nula. Se a parte imaginária é zero, então: -4=0 =4

Potências de i Observe o cálculo de algumas potências de i:

Potências de i n n Repetem-se em grupos de quatro valores. Para in, divide-se o expoente por 4; o resto da divisão é o expoente da potência equivalente. Exemplo Calcular i 244: i 244 = i 0 = 1

Exemplo: Obtenha o valor de: a) i 2007 + i 2009 + i 1006 + i 1008 = i 3 + i 1+ i 2 + i 0 = -i+i– 1+1 =0 18 b) in n=5 12 parcelas têm soma zero

“Que a força esteja com você”

Exercícios

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Exercícios de Sala

Exemplo: Dados os complexos z 1 = 3 + 4 i e z 2 = 12 - 5 i. Calcule |z 1|, |z 2|, z 1. z 2, |z 1. z 2|, z 1/z 2 e |z 1/z 2|. Obs. : como se pode perceber o módulo do produto é igual ao produto dos módulos, o mesmo vale para o quociente

Exercícios Resolvidos 01. Sejam os complexos z 1 = (2 x + 1) + yi e z 2 = -y + 2 i Determine x e y de modo que z 1 + z 2 = 0 Temos que: z 1 + z 2 = (2 x + 1 - y) + (y +2)i = 0 logo, é preciso que: 2 x + 1 - y = 0 e y + 2 = 0 Resolvendo, temos que: y = -2 e x = -3/2

02. Determine x, de modo que z = (x + 2 i). (1 + i) seja imaginário puro. Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + xi + 2 i 2 z = x + (x + 2)i – 2 z = (x - 2) + (x + 2)i Para z ser imaginário puro é necessário que: (x - 2) = 0 Logo: x =2

03. Qual é o conjugado de z = (2 + i)/(7 - 3 i)? Efetuando a divisão, temos que: O conjugado de Z seria, então: