NILAI MAKSIMUM FUNGSI KUADRATA y 1 y x

NILAI MAKSIMUM FUNGSI KUADRATA ? y � 1 y = x 2 – 8 x + 12 1 2 2 0 4 8 2 4 6 x

NILAI MAKSIMUM FUNGSI KUBIK ? � 2 y 8 y = 1/3 x 3 – 3 x 2 + 8 x + 3 3. 6 7 2 0 2 6 2 3 4 x

PROSEDUR PENENTUAN NILAI EKSTRIM Langkah 2 utk mendapatkan nilai ekstrim suatu fungsi, sebut y = f(x): 1. Cari turunan pertama dari y, yaitu y’=dy/dx 2. Samakan y’ dengan 0 (nol), yaitu y’ = 0; -> Selesaikan persamaan ini utk mendapatkan nilai x* yg membuat y bernilai ekstrim

PENGUJIAN DENGAN TURUNAN II 1. Cari turunan ke-2, dari y, yaitu y’’ = dy’/dx; 2. masukkan nilai x* (diperoleh dari persamaan y’ = 0) ke turunan II 3. Jika y’’ > 0 berarti y bernilai minimum 4. Jika y” < 0 berarti y bernilai maksimum

Titik ekstrim fungsi parabolik �Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. �Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. �Parabola y = f(x) = x 2 - 8 x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4

y y = x 2 – 8 x + 12 12 2 0 -4 -8 2 4 (4, -4) 6 x

�Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 �Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. �Jikay” y”>> 00 : : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik �Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. �Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut : y = 1/3 x 3 – 3 x 2 + 8 x – 3 …………. fungsi kubik y’ = x 2 – 6 x + 8 …………fungsi kuadratik y” = 2 x – 6 ……………. . fungsi linear

�y = 1/3 x 3 – 3 x 2 + 8 x – 3 �Jika y’ = 0, x 2 – 6 x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x 1 = 2, x 2 = 4 �Untuk x 1 = 2 dimasukkan pada persamaan awal maka y = 3. 67 (2, 3. 67) titik ekstrim Untuk x 1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif titik ekstrim diatas maksimum) �Untuk x 2 = 4 dimasukkan pada persamaan awal maka y = 2. 33 (4, 2. 33) titik ekstrim Untuk x 2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif tittik ekstrim diatas minimum)

y y’ = x 2 – 6 x + 8 8 y’’= 2 x – 6 (2, 3. 67) 3. 67 y = 1/3 x 3 – 3 x 2 + 8 x + 3 (3, 3) (4, 2. 33) y” = 2 2 0 -2 -4 -6 2 3 (3, -1) 4 x

�Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 �Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum �Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum �Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0

BEBERAPA KASUS MAKSIMUM ATAU MINIMUM DLM KEHIDUPAN SEHARI-HARI �Menghasilkan keuntungan maksium �Menghasilkan biaya minimum �Tingkat utilitas/pemggunaan mesin maksimum �dsb

Strategi Penyelesaian Permasalahan Maksimum dan Minimum � Bacalah permasalahan dengan teliti � Tentukan informasi-informasi yang Anda butuhkan � Gambarkan permasalahan dalam model yang mudah dipahami! � Buatlah variabel yang akan diamati untuk menyelesaikan permasalahan Tuliskan sebuah fungsi yang memberikaninformasinilaiekstrim yang akan dicari �Tentukan titik-titik x* yang memenuhi f ’(x) = 0 • Gunakan dasar-dasar perhitungan untuk memperoleh titik-titik tersebut. � Hitunglah nilai maksimum/minimum dengan memasukkan nilai x* ke fungsi semula �

�. Contoh maks/min Y = x 3 – 6 x 2 + 9 x + 5 �Jumlah dua bilangan adalah 30, tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum �Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 200 m akan dibangun suatu kandang ayam yang bentuknya persegi panjang, , tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimum �Fungsi keuntungan (Z) suatu usaha “FM” yg memproduksi barang kerajinan “H” sebanyak Q adalah: Z = - Q 3 + 57 Q 2 – 315 Q – 2000 Berapakah Q agar keuntungan maskimum?

Jawaban soal cerita 1 �Misal bilangan tersebut a dan b maka a + b = 30; �a = 30 – b, misal Hasil kali kedua bilangan == PP �P = a x b � = (30 – b)xb � = 30 b – b 2 �P akam maksimum, jika P’ = 0 �P’ = 30 – 2 b = 0 � 2 b = 30 � b = 15 �Masukkan nilai b ke fungsi pertama �a = 30 -15 = 15 �Jadi b = 15 dan a = 15 �Hasil kali maksimum = 15 x 15 = 225

Jawaban soal cerita 2 �Keliling kandang = 2 p + 2 l � 2 p + 2 l = 200 � p + l = 100 � l = 100 - p �Luas akan maksium jika turunan pertamanya = 0 �L’=0 L’=100 -2 p=0 �L’=100 2 p=0 � 2 p =100 �Luas = L = p x l �L = p x ( 100 – p) �p = 50 �L = 100 p – p 2 �Luas maksimumnya = 50 x 50 = 2500 �l = 50

Solusi Turunan I : d. Z/d. Q = Z’ = -3 Q 2 + 114 Q - 315 =0 atau Q 2 -38 Q + 105 = 0 (Q-35)(Q-3) = 0 => Q 1=35; Q 2 = 3 �Tur. II : Z’’= d. Z’/d. Q = -6 Q + 114; - <0 Q 1=35 => Z” = --6(35) + 114 = -96 Q 2 = 3 => Z” = -6(3) + 114 = 96 > 0 �Jadi utk Q = 35, Z mencapai maksimum. yaitu Z = - (35)3 + 57 (35)2 – 315(35) – 2000 = 13. 925; �sedangkan utk Q = 3, Z minimum (hitung)

SELAMAT BELAJAR DAN BERDISKUSI