Nilai Harapan Peubah Acak Pengantar Teori Peluang Semester

Nilai Harapan Peubah Acak Pengantar Teori Peluang Semester Genap 2011/2012 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Konsep Nilai Harapan • Rata-rata • Nilai yang paling mungkin terjadi 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Contoh P. A. Diskrit (kasus sebelumnya): • Suatu panitia berjumlah 2 orang akan dipilih random dari 3 orang partai R, 2 orang partai D dan 1 orang partai L. • X: jumlah panitia terpilih dari partai R • Y: jumlah panitia terpilih dari partai D R D 2/25/2021 L Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Berapa rata-rata jumlah panitia (dari 2 orang panitia) yang terpilih dari partai R? • Berapa rata-rata jumlah panitia (dari 2 orang panitia) yang terpilih dari partai D? Digunakan konsep nilai harapan pada sebaran marjinal 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Fungsi Peluang Gabungan dan Sebaran Marjinal f(x, y) 0 x 0 1 2 fy(y) 1 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc 0 1 2 1 fx(x) y y fx(x) x 0 1 2 1

Perhitungan Nilai Harapan x Untuk peubah acak X: jumlah fx(x) panitia terpilih dari partai R x. f (x) 0 1 x Secara rata-rata akan terpilih 1 orang dari partai R 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc 2 Total 1

Perhitungan Nilai Harapan Untuk peubah acak Y: jumlah panitia terpilih dari partai D y 0 1 fy(y) y. fy(y) Secara rata-rata akan terpilih 1 orang dari partai D 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc 2 Total 1

Definisi Nilai Harapan untuk P. A. Diskrit • Menggunakan fungsi sebaran marjinal masing • Untuk peubah acak X: • Untuk peubah acak Y: 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Contoh P. A. Kontinyu 1: – X: proporsi waktu efektif menjalankan tugas dalam satu hari oleh karyawan 1 – Y: proporsi waktu efektif menjalankan tugas dalam satu hari oleh karyawan 2. – Diamati total proporsi waktu efektif dari kedua karyawan tersebut, dengan fungsi peluang gabungan di atas. • Berapa rata-rata proporsi waktu efektif menjalankan tugas karyawan 1? • Berapa rata-rata proporsi waktu efektif menjalankan tugas karyawan 2? 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Perhitungan Nilai Harapan • Fungsi sebaran marjinal bagi X • Nilai harapan: 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Perhitungan Nilai Harapan • Fungsi sebaran marjinal bagi Y: • Nilai harapan bagi Y: 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Perhitungan Nilai Harapan • Rata-rata proporsi waktu kerja efektif karyawan 1 adalah 7/12 • Rata-rata proporsi waktu kerja efektif karyawan 2 adalah 7/12 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Contoh P. A. Kontinyu 2: • • X: waktu kedatangan antar pelanggan Y: waktu pelayanan X dan Y kontinyu (dalam menit) Fungsi kepekatan peluang bersama: Berapa rata-rata waktu kedatangan antar pelanggan? 2/25/2021 Berapa rata-rata waktu pelayanan? Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Fungsi marjinal X dan Y 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Rata-rata waktu antar kedatangan (X) adalah satu menit. • Rata-rata waktu pelayanan (Y) adalah ½ menit. 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Definisi Nilai Harapan untuk P. A. Kontinyu • Menggunakan fungsi sebaran marjinal masing • Untuk peubah acak X: • Untuk peubah acak Y: 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Sifat-sifat Nilai Harapan • Untuk satu peubah diskrit: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Sifat-sifat nilai Harapan • Nilai harapan untuk fungsi linier: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Sifat-Sifat Nilai Harapan Untuk Peubah acak diskrit 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Sifat-sifat Nilai Harapan • Untuk satu peubah kontinyu: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Sifat-sifat nilai Harapan • Nilai harapan untuk fungsi linier: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Sifat-Sifat Nilai Harapan Untuk Peubah acak kontinyu 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Keragaman • Ukuran ketersebaran/fluktuasi nilai peubah acak 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Contoh Keragaman: • Dilemparkan dua buah dadu – X: jumlah angka pada dadu I – Y: jumlah angka pada dadu II • Berapa rata-rata jumlah angka yang muncul pada dadu I? • Berapa besar keragaman jumlah angka yang muncul pada dadu I? 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Sebaran Peluang Gabungan X Y 1 2 3 4 5 6 fx(x) 1 1/36 1/36 1/6 2 1/36 1/36 1/6 3 1/36 1/36 1/6 4 1/36 1/36 1/6 5 1/36 1/36 1/6 6 1/36 1/36 1/6 fy(y) 1/6 1/6 1/6 1 25/05/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Sebaran Peluang Marjinal X 1 2 3 4 5 6 Total fx(x) 1/6 1/6 1/6 1 xfx(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 21/6 x 2 fx(x) 1/6 4/6 9/6 16/6 25/6 36/6 91/6 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

• Secara rata-rata, jumlah mata dadu yang muncul pada dadu I adalah 3 atau 4. • Dengan keragaman sekitar 2. 9 – ± 1. 7 dari angka 3 atau 4. 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Contoh (fungsi linier) • • X dan Y kontinyu (dalam menit) X: waktu antar kedatangan pelanggan Y: waktu layanan Fungsi kepekatan peluang bersama: • Biaya operasional mesin layanan: • $5 per menit operasional + fixed cost $1 • Berapa nilai harapan biaya operasional mesin layanan? 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

• Fungsi marjinal • Nilai harapan (rata-rata waktu operasional layanan): • Fungsi linier biaya operasional: 25/05/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

• Rata-rata biaya operasional adalah: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah • Peubah X dan Y diskrit: • Peubah X dan Y kontinyu: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah • Untuk fungsi linier berikut pada peubah X dan Y diskrit: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Nilai Harapan bagi fungsi dua peubah • Dengan cara yang sama untuk X dan Y kontinyu: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

Contoh (fungsi linier) • Pada contoh sistem layanan sebelumnya. – X: waktu antar kedatangan – Y: waktu layanan • Rewards diberikan kepada sistem layanan apabila waktu layanan lebih cepat daripada waktu antar kedatangan. • Diberikan reward $2 setiap menit selisih rata waktu antar kedatangan dan waktu layanan. 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc.

• Fungsi yang melambangkan besarnya rewards: • Dari sebelumnya: 10/06/2011 Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc. Rata-rata besarnya rewards

• Perbaikan untuk perhitungan ragam 2/25/2021 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc