Nhny racionlis gondolat az irracionalitsrl XVII HAJNAL IMRE

Néhány racionális gondolat az irracionalitásról XVII. HAJNAL IMRE MATEMATIKA TESZTVERSENY ÉS MÓDSZERTANI NAP 2013. április 13. Gyula Schultz Vera Magdolna – Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium Miskolc

Az előadást motiváló cikk: Martin Gardner: Kettő négyzetgyöke = 1, 414 213 562 373 095… (Természet Világa – Matematika különszám, 1998, 93 -96. oldal) Egyéb források: Ian Stewart: A végtelen megszelídítése (Helikon Kiadó, 2008) Nagy pillanatok a matematika történetében (Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1981) Erdős Pál – Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből (POLYGON, Szeged, 2004) B. L. Van Der Waerden: Egy tudomány ébredése (Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1977) Internet

Egy kis történelem •

Definíció: két szakasz összemérhető, ha mindkettő egész számú többszöröse ugyanannak a szakasznak. Mai szóhasználattal élve: Amennyiben két szakasz közül az egyik hossza racionális, a másik pedig irracionális, úgy a két szakasz nem összemérhető. A geometriai bizonyítások alapja: szakaszok összemérhetetlenségének megmutatása. Módszer: indirekt bizonyítás + végtelen leszállás elve.

7. A a P 3 Q 3 R 3 C négyzet az 1. Tekintsük az ABCD 2. Mérjük fel A-ból az átlóra az 3. Rajzoljuk meg a P 5. Majd pedig a P Q 12 Q négyzetet, R 12 RC 1 C 4. A második lépéshez hasonlóan 6. Aztán jöhet a P 23 pont analóg eddigi legkisebb, s szintén s tegyük fel indirekt, hogy ennek alapot, így kapjuk a P négyzetet az ábra szerinti négyzethez jutunk, mely még kapjuk az P módon. 2 pontot. 1 pontot. A egymással összemérhető oldala és átlója egymással P módon. Ez a négyzet egyrészt kisebb, mint a korábbiak, s 1 C szakasz hossza ekkor e-nek oldalakkal és átlóval rendelkezik összemérhető, azaz hosszuk egész számú többszöröse lesz. kisebb, mint az eredeti, másrészt oldala és átlója szintén e segítségével. ugyanannak a számnak (=: e) oldala és átlója e-vel összemérhető e-vel. egész számú többszöröse. összemérhető.

A következő bizonyítást 2000 -ben (!) közölték: Tom M. Apostol: Irrationality of The Square Root of Two – A Geometric Proof (The American Mathematical Monthly, Vol. 107. No. 9 (Nov. , 2000), pp. 841 -842)

. A kapott háromszög legyen A’B’C’. 5 3. P-ből érintőt szerkesztünk, mely kimetszi a másik befogóból Q-t.

5. A kapott A’’B’CD’ téglalap oldalhosszai 3. Vágjunk le a téglalapból egy b oldalhosszú 4. Ezek után az A’B’CD téglalapból szeljünk 2. Tegyük fel ezek után indirekt módon, hogy a és b egymással összemérhető, azaz négyzetet az ábra szerint. Így kapjuk az le egy a a – b és 2 b – b oldalhosszúságú négyzetet, – a, melyek e segítségével egy e egységnek egész számú többszörösei. A’B’CD téglalapot, melynek oldalhosszai ahogy azt az ábra mutatja. összemérhető távolságok. tehát a – b és b.

1. Toljuk rá a kisebb négyzeteket a nagyra az ábra szerint.

2. Helyezzük el a kisebb háromszöge 5. Az algoritmust folytatva ezután a csíkozott háromszögekkel ellentmondásra ket a nagyra, ahogy azt az ábra jutunk. mutatja.

2. Vegyük fel ennek átlóit, s így kapjuk az 1. Tekintsük az ABCDE szabályos ötszöget. ötszög belsejében az A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 - szintén szabályos - ötszöget.

2. Mérjük fel a T 3. Minden egyes T 4. A kapott B 6. Tegyük fel indirekt, hogy AT 7. Ekkor e maradék nélkül megvan T 8. A B D 1, B pontból (i = 1, …, k) állítsunk merőlegest T Bk. Dk háromszögek egybevágóak a CAT C egymással összemérhető. A lehető legnagyobb Bk-ban és Tc-ből kiindulva annyiszor, ahányszor 5. Ekkor a BB k. CTc, k derékszögű háromszög befogói tehát összemérhetők e segítségével. i 1 pontokat (i = 1, …, k) vetítsük le az alattuk közvetlenül felvett c. C szakaszra az 1 hosszúságot T c, i 1 B 2 D 2, …, Bk-1 c és T cc, k. C-ben egyaránt, hiszen c. C-re. Így kapjuk BC-n a c háromszöggel, a B csak tudjuk. Így kapjuk a T szakaszokra, melyek kimetszik a D Tközös mérték legyen e. , B Bkc, k = háromszög pedig hasonló hozzá, és kisebb nála, mivel a megfelelő oldalaik c – kk pontokat. ∙Tc. C, illetve Tc, kc, 1 C, T = c, 2 Tc, C…, T , Dkc, k pontokat (az ábrán k 1. k pontokat. = 3). Ekkor 0 < Tc, k. C < 1, c, k k 1 CT 2, …, B 1– 2∙, …, D merőlegesek egymásra, és az előbbiek rövidebb befogóinak hossza 1, az utolsóé pedig hiszen c nem négyzetszám. ennél kisebb.

Eudoxos létrája, avagy az összevisszaságról •

• Eudoxos (i. e. IV. sz. , ókori görög csillagász és geométer): kidolgozta a görög irracionáliselméletet; geocentrikus világképet hirdetett, bevezette a csillagképeket.

Ezek után nézzünk meg pár feladatot racionális-irracionális témakörben. (Források például: KöMa. L Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből, Typotex, Budapest, 2006. Kosztolányi József - Makay Géza – Pintér Klára – Pintér Lajos: Matematikai problémakalauz I. , Polygon, Szeged, 1999. )

Tekintsük először a racionális, illetve az irracionális számok összegzési és szorzási szabályait: összegük rac irrac irrac vagy irrac szorzatuk rac irrac rac Irrac (ha a rac nem 0) irrac (ha a rac nem 0) rac vagy irrac

6. feladat. Mutassuk meg, hogy egy körbe írt négyzet csúcsai között mindig van olyan, melynek a körvonal egy tetszőleges pontjától vett távolsága irracionális. („Róka 2000”, 659. f. ) Megoldás. Vegyünk fel az A és D közötti rövidebb íven ETekintsünk egy r sugarú, O középpontú kört, H a PA vagy PC valamelyike irracionális, kézzel az állítást beláttuk. tetszőlegesen egy P pontot. Azt fogjuk megszen vagyunk. s benne egy ABCD négyzetet. mutatni, hogy P nem lehet a négyzet mind a Ha pedig mindkettő racionális, akkor viszont négy csúcsától racionális távolságra. PB adódik irracionálisnak, ugyanis:

Köszönjük szépen a figyelmet!