Nhny racionlis gondolat az irracionalitsrl XVII HAJNAL IMRE

Néhány racionális gondolat az irracionalitásról XVII. HAJNAL IMRE MATEMATIKA TESZTVERSENY ÉS MÓDSZERTANI NAP 2013. április 13. Gyula Schultz Vera Magdolna – Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium Miskolc

Az előadást motiváló cikk: Martin Gardner: Kettő négyzetgyöke = 1, 414 213 562 373 095… (Természet Világa – Matematika különszám, 1998, 93 -96. oldal) Egyéb források: Ian Stewart: A végtelen megszelídítése (Helikon Kiadó, 2008) Nagy pillanatok a matematika történetében (Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1981) Erdős Pál – Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből (POLYGON, Szeged, 2004) B. L. Van Der Waerden: Egy tudomány ébredése (Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1977) Internet

Egy kis történelem •

Definíció: két szakasz összemérhető, ha mindkettő egész számú többszöröse ugyanannak a szakasznak. Mai szóhasználattal élve: Amennyiben két szakasz közül az egyik hossza racionális, a másik pedig irracionális, úgy a két szakasz nem összemérhető. A geometriai bizonyítások alapja: szakaszok összemérhetetlenségének megmutatása. Módszer: indirekt bizonyítás + végtelen leszállás elve.

7. Tekintsük a P 3 pedig Qfel 1. 2. 3. 5. Mérjük Rajzoljuk Majd meg az a. CABCD Pnégyzet a 23 PQ az Rátlóra négyzetet, RCaz 4. 6. A Aztán második jöhet lépéshez pont hasonlóan 3 R 3 A-ból 12 Q 12 analóg 1 C az eddigi legkisebb, szintén smódon. alapot, négyzetet négyzethez tegyük így fel kapjuk indirekt, ábrasaszerinti mely Phogy még ennek A kapjuk az Paz pontot. 1 pontot. 2 jutunk, egymással összemérhető oldala P módon. kisebb, ésmint Ezátlója a hossza négyzet a korábbiak, egymással ekkor egyrészt se-nek 1 C szakasz oldalakkal ésaz átlóval rendelkezik összemérhető, egész kisebb, oldala számú ésmint átlója többszöröse azaz eredeti, szintén hosszuk másrészt lesz. e segítségével. ugyanannak oldala összemérhető és átlója a e-vel. számnak e-vel (=: e) egész összemérhető. számú többszöröse.

A következő bizonyítást 2000 -ben (!) közölték: Tom M. Apostol: Irrationality of The Square Root of Two – A Geometric Proof (The American Mathematical Monthly, Vol. 107. No. 9 (Nov. , 2000), pp. 841 -842)

3. A 5. P-ből kapott érintőt háromszög szerkesztünk, legyen A’B’C’. mely kimetszi a másik befogóból Q-t.

5. A 2. 3. 4. Tegyük Vágjunk Ezek kapott után fel le A’’B’CD’ az ezek a téglalapból A’B’CD után téglalapból indirekt egy oldalhosszai bmódon, oldalhosszú szeljünk hogy négyzetet le a –egy ba ésaés 2 b – baz –egymással oldalhosszúságú a, ábra melyek szerint. összemérhető, e segítségével Ígynégyzetet, kapjuk azazaz egy e egységnek A’B’CD ahogy összemérhető azt téglalapot, az ábra távolságok. egész mutatja. melynek számú oldalhosszai többszörösei. tehát a – b és b.

1. Toljuk rá a kisebb négyzeteket a nagyra az ábra szerint.

5. Az algoritmust a 2. folytatva Helyezzükezután el a kisebb háromszögecsíkozott háromszögekkel ellentmondásra ket a nagyra, ahogy azt az ábra jutunk. mutatja.

2. Tekintsük Vegyük felazennek átlóit, s így kapjuk az 1. ABCDE szabályos ötszöget. ötszög belsejében az A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 - szintén szabályos - ötszöget.

5. 2. Ekkor 3. 4. 6. 7. 8. Mérjük Minden A Tegyük kapott Bk. CTaec, kfel BB maradék egyes derékszögű Bi 1 indirekt, apontokat DT 1, c. CTBc, i 1 szakaszra Bnélkül pontból hogy (i, …, =megvan 1, AT B(i az …, B 1 és k) D hosszúságot Tvetítsük befogói háromszögek CBk)egymással állítsunk tehát leés az Tc. Talattuk -ből összemérhetők merőlegest összemérhető. egybevágóak C-ben kiindulva közvetlenül egyaránt, Tannyiszor, ae. ACAT segítségével. lehető hiszen felvett Így kapjuk ahányszor legnagyobb BC-n a a 2 D 2 háromszög k-1 c= k 1, k…, cc, k k-ban c, k c. C-re. c háromszöggel, B csak szakaszokra, Tközös , BBkc, k , =mérték …, háromszög c –Bkk pontokat. Így ∙T melyek legyen kapjuk illetve pedig kimetszik e. a. Thasonló Tc, kc, 1 C, =Tc, 2 a. Tc, D Chozzá, …, T , Dkc, k pontokat …, és Dkisebb (az nála, ábrán mivel k =a 3). megfelelő Ekkor 0 oldalaik < Tc, k. C < 1, c, k k 1 CT 2 tudjuk. c. C, 1– 2∙, 1. k pontokat. merőlegesek hiszen c nem egymásra, négyzetszám. és az előbbiek rövidebb befogóinak hossza 1, az utolsóé pedig ennél kisebb.

Eudoxos létrája, avagy az összevisszaságról •

• Eudoxos (i. e. IV. sz. , ókori görög csillagász és geométer): kidolgozta a görög irracionáliselméletet; geocentrikus világképet hirdetett, bevezette a csillagképeket.

Ezek után nézzünk meg pár feladatot racionális-irracionális témakörben. (Források például: KöMa. L Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből, Typotex, Budapest, 2006. Kosztolányi József - Makay Géza – Pintér Klára – Pintér Lajos: Matematikai problémakalauz I. , Polygon, Szeged, 1999. )

Tekintsük először a racionális, illetve az irracionális számok összegzési és szorzási szabályait: összegük rac irrac irrac vagy irrac szorzatuk rac irrac rac Irrac (ha a rac nem 0) irrac (ha a rac nem 0) rac vagy irrac

6. feladat. Mutassuk meg, hogy egy körbe írt négyzet csúcsai között mindig van olyan, melynek a körvonal egy tetszőleges pontjától vett távolsága irracionális. („Róka 2000”, 659. f. ) Megoldás. Vegyünk felegy az Avalamelyike és D közötti rövidebb íven Ha PAazvagy PC irracionális, kéEzzel Tekintsünk állítást beláttuk. r sugarú, O középpontú kört, tetszőlegesen egy Pnégyzetet. pontot. Azt fogjuk megszen vagyunk. s benne egy ABCD mutatni, P nemracionális, lehet a négyzet mind a Ha pedig hogy mindkettő akkor viszont négy csúcsától racionális távolságra. PB adódik irracionálisnak, ugyanis:

Köszönjük szépen a figyelmet!