Nepriama mernos ISCED 2 Prklad ako poznme nepriamu

Nepriama úmernosť ISCED 2

Príklad ako poznáme nepriamu úmernosť zo 7. ročníka Traja maliari vymaľujú budovu za 120 hodín. Koľko maliarov vymaľuje budovu za 90 hodín? x y 3 maliari. . . . . 120 hod x maliarov. . . . . 90 hod x : 3 = 120 : 90 90 x = 3. 120 90 x = 360 x=4 Za 90 hod vymaľuje budovu 4 maliari. A teraz sa pozrieme na nepriamu úmernosť inak, ale budeme vychádzať z tohto príkladu. V každom príklade budú vystupovať dve veličiny, ktoré označíme x a y. V tomto príklade sú to počet maliarov(x) a čas(y).

Nepriamu úmernosť si budeme vyjadrovať tiež 3 spôsobmi: • TABUĽKA • ROVNICA • GRAF Budeme vytvárať tabuľku, rovnicu, graf a vyjadrovať vzťah medzi nimi. . .

TABUĽKA Počet maliarov x Čas y 1 2 3 4 5 6 360 180 120 90 72 60 Za veličinu x (počet maliarov) si zvolíme ľubovoľné čísla, snažíme sa čím najjednoduchšie. Aj počet čísel môže byť ľubovoľný, ak nie je daný počet. Teraz sme vybrali čísla od 1 po 6. Z príkladu vieme, že 3 maliari vymaľujú budovu za 120 hod. Najdôležitejšie je zistiť, za aký čas vymaľuje jeden maliar. Jeden maliar. . . 120. 3 = 360 hod (jednému to bude trvať 3 -krát dlhšie ako trom maliarom) A dopočítame ostatné hodnoty y: 360: 2=180, 360: 4=90, 360: 5=72, 360: 6=60 Čiže 2 maliari vymaľujú za 180 hod a tak ďalej. (Pozor, kedy násobíme a kedy delíme, presne opačne ako priamej úmernosti) Veľmi dôležitý je údaj, za aký čas sa vymaľuje jeden maliar, čiže 360 hod. Pomocou neho môžeme jednoducho vypočítať všetky ostatné údaje v tabuľke. Budeme ho nazývať konštanta a označovať k. k = 360

ROVNICA Tabuľka obsahuje 2 veličiny (prvý riadok x, druhý riadok y), tak aj rovnica musí obsahovať 2 veličiny (x, y). (Pozor, priamej Sledujme v tabuľke: budeme násobiť v každom stĺpci x. y úmernosti sme delili) x 1 2 3 4 5 6 y 360 180 120 90 72 60 360 360 360 Čiže počítame: 1. 360=360, 2. 180=360, 3. 120=360, . . . A doplníme do tabuľky. V treťom riadku dostávame stále rovnaké číslo a to našu konštantu k = 360. Z toho potom vyplýva: Všeobecne potom platí: Po úprave dostaneme: – to je rovnica nepriamej úmernosti , kde k je konštanta (nemenné číslo) a x, y sú premenné veličiny x>0, y>0 Konštantu k vypočítame, ak vynásobíme x a y v ktoromkoľvek stĺpci v tabuľke, čiže k=x. y (Porovnajte si, ako vyzerá rovnica priamej úmernosti a ako sa vypočíta koeficient)

GRAF Graf budeme znázorňovať v pravouhlej sústave súradníc. Na osi x budeme znázorňovať prvú veličinu (počet maliarov) a na osi y budeme znázorňovať druhú veličinu (čas). Znova si pomôžeme tabuľkou: A B x 1 2 3 4 5 6 y 360 180 120 90 72 60 Každý stĺpec bude predstavovať jeden bod. Prvý bod, ktorý si označíme A, bude mať súradnice [1; 360]. Ďalší bod B bude mať súradnice [2, 180] a tak ďalej: A[1; 360] C[3; 120] E[5; 72] B[2; 180] D[4; 90] Tieto body zobrazíme v pravouhlej sústave súradníc a pospájame ich. . . F[6; 60]

Keďže môžeme mať pri úlohe len kladné čísla, stačí nám zobraziť, len kladné časti osí. A keďže druhá veličina sú veľké čísla, môžeme si zmeniť jednotkovú úsečku na osi y ako vidíte na obrázku. Znázornime body, ktoré sme dostali z tabuľky: A[1; 360] C[3; 120] E[5; 72] B[2; 180] D[4; 90] F[6; 60] Pospájame všetky body. A B C D E F Vznikla nám krivka, ktorá má svoj názov - hyperbola. Grafom nepriamej úmernosti je krivka, ktorá sa nazýva hyperbola.

Príklady na nepriamu úmernosť Tabuľka, rovnica a graf

1. ) Vytvorte tabuľku nepriamej úmernosti pre hodnoty xЄ{1, 2, 3, 4, 6, 12}, danú rovnicou: Vytvoríme tabuľku, kde do prvého riadku dosadíme dané čísla: x 1 2 3 4 6 12 y 60 30 20 15 10 5 Postupne budeme počítať hodnoty y, čiže druhý riadok, dosadzovaním do rovnice A to tak, že v prvom stĺpci za x dosadíme 1, čiže: y=60: 1 a vypočítame, že y=60. Postupne pokračujeme ďalej, za x dosadíme 2, čiže: y=60: 2 a dostávame, že y=30. A tak ďalej: y=60: 3=20 y=60: 6=10 y=60: 4=15 y=60: 12=5 Jasné, že to počítame spamäti, čiže zapísať stačí len tabuľku. Všimnite si tabuľku nepriamej úmernosti: ak sa čísla v 1. riadku zväčšujú, tak sa v 2. riadku zmenšujú. Pri priamej úmernosti: ak sa v 1. riadku zväčšujú, tak sa aj v 2. riadku zväčšujú.

2. ) Doplňte tabuľku nepriamej úmernosti, určte koeficient a zapíšte rovnicu nepriamej úmernosti. x 1 2 3 4 5 6 y 12 6 4 3 2, 4 2 a) najprv určíme koeficient nepriamej úmernosti: - a to zo 4. stĺpca, lebo poznáme hodnotu x aj y, čiže je to bod [4, 3] - koeficient vypočítame jednoducho k=4. 3, takže k=12 b) rovnicu je potom už jednoducho zapísať: c) dopočítame hodnoty v tabuľke ako v predchádzajúcom príklade - delíme 12 (koeficient) s hodnotami v prvom riadku a dostaneme nasledujúce hodnoty v druhom riadku

3. ) Zostrojte graf nepriamej úmernosti, danú rovnicou: Vieme, že graf nepriamej úmernosti je hyperbola. Aby sme mohlo zostrojiť hyperbolu nestačia nám 2 body ako priamke. Čím viac bodov urobíme, tým to bude presnejšie. Najmenej však 4 body zostrojíme. Urobíme si tabuľku, v ktorej si vyberieme 4 hodnoty x a vypočítame 4 hodnoty y. Vyberáme si také čísla, aby sa nám dobre delilo. x 1 2 4 8 y 8 4 2 1 Vypočítame hodnoty y v druhom riadku dosadzovaním do daného vzorca. Znázornime tieto body [1; 8], [2; 4], [4; 2], [8; 1]. A zostrojíme hyperbolu prechádzajúcu týmito bodmi.

4. ) Zapíšte rovnicu nepriamej úmernosti, ktorej graf je na obrázku: Všeobecná rovnica priamej úmernosti je Treba vypočítať koeficient. Potrebujeme jeden bod z hyperboly. Ten bod vyčítame z grafu, že má súradnice [7; 3]. Čiže: x=7, y=3 Dosadíme do rovnice: Rovnica:

5. ) Doplňte chýbajúce súradnice bodov, ktoré ležia na grafe nepriamej úmernosti danou rovnicou: A[3; y] y=72: 3 y=24 A[3; 24] B[2; y] y=72: 2 y=36 B[2; 36] C[x; 6] 6=72: x x=12 C[12; 6] D[x; 9] 9=72: x x=8 D[8; 9] E[4; y] y=72: 4 y=18 E[4; 18] F[x; 72] 72=72: x x=1 F[1; 72] G[10; y] y=72: 10 y=7, 2 G[10; 7, 2] H[x; 5] 5=72: x x=14, 4 H[14, 4; 5]

Úlohy • Naštudovať a porozumieť • Prepísať; komentáre pri príkladoch netreba prepisovať • Príklad: Napíšte rovnicu nepriamej úmernosti, ktorej graf prechádza bodom A[8; 1/2] • Mailom pošlite rovnicu, ktorá vám vyšla v príklade