Nemdeterminisztikus tulajdonsg tesztels Lszl Lovsz Katalin Vesztergombi Definicik

Nemdeterminisztikus tulajdonság tesztelés László Lovász Katalin Vesztergombi

Definiciók G(k, G): G-nek k véletlenül választott pontja által feszített részgráfja September 2012 2

tesztelhető gráf tulajdonságok P: gráf tulajdonság P tesztelhető: létezik olyan P’ teszt-tulajdonság, hogy (a) minden G ∈ P gráfra és minden k ≥ 1 -re G(k, G) ∈ P′ valószínűsége ≥ 2/3, és (b) minden ε > 0 –hoz van olyan k 0 ≥ 1 hogy (a) minden olyan G gráfra, melyre d 1(G, P) > ε, (b) és minden k ≥ k 0 -ra G(k, G) ∈ P′ (c) valószínűsége legfeljebb 1/3. September 2012 3

Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák Példa: Nincs él. Példa: Minden fok ≤ 10. Példa: Tartalmaz ≥ n/2 csúcsú klikket. Példa: Páros. Példa: Perfekt. September 2012 4

Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák Példa: háromszög-mentes G’: véletlen feszített részgráf G’ nem háromszög-mentes G nem háromszög-mentes G’ háromszög-mentes nagy valószínűséggel G-ben kevés háromszög van Removal Lemma: ’ ha t( , G)< ’, akkor el lehet hagyni n 2 élt úgy, hogy háromszög-mentes gráfot kapjunk. September 2012 Ruzsa - Szemerédi 5

Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák Példa: Két izomorf gráf diszjunkt úniója. Nem tesztelhető! September 2012 6

Tesztelhető gráf-tulajdonságok minden öröklödő gráf-tulajdonság tesztelhető. Alon-Shapira feszített részgráfra öröklődik September 2012 7

Nemdeterminisztikusan tesztelhető tulajdonságok Isteni szikra: kiszinezzük a csúcsokat, irányítjuk és szinezzük az éleket G: irányított, él és csúcs-szinezett gráf shadow(G): elfelejtjük az irányítást, elhagyunk bizonyos színű éleket, elfelejtjük a szinezést Q: irányított, szinezett gráfok egy tulajdonsága shadow(Q)={shadow(G): G Q}; P nemdeterminisztikusan tesztelhető: P= shadow(Q), ahol Q tesztelhető tulajdonsága szinezett, irányított gráfoknak. September 2012 8

Nemdeterminisztikusan tesztelhető tulajdonságok Példák: Maximális vágásban ≥n 2/100 él van. Tartalmaz ≥ n/2 csúcsú klikket. Tartalmaz olyan feszítő részgráfot, melynek egy tesztelhető P tulajdonsága van. Elhagyható ≤n 2/100 él úgy, hogy a maradék gráf perfekt. September 2012 9

Főtt étel Minden nemdeterminisztikusan tesztelhető gráftulajdonság tesztelhető. L-V „P=NP” sűrű gráfok tulajdonság-tesztelésére. Tiszta exisztencia-bizonyítás egy algoritmusra. September 2012 10

Megszorítások és kiterjesztések Csúcs-szinezés kódolható él-szinezéssel. Nem foglalkozunk az irányítással. Ekvivalens: Tanusítványt unáris és bináris relációk adják. Ternáris stb? A tétel nem igaz, ha függvényeket is megengedünk a relációk mellett. (Példa: Két izomorf gráf diszjunkt úniója. ) September 2012 11

Gráfoktól függvényekig G 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 AG WG September 2012 12

Magfüggvények és grafonok W = {W: [0, 1]2 R, szimmetrikus, korlátos, mérhető} magfüggvény W 0 = {W: [0, 1]2 [0, 1], szimmetrikus, mérhető} grafon G gráf WG grafon September 2012 13

Vágás-távolság vágás-norma L ([0, 1]2)-n Van véges definíció. September 2012 vágás-távolság 14

Vágás-távolság és tulajdonság-tesztelés Egy P gráf tulajdonság a. cs. a. tesztelhető, ha minden (Gn) gráfsorozatra, ahol |V(Gn)| és d�(Gn, P) 0, fennáll, hogy d 1(Gn, P) 0. L-Szegedy September 2012 15

Gráfsorozat konvergenciája annak a valószínűsége, hogy egy véletlen V(F) V(G) leképezés éltartó (G 1, G 2, …) konvergens: F t(F, Gn) konvergens k-elemű minták eloszlása minden k-ra konvergens (G 1, G 2, …) konvergens Cauchy a vágás-távolságra nézve Borgs-Chayes-L-Sós-V September 2012 16

Gráfsorozat limesz-grafonja Gn W : F t(F, Gn) t(F, W) Ekvivalens: September 2012 17

Limesz-grafon: exisztencia és unicitás Minden konvergens (Gn) gráfsorozathoz van olyan W W 0 , melyre Gn W. Megfordítva, W (Gn) melyre Gn W. L-Szegedy W lényegében egyértelmű (mértéktartó transzformációtól eltekintve). Borgs-Chayes-L September 2012 18

Konvergencia normában Legyen Gn gráfsorozat, és U olyan grafon, melyre Gn U. Ekkor a Gn gráfok úgy címkézhetők, hogy Borgs-Chayes-L-Sós-V (Wn ): egyenletesen korlátos magfüggvények sorozata, melyre Wn � 0. Ekkor Wn. Z � 0 minden integrálható Z: [0, 1]2 R függvényre. L-Szegedy September 2012 19

k-grafonok k-grafon: W=(W 1, . . . , Wk), ahol W 1, . . . , Wk W 0 és W 1+. . . +Wk=1 törtszinezés k színnel G(r, W): véletlen x 1, . . . , xr [0, 1], (i, j)-t összekötjük a c színnel Wc(xi, xj) valószínűséggel. September 2012 20

k-szinezett gráfok konvergenciája Ln: k-él-szinezett gráfok. Ln konvergens: G(r, Ln) eloszlása konvergens r-re. Ln k-szinezett gráfok konvergens sorozata k-grafon W : r G(r, Ln) G(r, W) (eloszlásban). Ekvivalens: L-Szegedy September 2012 21

Fő tétel: bizonyítás Q H 1, H 2, . . . Q-hoz közel shadow(Hn)=Gn G 1, G 2, . . . P September 2012 . . . J 2, J 1 shadow(Jn)=Fn . . . F 2, F 1 P-től távol 22

Fő lemma Legyen W=(W 1, . . . , Wk) k-grafon, és legyen . Legyen Fn U. Ekkor vannak olyan k-szinezett Jn gráfok, melyekre shadow(Jn) = Fn és Jn W. September 2012 23

Bizonyítás (k=3, m=2) + W 1 F W 2 U + = September 2012 H 1 H 2 24

Bizonyítás (folyt) (H 1, H 2) tört él-szinezés (J 1, J 2) véletlen él-szinezés Két bizonyítandó: kicsik (Csernov) September 2012 25

Bizonyítás (folyt) September 2012 26

Bizonyítás (folyt) September 2012 27

Korlátos fokú gráfok (≤D) Mintavétel: Egyenletes eloszlású véletlen csúcsot választunk korlátos sokszor, és kikutatjuk a szomszédságát korlátos mélységben. September 2012 28

Korlátos fokú gráfok (≤D) Maximális vágás nem becsülhető ebben a modellben. (véletlen D-reguláris gráf vs. véletlen páros D-reguláris gráf) P NP ebben a modellben. (véletlen D-reguláris gráf vs. két véletlen D-reguláris gráf úniója) September 2012 29