NEKONENO brna k filosofii matematiky Jistm bodem ponaje

NEKONEČNO brána k filosofii matematiky Jistým bodem počínaje není návratu. Toho bodu je třeba dosáhnout. Franz Kafka 1

Nejstarší historie EGYPT: Heh (Hah, Huh) – nekonečno = milion „Chrámy miliónů let“ 1 333 330 INDIE: AN-ANTA 2

Archaický (pseudo)pojem ŘECKO: (TO) APEIRON, APEIROS – neznalost, neohraničenost, síť, kruh, prsten, neurčito … Homér, Hésiod Anaximandros APEIRON - ARCHÉ (vydělováním protikladů kosmos) – ale spíš jen atribut něčeho HÝLÉ, MATÉRIE, božství? (sporné: Aristotelés, Theofrastos, Aitios, Hegel) … 3

Precizace pojmu Pýthagorás (585– 500 př. n. l. ) a jeho škola Filoláos – APEIRON nekonečno v matematickém Smyslu Platón (dialog Filébos)

Apeirofobie Iracionální veličiny Hippasos z Metapontu ALOGION KAI ANEIDON (nevyslovitelné a nepředstavitelné) – iracionální číslo, apeirofobie, „vnitřní“ nekonečno Bojíme se, že nevyzpytatelný matematický svět se zhroutí a strhne s sebou i svět náš. Petr Vopěnka

Paradox nekonečna je složitý matematický problém, jehož existenci se světově uznávaní matematici rozhodli bagatelizovat, neboť si s ním vůbec nevědí rady, ale žádný z nich to nechce přiznat. Problému Paradoxu nekonečna se rozhodl věnovat i známý americký prezident John Fitzgerald Kennedy, bohužel však byl den před publikováním svých poznatků zastřelen vrahem, kterého najala Světová společnost matematiků a fyziků, aby nevyplulo na povrch, že mozek lidstva si něčím není jistý a tápe. podle http: //necyklopedie. wikia. com/wiki/Paradox_nekone%C 4%8 Dna 6

Pýthagorás změnil geometrickou vědu v podobu svobodné nauky tím, že obecně zkoumal její základy a že probíral poučky nehmotně a pomyslně… Proklos (5. stol. n. l. )

Precizace pojmu Zénón z Eleje (asi 490– 430 př. n. l. ) Aporie - výzvy Poukazují na spornost pojmů mnohosti a nekonečna • Letící šíp • Půlení (bisekce) úsečky • Achilles (a želva) 8

Precizace pojmu Aristotelés: Nekonečno potenciální a aktuální …neboť matematikové nemají zapotřebí neomezena ve skutečnosti a neužívají ho. Jim dostačuje, že neomezená čára jest libovolně veliká. Aristotelés, Fyzika III. 7. 33 Potenciální nekonečno se nesmí pojímat v tom smyslu, že je-li například kov v možnosti sochou tak, že bude jednou také sochou, také je v možnosti APEIRA, že jednou bude APEIREM ve skutečnosti. Fyzika III. 7. 15 Potenciální nekonečno má ve skutečnosti realitu pouze vypůjčenou, protože stále odkazuje na nekonečno aktuální, díky kterému je teprve možné. Georg Cantor, Korespondence k nauce o transfinitním

Aristotelés … Je nemožné, že by APEIRON bylo odloučeno od smyslových věcí a bylo jakýmsi APEIREM samým. … Zbývá tedy, že APEIRON je jenom v možnosti (potenciální). Samo o sobě nemůže být ARCHÉ. Strach z nekonečna je druhem krátkozrakosti, která ničí možnost vidět aktuálně nekonečné. Georg Cantor

Archimédés (287– 212 př. n. l. ) Archimédův axiom – veličiny jsou si násobením dosažitelné. Jakkoli malou úsečku mohu vynásobit tak, že přesáhne jakkoli velkou úsečku. Neexistují nekonečně veliké ani nekonečně malé (“nestandardní“, “nearchimédovské”) veličiny a čísla O kouli a válci, ded. Eudoxovi z Knidu (axiom, teorém Eudoxův) … 11

Svatý Augustin (354 – 430 n. l. ) I buď daleka od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známi býti. . . i kdož jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho. . . Bohu musí být známy všechny počty, o nichž víme jistotně, že jim konce není… Ti, kdo o této Boží schopnosti pochybují, se řítí do nejhlubší propasti bezbožnosti! sv. Augustin, O obci Boží (překlad F. L. Čelakovský) --------------------------------------------------------------------- JAHVE SEBAOTH PANTOKRATOR OMNIPOTENS ---------------------------------- Bůh filosofů a matematiků (odtheologizovaný) x theologický Bůh 12

Křesťanský Bůh není původce geometrických pravd a řádu živlů (to je věc pohanů a epikúrejců). Bůh Abrahámův, Izákův, Jákobův, Bůh křesťanů je Bůh lásky a útěchy. Blaise Pascal (1623 -1662) Zdá se mi nešťastné, že si filosofové vypůjčili slovo „Bůh“, které patří především do náboženství, a použili ho k pojmenování jakéhosi činitele ve svém systému, kterého nelze považovat ani za předmět uctívání a tím méně k němu chovat lásku. Francis M. Cornford (1974 -1943) 13

Tomáš Akvinský (1225– 1274) Úprava Aristotela, racionalizace křesťanství, tomismus …pod všemohoucnost Boží nespadá, co obsahuje odporování. … například, že úsečky, vedené ze středu k obvodu nejsou stejné, nebo že rovnostranný trojúhelník nemá tři úhly, jež by se rovnaly dvěma úhlům pravým. Summa proti pohanům (Summa filosofická) Co všechno však “obsahuje odporování”? Vzkříšení z mrtvých - ne Transubstanciace - ne Neeukleidovská geometrie – ano Změna minulosti - ano Aktuální nekonečno - ano? … 14

Galileo Galilei (1564 – 1642) Bůh - matematik? „Kniha přírody je psána jazykem matematiky“ … a rukou Boží Přirozených čísel není ani stejně, ani více než jejich čtverců. …. . Pojmy „více“ a „méně“ jsou pro nekonečná množství nepoužitelné…” Paradox reflexivity 15

Rodrigo de Arriaga (1592– 1667) 1. nekonečno, co do množství, nelze spočítat tak, aby počítání skončilo 2. nekonečno co do rozlehlosti (extenzivní, např. přímka) 3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, ale i láska) 4. nekonečno Božské Vilém Brouček Uznání aktuálního nekonečna Podle „běžného chápání“ se body nemajíce části mohou dotýkat jen jako celky, tj. tak, že splývají. Splývající body by ale nikdy nevytvořily kontinuum, byly by bodem jediným. Arriaga však hájí stanovisko jiné: body, dotýkajíce se, leží vedle sebe tak těsně, že mezi ně není možno vložit bod další. Bod tedy může ležet vedle bodu. I z bezrozměrných bodů lze složit kontinuum… 16

René Descartes (1596– 1650) „Nikdy se nebudeme mořit bádáním o nekonečnu, neboť by bylo zjevně nesmyslné, kdybychom je my, jsouce koneční, nějak vymezovali, snažili se je ohraničit a pojmout. Nebudeme se tedy starat o odpověď pro ty, kteří se ptají, zda, když je dána nekonečná přímka, bude její polovina také nekonečná, či zda je nekonečné číslo sudé či liché. “ (Principy filosofie) ¨ Potencialita není jasně definována „infinitum“ – jen Bůh, jinak „indefinitum“ 17

John Wallis (1616 – 1703) ∞ “líná osmička 1665 „lemniskáta“, z latinského LEMNISCUS – stuha, pásek záporné číslo je menší než nic, a místo toho na něj pohlížel jako na větší než nekonečno 18

Hrubá síla nekonečna Hilbertův hotel Babylonská knihovna J. Borges Opice píšící náhodný text Émile Borel, 1913 Říkalo se, že kdyby milión opic tlouklo do miliónu psacích strojů, mohli by vyťukat třeba celé Shakespearovo dílo. Díky Internetu dnes víme, že to pravda není. Robert Wilensky, 1996

Pokus s reálnými opicemi (2003, Paignton Zoo): Vedoucí samec tlupy napsal na mnoho stran pouze písmeno S. Ostatní členové smečky asi nepochopili, co se od nich chce, a na klávesnici bušili kamenem, močili a káleli. . .

Vše je číslem Π Reálné číslo (normální), obecně nekonečný rozvoj, nekonečná informace, babylonská knihovna v čísle Ludolfově (http: //pi. nersc. gov/) Jak to ale najít?

Hrubá síla nekonečna ve vesmíru V nekonečným počtu vesmírů se stane všechno, co se stát může — a to nekonečněkrát. Alan Guth *1947 Infinity converts the possible into the inevitable. Norman Cousins 1978 • • • Vzdálenost nejbližší hvězdy 6 x 10↑ 16 m Okraj Galaxie 3 x 10↑ 19 m Okraj viditelného vesmíru 10↑ 27 m První „kopie“ mne nebo vás 10↑ 28 m(? ) První „kopie“ Země 10↑ 50 m(? ) První „kopie“ oblasti viditelného vesmíru 10↑ 119 m(? ) (podle J. Barrowa)

Nekonečné množiny Bernard Bolzano (1781 - 1848) Menge – množina Wisenshaftlehre (1837) Paradoxy nekonečna (1851) Všechny pravdy, nekonečno potenciální → v mysli Boží “aktuálně nekonečná říše pravd” Různě veliká nekonečna 23

Georg Cantor (1845 – 1918) 1882 v antikvariátě Bolzanovu knihu: “Chybí v ní to hlavní, co by tam mělo být. “ Paradoxy, které jsou s nekonečnými množinami spojeny, nejsou nic „nepěkného“, nic, co by se mělo odstraňovat. Naopak, jsou tím, co odlišuje nekonečné množiny od konečných, tím, co vytváří svéráz nekonečna. 24

Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme prvky) do jediného celku. G. Cantor Bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) = kritérium ekvivalence x Celek menší než část (Eukleidés) 25

Spočetné nekonečno – přirozená čísla, racionální čísla …algebraická čísla … Nekonečno „malé“ spočetné a „velké“ nespočetné (mohutnost kontinua). Všechna spočetná nekonečna mají stejný počet prvků: sudých čísel je stejně jako všech (přirozených) čísel, stejně tolik je i prvočísel, druhých mocnin, racionálních čísel atd. - rozdíl od Bolzana! 26

Nespočetné nekonečno „reálná čísla“ Cantorův diagonální „důkaz“ Ale: negativní důkaz (zákon vyloučeného třetího) Podivná čísla! – „matematický žert“ (Borel) Cantor je definoval! (Vopěnka) 27

“Vidím to, ale nemohu tomu uvěřit” Richard Dedekind (1831 -1916): … vzájemně jednoznačné zobrazení mezi čtvercem a úsečkou neexistuje, protože: „je zřejmé, že dvě nezávisle proměnné veličiny nelze převést na jedinou“. x Cantor „dokázal“ opak → ve čtverci stejně bodů jako na úsečce, jako v prostoru … 28

Cantorův “zip” a = 0, a 1 a 2 a 3. . . b = 0, b 1 b 2 b 3. . . -------x = 0, a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3. . („Opravdový zip“ patentován v USA 1851 E. Howem. ) 1 2 3 4 -------------------------------- a 0, 345 1 b 0, 721 80 ---------------------------------x 0, 374 251 18 29

Nikdo nás nebude moci vyhnat z ráje, který pro nás vytvořil Cantor. David Hilbert Paradoxy Body na úsečce lze přeskupit tak, že vytvoří přímku, body ze čtverce jde seřadit do úsečky (a naopak), body z celého viditelného vesmíru mohu natěsnat na malou úsečku. „Možnosti“ udělat z koule úsečku, z úsečky celý prostor a pod. jsou čistě teoretické, fyzickému světu nenáležející. (Mohl by to udělat Tomášův Bůh? ) Ale: Aviom výběru (AC) – nekonstruktivní - X axiom determinovanosti 30

Paradox Banachův a Tarského (1924) Kouli je možné rozdělit na pět dílů tak, že jejich jiným složením (posunem a otočením) vzniknou dvě koule stejně veliké. Argument proti AC? Vrány prohlašují, že jediná vrána by mohla rozbít nebesa. To je nesporné. Není to však důkazem proti nebesům, neboť nebesa znamenají nemožnost vran. Franz Kafka 31

Babylonská věž nekonečen Potenční množina – množina všech podmnožin Počet prvků: P(X) = 2 X Kombinatorická exploze počet prvků potenční množina X P(X) 1 2 2 4 3 8 10 1024 20 4 194 304 40 18 bilionů Cantorova věta (definice, axiom) : platí to i pro nekonečné množiny N <P(N) <P(P(N)) < P(P(P(N))) <. . . 32

א Existuje nekonečný počet mohutností nekonečna, nekonečně nekonečen, nekonečně mnoho kardinálních čísel. Táhnou se až do nejvyšších míst, toto nejvyšší místo označil Cantor za Absolutno. Matematickými prostředky už není dostupné. . . 33

Georg Cantor – posel Boží Nyní však děkuji všemohoucímu a nanejvýš dobrému Bohu, že stále odpíral splnění mého přání získat lepší místo na universitě v Berlíně nebo v Göttingenu, neboť mě tak přinutil hlubším proniknutím do theologie sloužit Jemu a Jeho katolické církvi lépe než bych byl schopen svým výlučným zaujetím pro matematiku. Georg Cantor, z dopisu z roku 1894

Spory či paradoxy? Cantorův paradox: Představme si množinu všech množin. Pak tato množina musí obsahovat jako prvek nejen sama sebe ale i všechny své podmnožiny. Ale jak už víme, mohutnost množiny všech podmnožin je vyšší než původní množiny. Takže by měla obsahovat část, která je mohutnější než je sama, což je spor. Russellův paradox: Představme si množinu všech množin takových, že neobsahují samy sebe jako prvek. Ptáme se: obsahuje tato množina sama sebe? Jestliže neobsahuje, pak by se měla obsahovat, jestli obsahuje, tak by se obsahovat neměla. Opět neřešitelný spor. 35

Množinově teoretické hledisko bylo otřeseno. Tím byla podkopaná i celá harmonická stavba matematiky. V hořejších patrech se energicky budovalo: cihly matematických vět spojované cementem logiky byly včleňovány do rámců již existujících disciplín a byly vztyčovány skelety nových teorií. Avšak v množinově teoretických základech se objevily rozšiřující se trhliny sporů a pod nimi pohyblivé písky a bažiny logických obtíží. Alexandr D. Alexandrov Axiomatizace ZF, GB, vyloučení “podivných množin”, třídy

Podbudovávání matematiky teorií množin – Bourbakisace matematiky Jsou to krásné knihy; kdo však by se chtěl matematiku učit pouze z nich, ten by asi nepochopil, proč by něco takového měl vůbec znát. Petr Vopěnka - Ontologie Allana Badiou Snobské troušení (matematických) symbolů, které dnes nacházíme ve filosofických pracích, vede u matematiků ke stejnému pozvednutí obočí, jako kdyby někdo platil u svého hokynáře penězi ze hry monopoly. Gian-Carlo Rota - Matematické zrůdy Se strachem a hrůzou se odvracím od bídné záplavy funkcí, které nemají derivace. Charles Hermite, v dopise Stieltjesovi

Proti jednomu mýtu můžeme postavit jenom mýtus jiný. Mýtus nesvádí boj s empirií, se skutečným světem (ten se oddává libovolnému počtu mýtů), ale s jinými adepty na vysvětlení, s jinými mýty. Tomáš Sedláček

Opuštění cantorova ráje? Opuštění platónismu? Aristotelská cesta? Moje obzvláštní záliba v matematice byla založena jen na její čistě spekulativní části, neboli cenil jsem na ní jen to, co je současně filosofií. Bernard Bolzano Matematické nekonečno je převzato ze zkušenosti, i když nevědomky. Může tedy být vysvětleno jen ze skutečnosti a ne ze sebe sama, z matematické abstrakce. Bedřich Engels Aktuální nekonečno je samoúčelné a zavedlo matematiku do výšin, ze kterých již nelze sestoupit na zem. Andrej A. Markov

Brouwerův intuicionismus – konec aktuálního nekonečna? Bolševická hrozba (Ramsey) a žabomyší válka (Einstein) „Platónský ráj“ nahradil Brouwer „matematickou (pra)intuicí“ mající původ v lidském myšlení… Platónismus Brouwer proklamativně zavrhnul, aby se k němu zadními vrátky potichu vrátil. Tento rozpor (aristotelský nominalismus kontra platónský idealismus) není žádným hraním se slovy. Představuje naopak zásadní rozdíl v tom, k jakému rozsahu klasické matematiky, konečnému, či nekonečnému, je člověk ochoten se upsat. Zastánci platónismu mohou na základě svých předpokladů vytvořit Cantorovu vzestupnou hierarchii nekonečen; intuicionisté jsou naproti tomu nuceni skončit u nekonečna prvního. Přímým byť ne bezprostředním důsledkem tohoto omezení je nutnost vzdát se i některých klasických zákonů týkajících se reálných čísel. Willard Van Orman Quine

Vopěnkova teorie množin (Nová, dříve Alternativní) Nekonečno zůstalo, i když jeho božský pozorovatel a uskutečňovatel zmizel. Nejsme nad světem, ale ve světě. Nehledáme nekonečno v Boží mysli, ale ve světě. Petr Vopěnka se inspiruje fenomenologií, zbavuje se zbytků theoplatónismu: Boha v hávu „nadpřirozených“ axiomů. Z babylonské věže nekonečen mu zbyly dvě patra. Platónismus opouští, aby se k němu nakonec vrátil. Stále hledal “tu pravou teorii množin”. Z Platónsko-cantorovského ráje ale vyházel spoustu haraburdí, které nemá co dělat s reálným světem, světem jevů.

Konec teorie (nekonečných) množin? V posledních letech pozvolna sílí přesvědčení, že bychom se bez množin mohli klidně obejít, že postulování takových jsoucen jako jsou množiny a množiny množin atd. , je přinejmenším podezřelé a že může jít o jazykové artefakty. S takovými názory se setkáváme u vynikajících logiků a filosofů logiky, (z dávných klasiků např. u Skolema, z pozdějších např. u zakladatele nestandardní analýzy Abrahama Robinsona, u Quinea, zvláště u Hintikky, u Obolose, Hailperina a dalších. …) Navíc jsou zde i některé ukazatele „sociologické“: zdá se, že čistě matematická zkoumání teorie množin nenacházejí už ve Spojených státech podporu a že se možná jednou zase všechno vrátí do Prahy, (kde se množiny ještě zkoumají), z níž to jako podivuhodný květ baroka vzešlo. A že se třeba ukáže, že to byla skutečně bádání (v pejorativním smyslu) školní, „scholastická“. Jiří Fiala

Bolzano, pragmatismus a filosofie matematiky Nebyl jsem dokonce ani úplně přesvědčen o pravdivosti a božském původu náboženství, jehož hlasatelem jsem se měl stát … v náboženství, zejména v božím zjevení, nejde vůbec o to, jaká je věc sama o sobě, ale naopak jen o to, jaká představa o ní nás nejvíce povznáší. Bernard Bolzano, Vlastní životopis Mohou existovat velmi rozdílné matematické základy stejně jako rozdílné vnějškové detaily, pokud se o ně dají opřít výsledky potřebné pro reálný svět. Richard W. Hamming (1915 -1998) Pokud má mít otázka po ospravedlnění nějakého opatření dobrý smysl, který přesahuje důkaz bezespornosti, pak spočívá jedině v tom, zda toto opatření vede k odpovídajícímu úspěchu. Úspěch je zde nejvyšší instancí, před kterou se musí každý sklonit. David Hilbert (1862 -1943)

Fenomény a interfenomény Hans Reichenbach (1891 -1953) Fenomény – jevy – to co si nevědomě vytváříme z našich vjemů Interfenomény – to, co si vytváříme vědomě, abychom mezi jevy vnesly řád, abychom se orientovali, abychom je mohli využít pro své dobro (metafyzika) Nekonečno – typický interfenomén (na rozdíl od Vopěnkova přístupu!), můžeme ho zavést libovolně (nebo vůbec ne). Důležité je, aby dobře fungovala reálná matematika, aby nám přinášela ono „bolzanovské dobro“

Ony metafyzické výlety matematiky nebyly zbytečné a zbytečná nebyla ani pouť k božským nekonečnům. Přinesla mnoho inspirujících vhledů, matematika se vrací jiná, daleko bohatší, zkušenější a silnější. Prvoplánový pragmatismus na založení vědy nestačí. Bez metafyzického přesahu, bez „mýtu“ či „náboženství“ se matematika ani věda neobejdou. A neobejdeme se bez něj ani my, lidé. Teprve metafyzika, „zář duchovního světla“, vnáší pochopení řádu věcí, povznáší lidi, přináší lidem dobro.

„Tak jako záře světla slunečního činí zrak vidoucí a věci viditelné, tak i zář světla duchovního činí mysl chápající a věci pochopitelné. “ Robert Grosseteste (1175 -1253) 46