Nekomutativita Geometrie Pro potebujeme nekomutativn geometrii Geome trick
Nekomutativita & Geometrie Proč potřebujeme nekomutativní geometrii ? Geome trický přístup ve fyzikálních teoriích není jednotný.
Obecná relativita & Teorie pole OTR • Časoprostor – dynamický objekt • Geometrie (křivost) – rozložení hmotnosti • Gravitace Teorie pole • Prostor – „pasivní“ jeviště, v němž se vyvíjejí pole • Elektromagnetická, slabá a silná interakce
Narušení harmonie • Planckova délka L=√(κħ/c 3) ~ 10 -35 m • Kvantování gravitace ? Renormalizace ! • Sjednocení za cenu silných fyzikálních hypotéz: strun (dimenze=11), supersymetrie (2 x více částic) • Experiment – zatím není teorie
Obnovení harmonie Sjednocení prostřednictvím geometrie ? • Relativita – jednoduchá interpretace geometrie • Kvantová teorie – jak zavést geometrii ? Pomocí algebraických struktur !!
Geometrie & Algebra Geometrie -vzdálenosti || x – y || Algebra - operace αf(x)+βg(x), f(x)g(x) sup |f’(x)| 1 | f(x) – f(y) |
Proč to tak je – ukázka první • Věta střední hodnotě o
Vzdálenosti a okolí & Operace • Topologická struktura X … [lokálně] kompaktní prostor • Algebraická struktura. . . komutativní algebra [C 0(X)] C(X). . . [mizející] spojité funkce f: X C • Metrická struktura ||f || = supx X |f(x)| norma metrika topologie • Involuce f* = f • Jednotka [v C 0(X). . . neexistuje], v C(X). . . f(x) 1
Prostory & Algebry funkcí • Prostor Komutativní algebra Kompaktní topologický prostor X komplexní komutativní algebra spojitých funkcí na X s normou ||f||=sup {|f(x)| | x X} a obvyklou involucí má strukturu C* - algebry Libovolná komutativní C*- algebra A topologický prostor, jehož algebra spojitých funkcí je izomorfní s A (konstrukce: Gelfand – Najmark – Segal) • ? ? ? ? Nekomutativní algebra Nebude možné sestrojit X tak, aby algebra funkcí na něm představovala danou nekomutativní algebru, neboť algebra funkcí je vždy komutativní.
Proč právě * C- algebra ? • Základní schéma fyzikální teorie geometrický podklad X algebraické výpočty, derivování • Klasické teorie (lokálně) kompaktní Hausdorffův prostor X komplexní funkce spojité na X s obvyklou „supremovou“ normou a obvyklou involucí tvoří komutativní C*- algebru • Kvantová teorie Hilbertův prostor omezené lineární operátory (fyzikální veličiny) tvoří nekomutativní C*- algebru
* C- algebra: výčet struktur • Algebraická struktura • Involuce (sdružení) • Topologická struktura norma metrika topologie • Dodatečné podmínky - na algebraické operace (asociativita, jednička) - na involuci - na topologickou strukturu (spojitost operací) • Reprezentace obecně omezené operátory v Hilbertově prostoru
C*- algebra: algebraická struktura • Operace (struktura algebry) A sčítání … vektorový prostor nad C násobení … (asociativní, obecně nekomutativní) okruh s jedničkou, jedničku lze doplnit, pokud ji algebra neobsahuje: [ , a]+[ , b] = [ + , a+b] [ , a]. [ , b] = [ , b+ a+a. b], I = [1, 0] příklad neasociativní a nekomutativní algebry Lieovy algebry: antikomutativita, Jacobiho identita
C*- algebra: involuce (sdružení) • Involuce (involutivní algebra, * - algebra) A a a* A ( a+ b)*= a*+ b*, (a. b)* = b*. a*, (a*)*= a a*. . . sdružený k prvku a, a = a* … hermiteovský prvek • *- ideál oboustranný vlastní *-podalgebra B A a. b B , b. a B pro libovolné prvky a A, b B ideál nemůže obsahovat jedničku • Faktorová algebra A/B
* C- algebra: topologická struktura • Norma a metrika na algebře A a ||a|| R ||a|| 0, rovnost a = 0 ||a+b|| ||a||+||b||, || a|| = | | ||a||, ||a. b|| ||a|| ||b||, ||I||=1 při rozšíření o jedničku právě jedno rozšíření normy ||[ , a]|| = sup{|| b+ab|| | ||b|| 1} … opět C*- algebra • Banachova algebra úplnost vzhledem k normě, každou normovanou algebru A lze zúplnit (úplný obal B – Banachova algebra - obsahuje A jako hustou podalgebru) • Topologická struktura … indukovaná normou ||. || báze topologie: U(a, r)={b A | ||b - a|| < r}
* C- algebra: spojitost involuce • Normovaná * - algebra dodatečná podmínka ||a*|| = ||a|| spojitost involuce • C*- algebra Banachova *- algebra A s dodatečnou podmínkou ||a*a||=||a||2 ||a|| ||a*|| a ||a*|| = ||a|| • Příklad: komutativní algebra C (X) funkcí spojitých na kompaktním Hausdorffově prostoru X * … komplexní sdružení, ||f ||=sup x X |f(x)|. lokálně kompaktní X … C 0(X) … funkce zanedbatelné v nekonečnu … nemá jedničku
* C- algebra: příklady • Příklad: operátory Nekomutativní algebra B(H) omezených lineárních operátorů na nekonečněrozměrném Hilbertově prostoru, *. . . adjunkce, ||B||=sup{||B || | H , || || 1} • Příklad a protipříklad: matice Nekomutativní algebra čtvercových matic Mn(C), T* = (TT)kompl. sduž a) ||T||. . . odmocnina z největší vlastní hodnoty matice T*T b) ||T|| = sup{Tij}. . . nesplňuje podmínku C*- algebry Obě normy definují stejnou topologii na Mn(C).
* C- algebra: spektrum • Spektrum prvku (a) = { C | (a- I)-1 neexistuje} • Rezolventní množina prvku, rezolventa r(a)={ C | (a- I) je invertibilní}, rezolventa a = (a- I)-1 • Spektrální poloměr (a) = sup{ | | | (a) } • v C*- algebře r(a) je otevřená, (a) je neprázdná uzavřená r(a) (a- I)-1 A analytická funkce (a)=||a|| … jediná norma jednoznačně daná alg. strukturou hermiteovské prvky … (a) (-||a||, ||a||) pozitivní prvky … hermiteovské a (a) [0, ), a=b*b
* C • *- algebra: morfismy lineární zobrazení algeber : A B splňující navíc (a. b) = (a). (b), (a*) = (a)* pro libovolné a, b A • Spojitost a norma morfismy C*- algeber jsou automaticky spojité || (a)|| ||a|| pro libovolné a A , rovnost … izometrie • *- izomorfismy bijektivní *- morfismy, -1 automaticky *- morfismus izometrické *izomorfismy … stejná topologická i algebraická struktura algeber A a B
* C- algebra: reprezentace • Reprezentace C*- algebry A * dvojice (H , ) … H Hilbertův prostor - morfismus : A B(H) je *- izomorfismus je izometrie … věrná reprezentace • Ireducibilní reprezentace H nemá netriviální invariantní podprostory vůči akci (A ) • Cyklický vektor reprezentace H … (A )( ) = { (a)( ) | a A } je hustá v H příklad: A = Mn(C), (T)( ) = T. , každý vektor 0 je cyklický
Stavy na * C- algebře • Stav na C*- algebře lineární funkcionál f : A C, pozitivní. . . f(a*a) 0 ||f || = sup{|f(a)| | ||a|| 1}, pro algebru s jednotkou f(I)=1 spojitost f a vlastnost ||f || = f(I) = 1 S(A) ={f | f stav na A}. . . konvexní, tf 1+(1 -t)f 2 SA , 0 t 1 • Čisté a smíšené stavy čisté stavy…extremální body množiny S(A) nejsou tvaru tf 1+(1 - t)f 2 , 0 < t < 1 (např. vrcholy trojúhelníka)
Proč to tak je – ukázka druhá • ||f||=1 ? To je přece zřejmé! Kolika kroků je ale třeba, než to ověříme? • pozitivní prvek p A … p=a*a. . . hermiteovský, (p) [0, ) f(p) 0 f[r(b*b)I- b*b] 0 r(b*b)f(I) - f(b*b) 0 • [a, b] f(a*b). . . pozitivní seskvilineární forma |f(a*b)|2 f(a*a) f(b*b) |f(b)|2 f(I)f(b*b) f(I)2 r(b*b) f(I)2 ||b||2 |f(b)| f(I)||b|| • přechod k supremům … ||f || = sup{|f(a)| | ||a|| 1} sup |f(b)| f(I) sup||b|| ||f || f(I), pro stavy ||f|| 1 • naopak platí ||I||=1 f(I) ||f || , tj. pro stavy 1 ||f|| • opravdu. . . nakonec je || f || = 1
Stavy na * C -algebře • topologie na S(A) * - slabá topologie … nejhrubší topologie, ve které jsou spojité lineární funkcionály â: S(A) C a â izomorfsimus A S(A)dual • kompaktnost S(A)…lokálně kompaktní a Hausdorffův I A S(A)…kompaktní - topologie
Konstrukce GNS – reprezentace • Reprezentace asociované se stavy f S(A ) … (Hf , f) Nf = {a A | f(a*a) = 0} Nf. . . uzavřený levý ideál v A z f(a*a) = 0 neplyne a=0 … nutno faktorizovat skalární součin v A /Nf … (a+ Nf , b+Nf) f(a*b) C nezávisí na volbě reprezentantů a, b 0 (a)(b + Nf ) = a. b + Nf … omezený lineární operátor na A /Nf … nezávisí na volbě reprezentanta b zúplnění … Hf = úplný obal A /Nf … Hilbertův prostor f (a) B(Hf) … jediné rozšíření operátoru 0 (a) na omezený lineární operátor v Hilbertově prostoru Hf
Konstrukce GNS – reprezentace • GNS – trojice … ( f , Hf , f ) vektor f = I + Nf Hf je cyklický … množina f (a)( f ) je hustá v Hf a platí ( f , f (a)( f )) = f(a) pro lib. a A || f || = 1 • Ireducibilita reprezentace GNS je ireducibilní lib. 0 je cyklický stav f je čistý, komutant množiny (A). . . { I | C} • Ekvivalence reprezentací GNS trojice je určena až na unitární transformaci U : Hf , f = U f , f (a) = U f (a) U-1
Konstrukce GNS – reprezentace • Izometrická reprezentace C*- algebry Pro každou C*- algebru A s jedničkou existuje izometrická reprezentace : A B(H) na jistém Hilbertově prostoru. H = Ha … a A probíhá nenulové prvky algebry A ( a , Ha , a) … GNS trojice odpovídající funkcionálu fa pozitivnímu s vlastností fa (a*a) = ||a||2 (a)( ) = { a (b)( a ) | 0 a A } , = { a | 0 a A } Existenční věta – nepraktická – prostor H „příliš velký“, reprezentace „příliš reducibilní“.
Komutativní geometrie • Komutativní GNS – konstrukce Každá komutativní C*- algebra A s jedničkou je izometricky *- izomorfní algebře C (X) spojitých funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru X. • Charaktery Ireducibilní reprezentace komutativní C*- algebry jsou jednorozměrné (ve vícerozměrných H vždy existují netriviální invariantní podprostory – vlastních vektorů) existují lineární funkcionály f : A C které jsou homomorfismy tj. f(a. b) = f(a) f(b) f(I)=f(I 2) f(I)=1
Proč to tak je – ukázka třetí • Jak víme, že ireducibilní reprezentace (H, ) jsou jednorozměrné ? • Reducibilita operátoru (a). . . neexistence netriviálního invariantního podprostoru, tj. neexistence projektoru P, pro který P (a) = (a)P a (E-P) (a)= (a)(E-P) a PH a (E-P)H jsou invariantní podprostory v H • Reprezentace je ireducibilní komutant množiny (A ) je tvořen jen násobky identického operátoru E. • Pro komutativní algebru A je (A ) podmnožinou komutantu reprezentace je reducibilní s výjimkou, kdy je triviální. A to je právě pro dim H =1.
Komutativní geometrie • Topologie na množině charakterů topologie definovaná bodovou konvergencí: {f } f {f (a)} f (a) báze V={g | g(a 1) U 1, . . . , g(ak) Uk, aj A, Uj C} prostor charakterů … lokálně kompaktní a Hausdorffův, A obsahuje I je kompaktní (a=I, 1 C V= ) • C*-algebra funkcí na â: f â(f) = f(a) C, ||â|| = sup{|f(a)| | a A}= ||a|| • A C( ) A izometrický izomorfismus
Proč to tak je – ukázka čtvrtá • Jak souvisí kompaktnost prostoru charakterů s jednotkou algebry ? • Obecně – prostor charakterů s topologií bodové konvergence je Hausdorffův (různé body lze oddělit disjunktními okolími) a lokálně kompaktní (každý bod má okolí s kompaktním uzávěrem) • Jednotka v algebře kompaktnost: Z každého otevřeného pokrytí celého prostoru ze vybrat konečné podpokrytí.
Proč to tak je – ukázka čtvrtá • Jak oddělit body ? • pro g, h , g h , existuje a A : g(a) h(a), pak v C…disjunktní okolí Ug, Uh, g(a) Ug, , h(a) Uh • Wg ={f | f(a 1) U 1 , . . . , f(ak) Uk , f(a) Ug } Wh ={f | f(b 1) V 1 , . . . , f(am) Vm , f(a) Uh } g Wg , h Wh Wg Wh = Ø
Komutativní geometrie-jinak • Ekvivalentní konstrukce … prostor maximálních ideálů algebry A jádra ireducibilních reprezentací … maximální ideály v A f … A = Ker f C Ker f … maximální ideál v A nechť I … maximální ideál, pak přirozená reprezentace A v A/I je ireducibilní jednorozměrná A/I C faktorový homomorfismus A A/I lze ztotožnit s f přičemž I = Ker f Prostor maximálních ideálů s Jacobsonovou topologií je homeomorfní s opatřeným Gelfandovou topologií.
Komutativní geometrie-příklad • Příklad Y … (lokálně) kompaktní Hausdorffův prostor A = C(Y) … C*- algebra komplexních funkcí na Y a : C(Y) y a(y) C norma ||a||=sup{|a(y)| | y Y}, involuce. . . a*(y) = a(y) ={ ŷ. . . homomorfismus | ŷ : C(Y) a ŷ (a)=a(y) C} Ker ŷ = {a C(Y) | a(y) = 0}. . . maximální ideál v C(Y) homeomorfismus. . . : Y y ŷ Prostor Y a prostor charakterů C*- algebry jeho funkcí jsou topologicky ekvivalentní
Nekomutativní geometrie-příklad • GNS-reprezentace algebry matic M 2(C) komutativ ní podalgebra A = {T | diag ( , )} charaktery f(T)= , g(T)= rozšíře ní na M 2(C) F: M 2(C) C, F(I)=1 F 11+F 22=1 g(T)=a 11 , f(T)=a 22
Proč to tak je – ukázka pátá • Jak víme, že F 11+F 22 = 1 ? • Lineární zobrazení je určeno obrazy báze.
Nekomutativní geometrie-příklad • Ireducibilní reprezentace přísluší čistým stavům f: M 2(C) C a g: M 2(C) C • Faktorizující ideály g(T 1*T 1)=0, f(T 2*T 2)=0 N 1 ={T 1 M 2(C)| a 11=a 21=0}, N 2 ={T 22 M 2(C)|a 12=a 22=0}
Nekomutativní geometrie-příklad • Asociované Hilbertovy prostory H 1 =M 2(C)/N 1 = {T 1 | a 11= x 1 , a 21= x 2 , a 12= a 22 =0} C 2 H 2 =M 2(C)/N 2 ={T 2 | a 11= a 21= 0 , a 12= y 1 , a 22 = y 2} C 2 Skalární součin (X , X’) = x 1* x 1’+ x 2* x 2’ (Y , Y’) = y 1* y 1’+ y 2* y 2’
Nekomutativní geometrie-příklad • Reprezentační morfismy a cyklické vektory 1: H 1 T 1 1(T 1) H 1 , 1 … x 1 = 1, x 2 = 0 2: H 2 T 2 2(T 2) H 2 , 2 … x 2 = 0, x 2 = 1
Nekomutativní geometrie-příklad • Ekvivalence C*-algebra M 2(C) má jedinou ireducibilní reprezentaci. Tato reprezentace je dvojrozměrná. Reprezentace C*-algebry M 2(C) odpovídající čistým stavům f a g jsou ekvivalentní.
Ne-Komutativní omluva závěrem • Fyzikům (a některým matematikům) Vím, že jste zklamaní, že jste dnes neviděli žádnou přímou fyzikální aplikaci. Algebra M 2(C) však má velmi blízko ke spinorům. • Matematikům (a některým fyzikům) Vím, že to bylo příliš triviální. Opomíjet triviální příklady je však špatný zvyk, který nás vzdaluje od pochopení.
- Slides: 38