Navrhovanie experimentov DOE Design of Experiment 2 as

Navrhovanie experimentov – DOE (Design of Experiment) 2. časť Návrh a analýza experimentu

Obsah • • • • Centrálny bod Redukované plány Rozlíšenie redukovaného plánu Príklad s významnou interakciou Faktor „blok“ Úplný faktorový plán pre tri faktory s blokom a s centrálnymi bodmi Metóda odozvovej plochy (RSM – response surface method) Plány CCD – princíp Plány CCD – typy Plány Box - Behnken Experimenty pre zmesi (mixture design) Plány experimentov pre zmesi Taguchiho polia, šumové faktory Pomer signál / šum, robustnosť procesu EVOP (evolutionary operation) Použitá a doporučená literatúra a softvér 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Návrh a analýza experimentu 2

Centrálny bod Dvojúrovňový experiment predpokladá, že použitý lineárny model dobre popisuje vzťah vstup/výstup. Nie je žiadna možnosť overiť, či je lineárny model vhodný, alebo nie. Analýza centrálnych bodov • Porovnaním analýzy dát s centrálnym bodom a bez centrálneho bodu. Ak pridanie centrálneho bodu výrazne zmenší R 2, je to signál, že lineárna závislosť nedostatočne popisuje vzťah vstup/výstup. Preto sa k dvojúrovňovému plánu pridáva jeden alebo viac centrálnych bodov. Pri analýze experimentu sa skúma, či centrálne body zodpovedajú lineárnej závislosti, alebo nie. Test x 1 x 2 x 3 1 8 + + + 9 0 0 0 10 0 11 0 0 0 2 3 4 5 6 7 • Porovnaním chyby Lack of Fit pri analýze dát s centrálnym bodom a bez centrálneho bodu. Ak je chyba Lack of Fit bez centrálneho bodu nevýznamná a s centrálnym bodom významná, je to signál, že lineárna závislosť nedostatočne popisuje vzťah vstup/výstup. +1 x 3 +1 -1 -1 x 1 +1 3 centrálny bod -1 x 2 • Grafická analýza rezíduí. Ak sa analyzujú dáta s centrálnymi bodmi, centrálne body by nemali byť v rezíduách výrazne odlišné. V opačnom prípade je to signál, že lineárna závislosť nedostatočne popisuje vzťah vstup/výstup. Príklady s centrálnym bodom sú v súboroch CENTRAL 1. JMP a CENTRAL 2. JMP. Návrh a analýza experimentu 3

Redukované plány Intercept x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Intercept x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 Alias štruktúra : Intercept = x 1 x 2 x 3 x 1 = x 2 x 3 x 2 = x 1 x 3 = x 1 x 2 Ak odstránime z plánu riadky, v ktorých má trojitá interakcia hodnotu -1, dostaneme polovičný faktorový plán experimentu (half factorial plan). Vidíme, že po odstránení riadkov vznikla situácia, keď niektoré stĺpce plánu sú rovnaké. Efektom modelu, ktoré zodpovedajú rovnakým stĺpcom hovoríme, že sú vzájomne zastúpené alebo že sú alias. V angličtine sa používa tiež termín „confounded“. Zoznamu takýchto vzájomných zastúpení hovoríme alias štruktúra (alias structure). Podľa schémy znázornenej na obrázku je vytvorená alias štruktúra takto získaného plánu. Dôsledkom redukcie plánu je zmenšenie počtu testov, ale na druhej strane nie je možné vypočítať všetky efekty v modeli. Alias štruktúra určuje, ktoré efekty v modeli je na základe plánu možné vypočítať resp. nechať v modeli. Je to vždy jeden z alias dvojice, trojice atď. Na určenie toho, ktorý z efektov to je, neexistuje matematické pravidlo, ale pomôžu technické skúsenosti a iné znalosti o procese. Zo skúseností vieme, že skôr je možné z modelu vylúčiť interakcie ako hlavné efekty. Návrh a analýza experimentu 4

Rozlíšenie redukovaného plánu Pri redukovaní plánov môžeme vytvárať polovičné plány, štvrtinové plány atď. Ak úplný faktorový plán pre m faktorov na dvoch úrovniach označíme ako plán 2 m, potom polovičný plán bude plán 2 m-1, štvrtinový plán bude plán 2 m-2 atď, kde hodnota 2 m-k znamená počet riadkov redukovaného plánu. Podľa počtu faktorov sa môžu v úplných plánoch vyskytovať veľmi komplikované interakcie. Redukovaním plánu vzniká alias štruktúra a niektoré efekty musíme z modelu odstrániť. Skúsenosti hovoria, že v reálnych procesoch môžeme najčastejšie vynechať práve tie najzložitejšie interakcie. Teda pri vynechávaní efektov postupujeme od najzložitejších k jednoduchším. Čím viac redukujeme plán, tým viac efektov musíme z modelu odstrániť. Schopnosť redukovaného plánu umožniť výpočet istej úrovne efektov nazývame rozlíšením plánu (resolution). RIII – plány umožňujú vypočítať hlavné efekty RIV – plány umožňujú vypočítať hlavné efekty a niektoré dvojfaktorové interakcie RV – plány umožňujú vypočítať hlavné efekty a všetky dvojfaktorové interakcie RVI – plány umožňujú vypočítať hlavné efekty, všetky dvojfaktorové interakcie a niektoré trojfaktorové interakcie RVII – plány umožňujú vypočítať hlavné efekty, všetky dvojfaktorové interakcie a všetky trojfaktorové interakcie Takto by sa dalo pokračovať ďalej. Rozlíšenia plánov RI a RII sú síce teoreticky možné, ale nemajú praktický zmysel, preto sa uvádzajú iba plány od rozlíšenia RIII. Ak má úplný faktorový plán pre dva faktory na dvoch úrovniach schopnosť umožniť vypočítať všetky dvojfaktorové interakcie, ale nie viacfaktorové, lebo sú v ňom len dva faktory, neurčujeme stupeň rozlíšenia ale hovoríme, že je nasýtený (saturated). Rôzne redukované plány sú uvedené v literatúre, alebo ich generujú štatistické softvéry. Pri použití redukovaného plánu si treba vždy uvedomiť príslušnú alias štruktúru. Plány s rozlíšením RIII sa používajú iba na screeningové experimenty. Treba si uvedomiť, že použitie plánov s rozlíšením RIII môže viesť k nesprávnym výsledkom, ak sú v procese silné interakcie. Návrh a analýza experimentu 5

Príklad s významnou interakciou Ak má plán rozlíšenie RIII, umožňuje vypočítať iba hlavné efekty. Z toho vyplývajú isté riziká, ak sú v procese významné interakcie. Použitý polynomický model rozkladá vplyv faktorov na „čistý“ vplyv a interakciu. Keby bol „čistý“ vplyv nulový a v procese by bola významná iba interakcia, nemôžeme povedať, že faktor nemá vplyv na výsledok procesu. Jeho vplyv je len komplikovaný. Predstavme si, že máme proces, kde vzťah vstup/výstup je daný rovnicou: teda vplyv oboch faktorov na výstup je len prostredníctvom interakcie. Tento vzťah je grafický znázornený na obrázku. Ak budeme takýto proces experimentálne skúmať pomocou modelu, ktorý má len hlavné efekty výsledok bude, ako vidieť z tabuľky, že žiaden z faktorov nemá vplyv na výstup. Je to dôsledok toho, že sme zanedbali interakciu. V tomto dvojfaktorovom pláne samozrejme nemá zmysel hovoriť o redukovanom pláne, ale podobne to bude aj pri viac ako dvojfaktorových plánoch. Návrh a analýza experimentu Test x 1 x 2 y 1 2 3 4 + + 1 -1 -1 1 Priemer(+1) Priemer(– 1) Delta Odhad efektu (b 1, . . . ) Odhad koštanty (b 0) 0 0 0 0 0 6

Faktor „blok“ (blocking) Vľavo je úplný faktorový plán pre tri faktory. Z dôvodu eliminácie systematických chýb bolo vhodné plán znáhodniť. Niekedy znáhodnenie je z praktických dôvodov možné, preto musíme pre elimináciu systematickej chyby urobiť iné opatrenia. Jedna z možností je udržať počas experimentu podmienky čo najstabilnejšie, ale mali by sme mať možnosť vplyv systematickej chyby overiť. Keby sme pridali k plánu ďalší – fiktívny – faktor „blok“, mali by sme štvorfaktorový plán. Polovičný štvorfaktorový plán je zobrazený vpravo. Vidíme, že tento polovičný plán obsahuje úplný plán pre faktory x 1, x 2, x 3 (orámovaný hrubou čiarou), ale je polovičný ak pridáme faktor „blok“. Ak realizujeme experiment tak, že každý blok bude realizovaný v podmienkach, keď predpokladáme rozdielnu „úroveň“ systematickej chyby, mala by byť systematická chyba zachytená práve vo faktore „blok“. Pri analýze experimentu postupujeme tak, že analyzujeme experiment ako štvorfaktorový. Ak nie je faktor „blok“ štatisticky významný, experiment ďalej analyzujeme ako úplný plán pre faktory x 1, x 2, x 3. Podobne treba chápať faktor „blok“ aj pre iný počet faktorov a iné ako úplné plány experimentu. Test x 1 x 2 x 3 Test Blok x 1 x 2 x 3 1 + + + 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 6 2 7 2 8 2 + + + 2 3 4 5 6 7 8 Návrh a analýza experimentu 7

Úplný faktorový plán pre tri faktory s blokom a s centrálnym bodom Test Pattern Blok x 1 x 2 x 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 ---++ 000 000 +-+ ++--+ -+000 +-+++ ---++ 000 +-+ ++--+ -+000 +-+++ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 -1 -1 0 0 1 1 -1 -1 0 1 1 -1 1 0 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 -1 1 0 0 1 -1 0 -1 1 Návrh a analýza experimentu 8

Metóda odozvovej plochy (RSM – response surface method) Úloha: Nájsť také nastavenie faktorov x 1 a x 2, aby výstup y dosahoval maximum. trojrozmerný graf (3 D plot) vrstevnicový graf (contour plot) maximum smer k maximu Metóda odozvovej plochy (RSM – response surface method) využíva nájdený model, ktorý obsahuje lineárne a kvadratické členy faktorov a aj ich interakcie. Pre dva faktory tento model predstavuje plochu, ako je to zobrazené trojrozmerným grafom (pre viac ako dva faktory takúto plochu nevieme zobraziť). Analýzou plochy hľadáme také nastavenia faktorov, kde má plocha maximum alebo minimum. Ak oblasť nastavenia faktorov neobsahuje optimálne nastavenie, analýzou plochy hľadáme smer , ktorým máme zmeniť nastavenie faktorov, aby sme našli optimálne nastavenie. Táto metóda sa používa pre maximálne osem faktorov. Návrh a analýza experimentu 9

Plány CCD – princíp Plán pre metódu odozvovej plochy musí umožniť vypočítať aj nelineárne (kvadratické) členy v modeli, teda faktory musia byť nastavené najmenej na troch úrovniach. Môže sa použiť úplný faktorový plán na troch úrovniach, ale takéto plány vedú k veľkému počtu testov. Preto sa používajú špeciálne zostavené plány, ktoré umožňujú vypočítať lineátne a kvadratické efekty a dvojfaktorové interakcie. Jedným typom takýchto plánov sú plány typu CCD – Central Composite Design. Základom plánu je úplný dvojúrovňový plán (v tabuľke orámovaný hrubou čiarou), ku ktorému sú pridané centrálne a axiálne body. Hodnota čísla a a počet centrálnych bodov sa vypočíta na základe ďalších požiadaviek na plán (napríklad ortogonalita, rotovateľnosť, počet faktorov a iné). Hodnota a a počet nulových bodov pre rotovateľné CCD plány (počet nulových bodov približuje plán k ortogonálnemu) Počet nulových a faktorov bodov 1, 414 8 2 1. 682 9 3 2. 000 12 4 2. 378 16 5 k – počet faktorov 6 axiálnych bodov +1 x 3 x 2 -1 -1 x 1 +1 -1 +1 9 centrálnych bodov a Návrh a analýza experimentu Test 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 x 1 x 2 x 3 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -a 0 0 -a 0 -1 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 -a 10

Plány CCD – typy Na obrázkoch sú znázornené rôzne typy dvojfaktorových plánov CCD. Líšia sa spôsobom výpočtu čísla a (axiálne úrovne). Podobne vyzerajú aj viacfaktorové plány, ale majú inú hodnotu a. CCC CCF CCI Central Composite Circumscribed Rotovateľný (rotatable) a = 1, 4142 5 úrovní faktorov Central Composite Face centered Plošne centrovaný a=1 3 úrovne faktorov Central Composite Inscribed Vpísaný x 2 x 1 Plány dostaneme, ak kódované hodnoty +1 a -1 nahradíme číslami +1/a a -1/a a axiálne hodnoty +a a –a nahradíme číslami +1 a -1. Takto upravený plán používame vtedy, ak nie je možné faktory nastaviť v rozsahu -a až + a. 1 a Rotovateľný plán je vhodnejší, ak robíme experiment s cieľom vytvoriť model. Pri použití regresnej analýzy umožňuje rotovateľný plán jednoduchý tvar konfidenčného pásma pre model a predikčného pásma pre individuálne hodnoty. Pridaním vhodného počtu centrálnych bodov sa plán približuje k ortogonálnemu. Plošne centrovaný plán použijeme, ak nie je možné nastaviť faktor na 5 úrovní. Návrh a analýza experimentu 11

Plány Box - Behnken Plány Box – Behnken sú vhodné pre metódu odozvovej plochy. Používajú tri úrovne faktorov. Používajú sa vtedy, keď nie je možné nastaviť extrémne kombinácie úrovní faktorov (všetky maximum alebo všetky minimum a podobne). Na obrázku sú znázornené nastavenia 3 -faktorového plánu Box – Behnken. Vidieť, že chýbajú body vo vrcholoch kocky a body v stredoch stien. Box – Behnken plány sa používajú pre 3 až 7 faktorov. +1 x 3 +1 -1 -1 x 1 +1 -1 x 2 Návrh a analýza experimentu 12

Experimenty pre zmesi (mixture design) Experimenty pre optimalizáciu pomeru zložiek v zmesi sú založené na rovnakom princípe, ako štandardné faktorové experimenty. Existujú však isté odlišnosti: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Hodnota faktora je vyjadrená ako podiel z celku v tvare zlomku, alebo ako percentuálny podiel. Súčet hodnôt všetkých faktorov je 1 alebo 100%. Dôsledkom toho je, že jeden z faktorov sa dá vypočítať z ostatných, teda jeden z faktorov je lineárne závislý. Z toho vyplýva, že plány pre tieto experimenty nebudú ortogonálne. Nulový podiel niektorého faktora znamená, že v zmesi nie je príslušná zložka. Nula sa nepovažuje za úroveň nastavenia faktora, pretože zložka v zmesi neexistuje. 100% podiel niektorého faktora znamená, že v zmesi nie sú ostatné zložky. Všetky faktory musia byť spojité. Experimenty pre zmesi môžu byť pre dve a viac zložiek. Pre dve zložky však experiment prejde na jednoduchý jednofaktorový experiment, pretože nastavenie druhej zložky je vždy dané nastavením prvej zložky. Špeciálne plány je potrebné použiť až pre tri alebo viac faktorov. Z týchto odlišností vyplýva modifikovaný prístup k riešeniu modelu. Na riešenie budeme používať model bez konštanty (intercept). Návrh a analýza experimentu 13

Plány experimentov pre zmesi Pri experimentoch pre podiely zložiek zmesí používame niekoľko typov plánov: Simplex Centroid Plán je použiteľný, ak každý z faktorov je možné nastaviť na hodnoty 0 až 1 (0 až 100%) a ak tieto nastavenia majú zmysel. Riadky plánu obsahujú iba 0, 1 alebo rovnaké úrovne nastavenia faktorov. Simplex Latice Plán je použiteľný, ak každý z faktorov je možné nastaviť na hodnoty 0 až 1 (0 až 100%) a ak tieto nastavenia majú zmysel. Riadky plánu obsahujú iba 0, 1 alebo rôzne iné úrovne faktorov. Plány Simplex Centroid alebo Simplex Latice volíme podľa toho, čo je vhodnejšie z hľadiska nastavenia faktorov pri realizácii experimentu. Extreme Vertices Plány používame vtedy, keď jeden alebo viac faktorov nie je možné nastaviť na hodnoty 0 až 1 (0 až 100%), alebo nastavenie na hodnoty 0 až 1 (0 až 100%) nemá zmysel. Simplex Centroid, 3 úrovne Test 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 x 2 x 3 1. 00 0. 00 1. 00 0. 50 0. 33 0. 33 1 x 3 0 0 0 x 2 1 1 x 1 Simplex Latice, 3 úrovne Test 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 x 2 x 3 0. 00 1. 00 0. 33 0. 67 0. 00 0. 67 0. 33 0. 00 1. 00 0. 33 0. 00 0. 67 0. 33 0. 67 0. 00 0. 33 0. 67 0. 33 0. 00 1. 00 0. 00 Návrh a analýza experimentu 1 x 3 0 0 0 x 2 1 1 x 1 14

Taguchiho polia, šumové faktory Ak hovoríme o faktoroch, ktoré ovplyvňujú výsledok procesu, najčastejšie tým myslíme faktory, ktoré ovplyvňujú strednú hodnotu procesu. Nemenej dôležitá charakteristika procesu je jeho rozptyl. Je isté, že existujú nejaké faktory, ktoré ovplyvňujú práve rozptyl procesu. Ak dokážeme identifikovať faktory ovplyvňujúce strednú hodnotu, tzv. signálové faktory (signal factors) a Vonkajšie pole (outer array) k Vnútorné pole (inner array) j 1 2 3 4 z 2 - + z 1 - - + + Z-- Z-+ Z+- Z++ i x 1 x 2 1 - - X-- y 11 y 12 y 13 y 14 2 - + X-+ y 21 y 22 y 23 y 24 3 + - X+- y 31 y 32 y 33 y 34 4 + + X++ y 41 y 42 y 43 y 44 faktory ovplyvňujúce rozptyl procesu, tzv. šumové faktory (noise factors), môžeme použiť na optimalizáciu procesu Taguchiho plány. Na základe týchto plánov môžeme optimalizovať jednak strednú hodnotu procesu a jednak jeho rozptyl. Princíp Taguchiho postupu ukážeme na príklade procesu, kde sme identifikovali dva signálové faktory x 1, x 2 a dva šumové faktory z 1, z 2 a výstup y. Zobrazený plán je Taguchiho plán L 4. Je vlastne kombináciou dvoch dvojfaktorových plánov pre signálové faktory x 1, x 2 a pre šumové faktory z 1, z 2. Premennými pre analýzu experimentu sú y a pomer signál / šum S/N (signal to noise ratio). y S/N Pokračovanie na nasledujúcej strane Návrh a analýza experimentu 15

Pomer signál / šum, robustnosť procesu Cieľom experimentu je nájsť také nastavenie faktorov vnútorného poľa – signálových faktorov, pri ktorom bude výstupná charakteristika y (reprezentovaná hodnotou y) nadobúdať optimálnu hodnotu a pomer signál / šum bude maximalizovaný. Ak nájdeme takéto nastavenie faktorov, charakteristika y bude málo citlivá na šum. Potom je proces málo citlivý na šum – hovoríme, že je robustný. Pomer signál / šum (S/N) LSL, USL LSL, väčšia hodnota je lepšia (larger is better) USL, menšia hodnota je lepšia k Vonkajšie pole (outer array) Špecifikácia pre výstupnú charakteristiku procesu (y ) (smaller is better) Vnútorné pole (inner array) j 1 2 3 4 z 2 - + z 1 - - + + Z-- Z-+ Z+- Z++ i x 1 x 2 1 - - X-- y 11 y 12 y 13 y 14 2 - + X-+ y 21 y 22 y 23 y 24 3 + - X+- y 31 y 32 y 33 y 34 4 + + X++ y 41 y 42 y 43 y 44 Jednotka pomeru signál / šum je decibel y S/N Návrh a analýza experimentu k – počet testov vonkajšieho poľa LSL – dolná hranica špecifikácie USL – horná hranica špecifikácie 16

EVOP (Evolutionary Operation) EVOP je metóda experimentov, ktorá umožňuje realizovať experiment bez prerušenia procesu a bez toho, aby boli v procese následkom nastavenia faktorov generované nezhodné produkty. To môžeme dosiahnuť vtedy, keď sú zmeny nastavenia faktorov malé a ak používame málo faktorov. Pre EVOP sa používajú plány s dvomi faktormi na dvoch úrovniach (s centrálnym bodom). Vzhľadom k tomu, že zmeny faktorov sú malé, pre rozlíšenie zmien výstupnej charakteristiky sú potrebné veľké vzorky. EVOP sa realizuje ako postupnosť experimentov. V prvej fáze sa realizuje experiment okolo aktuálneho nastavenia procesu a na základe analýzy optimálneho nastavenia sa nastaví a stabilizuje proces s novým nastavením. Okolo nového nastavenia sa realizuje ďalší experiment, a takto sa postupuje smerom k zlepšovaniu sledovanej výstupnej charakteristiky procesu (postup A B C D). x 2 cieľ B A D C štart x 1 Každý štvorec predstavuje plán experimentu Návrh a analýza experimentu 17

Použitá a doporučená literatúra a softvér 1. The Certified Six Sigma Black Belt Primer, First Edition, Quality Council of Indiana, December 2001, 2. T. P. Ryan, Statistical Methods for Quality Improvement, JOHN WILEY & SONS, New York, 1989 3. Štatistika – slovník a značky, časť 3: Navrhovanie experimentov, Slovenská technická norma STN ISO 3534 -3, jún 1993 4. S. R. Schmidt, R. G. Launsby, Understanding Industrial Designed Experiments, AIR ACADEMY PRESS, Colorado Springs, 1994 5. A. J. Duncan, Quality Control and Industrial Statistics, Richard D. Irwin, Inc. , Fifth Edition, 1986 6. T. H. Wonnacot, R. J. Wonnacot, Statistika pro obchod a hospodářství, VICTORIA PUBLISHING a. s. , Praha, 1993 7. Microsoft® EXCEL, Microsoft Corporation 8. JMP , The Statistical Discovery Software , SAS Institute Inc. , version 3. 2 – 5. 012 Návrh a analýza experimentu 18