Multiplication Division du sens aux techniques La multiplication

Multiplication - Division du sens aux techniques

La multiplication : par où commencer ? L’addition réitérée ou Les quadrillages ? ? ?

Historiquement… Les Grecs mettaient toujours en relation le numérique et le géométrique : □ Un nombre représenté par une longueur □ Un produit de 2 nombres représenté par l’aire d’une surface

Les limites de l’addition réitérée

Alors que …

Les propriétés à acquérir

Activités préparatoires à mener au CP, au CE 1 1ère étape : EN VRAC OU ORGANISES ?

2ème étape : RÉALISONS DES COUPLES ET DÉNOMBRONS-LES !

3ème étape : Retrouvons le bon rectangle

La table de multiplication À construire et à analyser avec les élèves

Les tables de multiplication

Une progression basée sur la réflexion : Après la table de 2, les tables de 4 et de 8 peuvent être reconstruites. Même remarque après la table de 3 pour 6 et 9. La seule n'ayant aucun lien avec les autres, donc a priori la plus difficile à mémoriser, c'est la table de 7. Mais, en réalité, il ne reste alors que 7 x 7 à apprendre. Tous les autres peuvent être retrouvés par commutativité (Exemple : 7 x 8 et 8 x 7 …. )

Des jeux à fabriquer : en fabriquant 1 jeu de chaque, toute la classe peut jouer en même temps ! * le jeu des mariages * le jeu de mémory * le jeu de la table * le jeu de Pythagore * les 50 cases * le jeu des multiples

Les mariages

Jeu de mémory Jeu de rapidité

Jeu de Pythagore

A vous de poser : 34 X 23

La technique opératoire Un préalable la décomposition des nombres car …

Multiplication posée que nous avons retenue 34 X 23 ou

Et dans les manuels ? MATHS +, éditions SED CE 2

Peut-être parce que ce n’est qu’une révision…

Ce sera la dernière du manuel !

Et les décimaux. . .

La division

La division : les particularités

Les 2 sens de la division

… et un 3ème !

Quelle progression ?

Combien de parts ? Combien de groupes ?

Valeur de la part ?

1 – On commence par des situations de quotition

2 – On continue par des situations de partition

Division : la technique

Division : la technique Au CE 2 On utilise dès le début des situations avec reste : pour éviter d’installer une mauvaise représentation de la division !

) Savoirs et savoir-faire utiles : - savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables - connaître les techniques de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication - savoir ce qu’est un multiple et savoir écrire la table des multiples d’un nombre donné (exemple : table des multiples de 16) 2°) Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle (1 séance) - On peut commencer par une situation de regroupement ( « Combien de paquets ? » ) avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle. Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de paquets ? - On peut continuer par une situation de partage ( « Combien dans chaque paquet ? » ) avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle. Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ?

- Problème que les élèves sont amenés à résoudre en utilisant des procédures personnelles Exemple : un géant qui fait des pas de 15 km part de son premier château pour aller vers son deuxième château distant de 3530 km. Combien de pas le géant doit-il effectuer pour atteindre ce deuxième château? La mise en commun permet de faire apparaître les différentes procédures utilisées par les élèves (procédure additive, procédure multiplicative, procédure soustractive, mixage de ces différentes procédures, …) On peut garder sous la forme d’affiches des traces des procédures utilisées de façon à pouvoir s’y référer lors des séances suivantes. On peut écrire à la fin : 3530 = (235 × 15) + 5 Rappel : Il semble préférable, au niveau mathématique d'avoir dès le départ une division avec reste pour ne pas donner une fausse image de la notion de division … 3°) Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (2 ème séance) Remarque : on peut d’abord faire construire la table des multiples de 15 et demander d’utiliser cette table pour effectuer des calculs du type 5 × 15, 5000 × 15, … Elaborer progressivement la technique posée traditionnelle c’est s’intéresser parmi les différentes procédures utilisées pour résoudre le problème du géant, à la procédure soustractive qu’on va améliorer pour le rendre de plus en plus Sommaire efficace.

On pourra, par exemple, arriver à une présentation de ce type : 3 5 3 0 1 5 0 0 1 0 0 2 0 3 0 1 5 0 0 1 0 0 5 3 0 1 5 0 1 0 3 8 0 1 5 0 1 0 Il lui reste encore 5 km à parcourir Le géant fait 235 pas 2 3 0 1 5 0 1 0 8 0 7 5 5 Sommaire

4°) Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (suite) (3ème et 4ème séances mais qui ne suivent pas nécessairement immédiatement la deuxième séance) Nouveau problème (problème avec une division-partition alors que le problème du géant était un problème de division-quotition) 24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces d’or. Combien auront-ils chacun ? [Là encore, il y a un reste … (à ajouter à la part du capitaine, à enterrer en prévision de jours plus difficiles, … ? ; -) ] On pourra reprendre une présentation des calculs analogues à celle vue au paragraphe précédent puis l’améliorer pour arriver à : 3 7 5 0 2 4 1 × 24 = 24 2 × 24 = 48 3 × 24 = 72 4 × 24 = 96 5 × 24 = 120 6 × 24 = 144 7 × 24 = 168 8 × 24 = 192 9 × 24 = 216 On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6 2 4 0 0 1 0 0 1 3 5 0 1 2 0 0 5 0 1 5 0 1 4 4 6 On utilise la table des multiples de 24 pour donner le maximum de paquets de 100 pièces, puis le maximum de paquets de 10 pièces puis le maximum de pièces. Sommaire

5°) Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (suite) (5ème séance mais qui ne suit pas nécessairement immédiatement les précédentes et qui peut ne concerner que le CM 2) - Travail sur le nombre de chiffres du quotient : Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer le nombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – – à la place du quotient) et expliquer comment vous faites pour le trouver. 8 2 5 1 5 5 3 9 1 4 8 0 1 7 3 7 5 0 2 4 - Technique posée traditionnelle : - _ _ _ 1 5 6 2 4 0 0 1 3 5 0 1 2 0 0 1 5 0 1 4 4 6 Sommaire

Et les décimaux. . .