Multipli di un numero DEFINIZIONE I multipli di

Multipli di un numero DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall’insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. ESEMPIO I multipli del numero 4 costituiscono l’insieme M 4 { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, … } • Essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di un numero sono infiniti. • I multipli di 2 costituiscono la successione dei numeri pari, tutti gli altri numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari. La divisibilità 1

Divisori di un numero DEFINIZIONE. Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero (r = 0), diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo. ESEMPIO 18 3 6 resto 0 3 è divisore di 18 e 18 è divisibile per 3 18 4 4 resto 2 4 non è divisore di 18 e 18 non è divisibile per 4 • I divisori di un numero costituiscono un insieme finito, poiché il divisore più grande è sempre uguale al numero stesso. La divisibilità 2

I criteri di divisibilità Divisibilità per 2 CRITERIO. Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari. ESEMPIO 28 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra 8 è pari. Divisibilità per 5 CRITERIO. Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque. ESEMPIO 90 La divisibilità è divisibile per 5 perché termina con 0. 3

I criteri di divisibilità Divisibilità per 3 e per 9 CRITERIO. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (o di 9). ESEMPIO 15 18 è divisibile per 3 (e per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 8 = 9, è un multiplo di 3 (e di 9). è divisibile per 3 (ma non per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 5 = 6, è un multiplo di 3 (e non di 9). Divisibilità per 11 CRITERIO. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella di posto pari (o viceversa) è 0 o un multiplo di 11. ESEMPIO 209 La divisibilità è divisibile per 11 perché (2 + 9) – 0 = 11 4

I criteri di divisibilità Divisibilità per 10, 1000 CRITERIO. Un numero è divisibile per 10, 1000, … se termina rispettivamente con uno, due, tre, … zeri. ESEMPIO 700 è divisibile: per 100 perché termina con due zeri; per 10 perché l’ultima cifra è uno zero. La divisibilità 5

I criteri di divisibilità Divisibilità per 4 e 25 CRITERIO. Un numero è divisibile per 4 o per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4 o di 25, oppure sono due zeri. ESEMPIO 128 475 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre (28) sono divisibili per 4, infatti è divisibile per 25 perché le ultime due cifre (75) sono divisibili per 25, infatti La divisibilità 28 : 4 = 7 75 : 25 = 3 6

Numeri primi e numeri composti DEFINIZIONE. Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. ESEMPIO 5 11 23 12 La divisibilità È un numero primo perché è divisibile per 1 e 5. È un numero primo perché è divisibile per 1 e 11. È un numero primo perché è divisibile per 1 e 23. Non è un numero primo perché è divisibile per altri numeri (2, 3, 4, 6) oltre all’ 1 e a se stesso. 7

La scomposizione in fattori primi DEFINIZIONE. L’operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. ESEMPIO Quoti 132 66 33 11 1 2 2 3 11 Divisori primi 132 2 2 3 11 REGOLA. Per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero dato e i suoi divisori primi (in ordine crescente) fino ad ottenere come quoto uno. I divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza. La divisibilità 8

Criterio generale di divisibilità CRITERIO. Due numeri sono divisibili tra loro se ciascun fattore del numero divisore è presente nella scomposizione del numero dividendo ed ha esponente minore o uguale a quello del fattore corrispondente. ESEMPIO 2160 216 108 54 27 9 3 2160 = 24 33 5 1 2 2 3 3 3 5 90 9 3 1 2 3 3 5 90 = 2 32 5 Poiché tutti i fattori del divisore sono presenti fra i fattori del dividendo ed hanno esponente minore, possiamo affermare che 2160 è divisibile per 90. REGOLA. Il quoziente di due numeri divisibili fra loro si ottiene moltiplicando tutti i fattori del dividendo aventi per esponente la differenza degli esponenti con cui compaiono nei due termini della divisione. La divisibilità 9

Il Massimo Comune Divisore (M. C. D. ) DEFINIZIONE. Il M. C. D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. ESEMPIO D 12 12 16 { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } D 12, 16 D 16 { 1, 2, 4, 8, 16 } { 1, 2, 4 } Il numero 4 è il maggiore dei divisori comuni tra i due numeri e viene chiamato Massimo Comune Divisore (M. C. D. ). M. C. D. (12, 16) = 4 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è divisore di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il M. C. D. dei numeri dati. La divisibilità 10

Il Massimo Comune Divisore (M. C. D. ) DEFINIZIONE. Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno 1 come M. C. D. ESEMPIO 6 D 12 25 { 1, 2, 3, 6 } D 16 { 1, 5, 25 } M. C. D. (6, 25) = 1 6 e 25 sono primi tra loro. La divisibilità 11

Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M. C. D. ) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il M. C. D. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente minore. ESEMPIO 1760 176 88 44 22 11 1 2 5 2 2 11 1760 = 25 5 11 420 42 21 7 1 2 2 3 7 5 22 52 2 200 = 23 52 420 = 22 3 5 7 I fattori comuni con l’esponente minore delle tre scomposizioni sono 22 e 5. M. C. D. (1760, 420, 200) = 22 La divisibilità 200 2 1 5 = 20 12

Il minimo comune multiplo (m. c. m. ) DEFINIZIONE. Il m. c. m. di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi. ESEMPIO 3 2 M 2 { 2, 4, 6, 4, 8, 10, 12 … } M 2, 3 M 3 { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 …} { 6, 12, 18, 24 …} Il numero 6 è il minore dei multipli in comune tra i due numeri, pertanto m. c. m. (2, 3) = 6 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è multiplo di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il m. c. m. dei numeri dati. CRITERIO. Se due o più numeri sono primi tra loro, il m. c. m. è dato dal prodotto dei due numeri. La divisibilità 13

Il calcolo del minimo comune multiplo (m. c. m. ) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il m. c. m. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente maggiore. ESEMPIO 210 21 7 1 2 3 7 5 210 = 2 3 5 7 525 105 21 7 1 5 5 3 7 525 = 3 52 7 735 147 49 7 1 5 3 7 7 735 = 3 5 72 I fattori comuni con l’esponente maggiore sono 3, 52 e 72, il fattore non comune è 2. m. c. m. (210, 525, 735) = 2 3 52 72 = 7350 La divisibilità 14