MUESTREO ALEATORIO EN POBLACIONES INFINITAS O EN MUESTREO
MUESTREO ALEATORIO EN POBLACIONES INFINITAS O EN MUESTREO CON REEMPLAZO Cuando la población es infinita se hace inoperante la definición que dimos para muestra aleatoria en poblaciones finitas. Aceptaremos, para este caso, la siguiente definición: Definición EM 2. Decimos que las variables aleatorias X 1, X 2, …, Xn constituyen una muestra aleatoria de la población W si a) están asociadas a los valores que presentan las unidades extraídas de W y b) son independientes idénticamente distribuidas. ■ Esta definición es válida tanto para poblaciones infinitas, como para poblaciones finitas en muestreos con reemplazo.
definiciones EM 1 y EM 2 coinciden. Esto se refleja en la siguiente proposición. Proposición EM 1. Una secuencia de variables aleatorias X 1, X 2, …, Xn independientes e idénticamente distribuidas constituye una muestra aleatoria de la población finita W si y sólo si el proceso de muestreo es con reemplazo. Demostración. Para que sean independientes las X 1, X 2, …, Xn siendo se requiere que Si la unidad es reemplazada, la anterior relación tiene lugar, pero si no es reemplazada, entonces cuando ■ Observación. Para efectos de determinar cualquier propiedad estadística de una muestra aleatoria, la definición EM 2 puede simplificarse diciendo: “La secuencia de variables aleatorias X 1, X 2, …, Xn constituye una muestra aleatoria, si estas variables son independientes e idénticamente distribuidas. ” ■ Se acostumbra utilizar la notación iid para abreviar “independientes e idénticamente distribuidas”. Definición EM 3. Sea X 1, X 2, …, Xn, una muestra aleatoria extraída de una determinada población W. Sea gn = gn(X 1, X 2, …, Xn) una función de X 1, X 2, …, Xn. La variable aleatoria gn porta el nombre de estadístico. ■ En otras palabras, un estadístico es cualquier función de las variables aleatorias X 1, X 2, …, Xn, que resultan de un proceso de muestreo, que no tiene ningún parámetro desconocido, es decir, que depende sólo de las variables X 1, X 2, …, Xn
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