Mtodos Numricos e Estatsticos Prof Marcone Jamilson Freitas

Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 6: Métodos numéricos para determinação de autovalores e autovetores

Problemas de autovalores y´´ = Ay y = xe t y´´ = 2 xe t = Ay = A xe t dividindo por e t e fazendo = 2 Ax= x

• Autovalor (eigenvalue, valor característico): é um número (real ou complexo) tal que a equação Ax= x tem solução não trivial x 0 x é um autovetor (eigenvector). • O conjunto de autovalores de A é chamado de o espectro de A. (A - I)x= 0 • Só existe solução não trivial se det | A - I| = 0. • Matrizes similares têm os mesmos autovalores. D é similar a A se existe uma matriz T tal que D = T-1 A T

• Desvio espectral: se A tem o conjunto de autovalores 1 , 2 , 3. . . , então A - k I terá como autovalores 1 - k , 2 - k , 3 - k. . . • O maior valor absoluto do conjunto { } é chamado de raio espectral de A. • Os autovalores são as raízes da equação característica det | A - I| = 0 • A soma dos autovalores é chamado de traço de A. traço A

Obtenção dos autovalores: método da potência Trata-se de um método iterativo. Iniciamos com um vetor xo 0, calculando um novo vetor x 1 = A xo. E assim sucessivamente: x 2 = A x 1 ; x 3 = A x 2. . . xs = A xs-1 y = xs ; x = xs-1 (y = A x) Se A for uma matriz real e simétrica (AT = A), então é uma aproximação para um autovalor de A (em geral, o maior valor absoluto), com erro estimado em mo = x. T x m 1 = x. T y m 2 = y. T y

Achado um autovalor 1, com achar os demais? Deve-se obter uma nova matriz A 1 cujo espectro seja {0, 2 , 3. . . }. A obtenção de A 1 a partir de A é chamado de deflação de A. Deflação de Wielandt Temos a matriz A, um autovalor 1 e o correspondente autovetor x 1. A matriz A 1 pode ser obtida como: Atenção: A 1 = (I - x 1 z 1 T) A = z 1 T é um vetor tal que z 1 T x 1 =