Mtodos Numricos e Estatsticos Prof Marcone Jamilson Freitas

Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 04: Sistemas Lineares

Sistemas lineares n equações n incógnitas homogêneo: se bj=0 j , caso contrário, não homogêneo o sistema de equações pode ser representado pelo produto de matrizes: AX=B , onde

Eliminação de Gauss Reduzir o sistema para forma triangular: elimina-se x 1 de E 2 a En ; elimina-se x 2 de E 3 a En ; . . . Calcular xn a partir da última equação Fazer a substituição reversa: xn x(n-1) . . . . x 1

Fatoração LU A matriz A pode ser escrita como A = LU, onde L é o triângulo de baixo (lower), e U é o de cima (upper). A = L U LU Para matrizes não singulares, as linhas podem ser reordenadas e a matriz A é fatorável. A é não singular quando tem uma inversa A-1, tal que A A-1 = I I=

Métodos Doolittle: A solução é obtida resolvendo-se em primeiro lugar L y = B e depois Ux = y Ax=B= LUx =B Os elementos da matriz L são os os de U são os uij. lij e

Cholesky: Para A positiva, definida e simétrica: A = AT x T A x>0 para todo x 0, podemos escolher U= LT (ljk = ukj). A = L LT

Métodos iterativos: Para sistemas esparsos (com muitos coeficientes igauis a zero) ou sistemas com grandes coeficientes na diagonal principal. Gauss-Seidel - rearranjar as equações de tal forma que os ajj = 1. A=I+L+U A = I +L+ U Agora L e U tem diagonal nula! Ax = (I + L + U) x = B I x = B - (L + U) x Ix=x x = B - (L + U) x x(t+1) = B - L x(t+1) - U xt

Convergência: Um método iterativo converge se a sequência x 0 x 1 X 2. . . x(t - 1) xt tende para um valor xt tal que r = xt - x(t - 1) é dado por |rij| < , onde é a tolerância do processo ( <<1). O método de G. S. converge para todo X 0 se e somente se todos os autovalores da matriz C = (I - L)-1 U tiverem valores absolutos menores que 1. Se o maior autovalor for pequeno, a convergência é rápida. Condição suficiente: || C || < 1, sendo C C C