Mtodos Numricos Antecedentes Definiciones y Aplicaciones Antecedentes Mtodos

Métodos Numéricos Antecedentes, Definiciones y Aplicaciones.

Antecedentes. • Métodos sin computadora • Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para la solución de problemas: – Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando métodos exactos o analíticos. – Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas, las cuales tomaban la forma de gráficas o nomogramas; aunque las técnicas gráficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Además, las soluciones gráficas son extremos, tediosos y difíciles de implementar. – Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.

Antecedentes. • Antes del uso de la computadora se gastaba bastante energía en la técnica misma de solución, en lugar de usarla en la definición del problema y su interpretación. Esta situación desafortunada se debía al tiempo y trabajo monótono que se requería para obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban la computadora. • Desde finales de la década de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales han llevado a una verdadera explosión en el uso y desarrollo de los métodos numéricos. Existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos: • Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no linealidades y

Antecedentes. • En el transcurso de su carrera, es posible que el estudiante tenga la oportunidad de utilizar paquetes disponibles comercialmente, o programas “enlatados” que contengan métodos numéricos. • Si usted es conocedor de los métodos numéricos y es hábil en la programación de computadoras, entonces tiene la capacidad de diseñar sus propios programas para resolver problemas. • Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. • Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas

Definición. • Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. • Es la rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos, de una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permiten resolver problemas matemáticos en los que estén involucrados cantidades numéricas con precisión.

Definición. • Los métodos numéricos son técnicas algorítmicas basadas en operaciones aritméticas simples para la solución de problemas matemáticos. Se podría decir, en general, que: Métodos numéricos = Matemáticas + Computación • El análisis o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Aplicaciones. • Despejar de manera analítica los parámetros de las ecuaciones de diseño (Raíces de ecuaciones) • Estructuras, circuitos eléctricos, redes de flujo (Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales) • Datos experimentales (Ajuste de curvas) • Determinación de los centroides de objetos con formas extrañas (Integración) • Modelos de predicción demográfica, aceleración de un cuerpo que cae (Ecuaciones diferenciales ordinarias) • Distribución de temperatura en estado estacionario sobre una placa caliente, temperatura variable con el tiempo de una barra caliente (Ecuaciones diferenciales parciales)

Aplicaciones. • Estudio de casos: – – – Raíces de ecuaciones Leyes de los gases ideales y no ideales (Ingeniería química y bioquímica) Flujo en un canal abierto (Ingeniería civil e ingeniería ambiental) Diseño de un circuito eléctrico (Ingeniería eléctrica) Análisis de vibraciones (Ingeniería mecánica e Ingeniería aeronáutica) • Ecuaciones algebraicas lineales – Análisis en estado estacionario de un sistema de reactores (Ingeniería química/bioingeniería) – Análisis de una armadura estáticamente determinada (Ingeniería civil/ambiental) – Corrientes y voltajes en circuitos con resistores (Ingeniería eléctrica) – Sistemas masa-resorte (Ingeniería mecánica/aeronáutica)

Aplicaciones. • Optimización – Diseño de un tanque con el menor costo (Ingeniería química/bioingeniería) – Mínimo costo para el tratamiento de aguas residuales (Ingeniería civil/ambiental) – Máxima transferencia de potencia en un circuito (Ingeniería eléctrica) – Diseño de una bicicleta de montaña (Ingeniería mecánica/aeronáutica) • Ajuste de curvas – Regresión lineal y modelos de población (Ingeniería química/bioingeniería) – Uso de trazadores para estimar la transferencia de calor (Ingeniería civil/ambiental) – Análisis de Fourier (Ingeniería eléctrica) – Análisis de datos experimentales (Ingeniería mecánica/aeronáutica)

Aplicaciones. • Integración y diferenciación numérica – Integración para determinar la cantidad total de calor (Ingeniería química/bioingeniería) – Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras (Ingeniería civil/ambiental) – Raíz media cuadrática de la corriente mediante integración numérica (Ingeniería eléctrica) – Integración numérica para calcular el trabajo (Ingeniería mecánica/aeronáutica) • Ecuaciones diferenciales ordinarias – Uso de las EDO para analizar la respuesta transitoria de un reactor (Ingeniería química/bioingeniería) – Modelos depredador-presa y caos (Ingeniería civil/ambiental) – Simulación de la corriente transitoria en un circuito eléctrico (Ingeniería eléctrica)

Aplicaciones. • Ecuaciones diferenciales parciales – Balance de masa unidimensional de un reactor (Ingeniería química/bioingeniería) – Deflexiones de una palanca (Ingeniería civil/ambiental) – Problemas de campo electrostático bidimensional (Ingeniería eléctrica) – Solución por elemento finito de una serie de resortes (Ingeniería mecánica/aeronáutica)

Bibliografía. • Métodos Numéricos para Ingenieros (5 ta edición) Steven C. Chapra, Raymond P. Canale. Mc. Graw Hill