Mtodos numricos 1 1 Importancia de los mtodos

Métodos numéricos 1. 1 Importancia de los métodos numéricos. 1. 2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo. Moreno Main Luis Enrique Orlando Martínez Jorge Santiago Osorio Flores 4 B ing. Sistemas

1. 1 Importancia de los métodos numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices.

muchos tipos de métodos numéricos, a pesar de esto, comparten una característica en común: todos realizan modelos de procedimientos para los cálculos aritméticos y la posterior solución aproximada o exacta de todo tipo de problemas. Basándonos en los tipos importantes de cálculos que se realiza en un método numérico: aritméticos y lógicos, no es nada raro pensar que las computadoras usen estos tipos de cálculos al momento de resolver o de ejecutar líneas de sentencias para la solución de un problema de tipo matemático que se haya planteado, ya que sus circuitos internos funcionan siguiendo los principios y leyes de cálculo, teoría de conjuntos y de lógica

En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes. Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados. Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora. Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos. Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa. Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes. De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.

1. 2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo Cifras significativas: Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1. - Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2. - Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

1. 2 cifra significativa representan el uso de una escala de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Se dice que 2, 7 tiene 2 cifras significativas, mientras que 2, 70 tiene 3. Para distinguir los ceros que son significativos de los que no son, estos últimos suelen indicarse como potencias de 10. Norma Son significativos todos los dígitos distintos de cero. Ejemplo 8723 tiene cuatro cifras significativas Los ceros situados entre dos cifras significativas son 105 tiene tres cifras significativos. Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo 0, 005 tiene una cifra significativa son. Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la 8, 00 tiene tres cifras significativas coma son significativos. Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la 7 · 102 tiene una cifra significativa última cifra distinta de cero pueden o no considerarse 7, 0 · 102 tiene dos cifras significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica.

Procedimiento en operaciones En adición y sustracción las cifras decimales no deben superar el menor número de cifras decimales que tengan los sumandos. Si por ejemplo hacemos la suma 92, 396 + 2, 1 = 94, 496, el resultado deberá expresarse como 94, 5, es decir, con una sola cifra decimal como la cantidad 2, 1. Otro ejemplo: 102, 061 - (1, 03) <------- Tenemos dos cifras después de la coma decimal = 101, 031 <------- esto se redondeará a 101, 03 Cálculos en cadena Para los cálculos en cadena, es decir, que su procedimiento se derive a más de un paso, se utiliza un seguimiento modificado. Considere el siguiente cálculo en dos pasos: A×B=C C×D=E Supongamos que A = 3, 66 B = 8, 45 D = 2, 11. Dependiendo si C se redondea a tres o cuatro cifras significativas, se obtiene un valor diferente para E:

Metodología Método 1 Los números después del punto son los decimales que se dejan después de la multiplicación para que sea una cifra significativa 3, 66 × 8, 45 = 30, 9 × 2, 11 = 65, 2 Método 2 3, 66 × 8, 45 = 30, 927 ; luego 30, 927 × 2, 11 = 65, 25597 ~ 65, 3 Se redondea en 65, 3 porque tenemos tres cifras significativas en los factores del producto. Sin embargo, si se ha hecho el cálculo como 3, 66 × 8, 45 × 2, 11 en una calculadora sin redondear el resultado intermedio, se habrá obtenido 65, 3 como resultado para E. En general, cada paso del cálculo presentará números exactos de cifras significativas. En algunos casos se redondea la respuesta final con el número correcto de cifras significativas. En las respuestas para todos los cálculos intermedios se añade una cifra significativa más.

1. 2 EXACTITUD Y PRECISION Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación. También se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. También es la mínima variación de magnitud que puede apreciar un instrumento.

1. 2 exactitud

1. 2 incertidumbre Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería Incertidumbre: Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultado de un determinado evento. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero. La incertidumbre puede derivarse de una falta de información o incluso por que exista desacuerdo sobre lo que se sabe o lo que podría saberse. Puede tener varios tipos de origen, desde errores cuantificables en los datos hasta terminología definida de forma ambigua o previsiones inciertas del comportamiento humano. La incertidumbre puede, por lo tanto, ser representada por medidas cuantitativas (por ejemplo, un rango de valores calculados según distintos modelos) o por afirmaciones cualitativas (por ejemplo, al reflejar el juicio de un grupo de expertos).

1. 2 Sesgo: existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular. Así como el error, de acuerdo con las formas por las cuales se produce, puede minimizarse, la ocurrencia de sesgo también puede ser neutralizada o controlada. En ocasiones sin embargo, es imposible controlar el sesgo y por cierto el error. En tales circunstancias conviene al menos estar en antecedente y tener conciencia de su existencia.

1. 2. 1 ejemplo El manejo de la incertidumbre o imprecisión puede realizarse mediante distribuciones de probabilidad, en tanto que el manejo de la inexactitud, mediante rangos o intervalos. Supongamos que un profesor debe iniciar siempre sus clases a las 7 : 00 am. Si existe incertidumbre, podría iniciar con una distribución normal con media de 7 : 05 y desviación estándar de 1 minuto, lo cual indica que el 99. 7% de las veces iniciaría en el intervalo [7 : 02, 7 : 08]. Por otro lado, si existe (solamente) sesgo, entonces empezaría sistemáticamente (por ejemplo) a las 7 : 07.