Mtodos de Energia Mecnica dos Materiais 2 Universidade

Métodos de Energia Mecânica dos Materiais 2 Universidade de Brasília – Un. B Departamento de Engenharia Mecânica – ENM Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

Densidade de Energia de Deformação em Uma Peça Submetida a Esforço Normal, • Para Situações em que a Tensão Atuante for Inferior ao Limite de Escoamento do Material a Energia de Deformação Elástica será Calculada pela Expressão: Considerando que: • Exemplo: Para uma Barra de Seção Uniforme:

Densidade de Energia de Deformação em Uma Peça Submetida a Esforço Fletor, • Para uma Viga Submetida a um Esforço Fletor, Considerando que d. V = d. A dx, • Exemplo P L/2 L

Densidade de Energia de Deformação em Uma Peça Submetida a Esforço Torsos, • Para um Eixo Submetido a um Esforço Torsos, Considerando que d. V = d. A dx, • Exemplo Para um Eixo de Seção Uniforme:

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Primeira Lei da Termodinâmica: A Energia Total Transferida Para Um Sistema É Igual À Variação Da Sua Energia Interna L DU = W + Q P L DU = Energia Interna W = Trabalho Trocado entre a Vizinhança e o Sistema Q = Calor Trocado entre a Vizinhança e o Sistema Energia Interna DL P Trabalho de P

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Primeira Lei da Termodinâmica: A Energia Total Transferida Para Um Sistema É Igual À Variação Da Sua Energia Interna L DU = W + Q P L DU = Energia Interna W = Trabalho Trocado entre a Vizinhança e o Sistema Q = Calor Trocado entre a Vizinhança e o Sistema Energia Interna DL P Trabalho de P

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Determinação da Deflexão de Elementos Estruturais Barra de Seção Transversal Uniforme • Já o Trabalho Realizado Pela Força P 1 é expresso pela integral: • Sob Condições Elásticas, temos: • Vimos na Transparencia Anterior que • Igualando DU e W, é possível determinar o deslocamento x 1:

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Determinação da Deflexão de Elementos Estruturais Vigas e Eixos de Seção Transversal Uniforme • Viga em Balanço com Carga Concentrada • Viga em Balanço com Momento Concentrado • Eixo Submetido a um Momento Torsor

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Exemplo: Determinar o Deslocamento do Nó B do Sistema Abaixo • Cálculo da Energia de Deformação: • Cálculo do Trabalho Externo: Analisando a Geometria: Equilibrio de Forças: • Balanço de Energia, U = W:

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos Considere uma barra engastada em uma extremidade e que está preste a ser atingida por um corpo de massa m que se move a uma velocidade v 0. Logo após o impacto, a extremidade da barra e a massa entrarão em contato e se deslocarão de xm, até atingirem a condição de equilíbrio estático de forças. Neste instante a velocidade da massa será zero e os pontos da barra serão solicitados por uma tensão máxima de sm

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos Para Determinar sm será assumido: - A Energia Cinética, E, será transferida inteiramente à Estrutura; - Durante o processo de transferência de energia o material está sempre no regime linear elástico; = 0

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos - Exemplo

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Análise de Reações Resultantes de Esforços Dinâmicos - Exemplo

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Ao cair em queda livre o objeto de g h dest massa M perderá energia potencial gravitacional e ganhará somente energia cinética até entrar em contato com a mola. Após esse contato, uma parte dessa energia potencial gravitacional será também transformada em energia potencial elástica. Alcançará uma condição de energia potencial gravitacional mínima e ficará oscilando em torno da posição de equilíbrio (h + dest) até a mola dissipar toda a energia cinética e parar de oscilar. Condição Inicial Condição Final Energia Potencial Gravitacional: Mgy 0 Energia Potencial Gravitacional: Mg(y 0 - h - dest) Energia Potencial Elástica: 0 Energia Potencial Elástica: Energia Cinética:

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Assim, após o contato da mola com o objeto, a mola terá que freá-lo até M uma posição de equilíbrio dinâmico, y 1, ocasionando uma deflexão de ddin K Posição de Deflexão Máxima da Mola, y 1 Posição de Equilíbrio Estático em relação a condição indeformada da mola. Como (y 0 – y 1) = (h + ddin), a variação da energia potencial gravitacional será igual a Mg(h+ddin). A Condição de Energia Potencial Gravitacional Mínima Energia Potencial Gravitacional: Mg(h+ddin) Energia Potencial Elástica: Energia Cinética : 0 energia potencial elástica acumulada na mola será igual a:

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Assim, fazendo o balanço de Energia entre as condições de máxima, Emax, e de mínima, Emin, energia potencial seguinte balanço de energia: Altura da Mola gravitacional poderemos realizar o ddin

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Descrição do Comportamento de um Objeto de Massa M ao Cair, em Queda Livre, Sobre uma Mola de Rigidez K Note que a expressão obtida na (ddin, Fdin) Força transparência anterior não nos ajuda muito, Energia Potencial Gravitacional pois a mesma possui duas variáveis desconhecidas. Para eliminarmos esse Energia Potencial Elástica Fest (y 0 -y 1, Mg) problema, poderemos recorrer a condição de equilíbrio estático e lembrarmos que as forças e deslocamentos estáticos e dinâmicos estão relacionados pela rigidez da mola, ou seja: dest y

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Exemplo: Um bloco de peso W é jogado sobre a posição L/2 da viga apresentada na figura. Considerando que a viga seção transversal bxt, determine a carga dinâmica resultante da queda do peso sobre a viga. O que sabemos: Seção de Máximo Esforço Fletor: L/2 Momento resultante da aplicação de uma força P em L/2: Tensão de Flexão Máxima: t b

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Exemplo: Um bloco de peso W é jogado sobre a posição L/2 da viga apresentada na figura. Considerando que a viga seção transversal bxt, determine a carga dinâmica resultante da queda do peso sobre a viga. Relação entre a Tensão de Flexão Dinâmica e Estática: t b

Aplicação: Relação entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia de Deformação Carga Dinâmica - Fator de Impacto Exemplo: Um bloco de peso W é jogado sobre a posição L/2 da viga apresentada na figura. Considerando que a viga seção transversal bxt, determine a carga dinâmica resultante da queda do peso sobre a viga. Relação entre a Tensão de Flexão Dinâmica e Estática: t b

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Consideremos a viga elástica AB, submetida as cargas P 1 e P 2. Imaginemos, inicialmente, somente a carga P 1 é aplicada à viga. Vemos que tanto o ponto C 1 quanto o ponto C 2 sofrem deflexão e estas são proporcionais à carga P 1. Podemos então escrever: xij = Deslocamento do i-esimo ponto devido a j-ésima carga, e aij = Coeficiente de Influência Assim, o trabalho realizado por P 1 é:

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Imaginemos também que somente a carga P 2 é aplicada à viga. Vemos novamente que tanto o ponto C 1 quanto o ponto C 2 sofrem deflexão e estas são proporcionais à carga P 2. Podemos então escrever: Assim, o trabalho produzido por P 2 será:

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Somando agora os possíveis deslocamentos teremos Imaginemos agora que após a aplicação da carga P 1, será aplicada gradualmente a carga P 2. Enquanto P 2 cresce gradualmente, o ponto C 1 se desloca de x 12, realizando o trabalho: P 1·x 12 = P 1· (α 12·P 2)=α 12·P 1·P 2 Assim, a energia interna acumulada na viga será:

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Somando agora os possíveis deslocamentos teremos Vamos agora inverter a ordem de aplicação dos carregamentos, ou seja, primeiro se aplica P 2 para em seguida aplicar-se gradualmente P 1. Enquanto P 1 cresce gradualmente, o ponto C 2 se desloca de x 21, realizando o trabalho: P 2·x 21 = P 2· (α 21·P 1)=α 21·P 2 Assim, a energia interna acumulada na viga será:

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Maxwell (Teorema da Reciprocidade) Igualando as expressões para uma condição e outra, encontrariamos: a 12 = a 21 o que nos mostra que a deflexão produzida em C 1 por uma força unitária aplicada em C 2 é igual a deflexão produzida em C 2 por uma força unitária aplicada em C 1.

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Castigliano (1875) • Tomemos a expressão obtida anteriormente para o trabalho de deformação da viga submetida às cargas P 1 e P 2: • Derivando em relação às Cargas P 1 e P 2, Primeiro Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da energia interna em relação a uma força qualquer aplicada sobre o corpo elástico é igual ao deslocamento que se realiza na direção desta força”

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano – Outra Forma de Dedução • Recorrendo aos conceitos fundamentados pela Primeira Lei da Termodinâmica, já discutidos anteriormente, é possível escrever a seguinte expressão: R 1 R 2 W = DU ou de forma mais explicita, para um sistema solicitado por N cargas externas e reações: onde • Derivando a equação de Equilíbrio de Energia em relação a j-ésima carga, Pj, teremos:

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Para a treliça da figura, determinar o deslocamento vertical do ponto C. Dado: E = 73 GPa SOLUÇÃO: Inicialmente, vamos aplicar uma força virtual Q no ponto C e calcular as reações e o esforço em cada barra devido a Q.

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Vamos agora calcular as reações nos apoios esforços nas barras devido a carga P.

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Combinando o esforço em cada barra devido a Q e a P é possível montar a tabela abaixo: . Temos que: Fazendo Q = 0, já que ela não faz parte do carregamento, e substituindo os valores numéricos, encontramos o deslocamento do ponto C.

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Determine a deflexão e a rotação da extremidade livre da viga em balanço com carregamento uniformemente distribuído, com EI = constante. SOLUÇÃO: Como nenhuma força é aplicada onde deve ser determinada a deflexão, para a utilização do teorema de Castigliano, uma força virtual RA = 0 deve ser aplicada neste ponto, o que permite determinar a derivada parcial da energia de deformação em relação a RA.

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo SOLUÇÃO: O momento fletor aplicado em cada seção da viga é calculado pela seguinte expressão: =0 (direção contrária a direção da força virtual RA)

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo Determine a deflexão e a rotação da extremidade livre da viga em balanço com carregamento uniformemente distribuído, com EI = constante. SOLUÇÃO: Como nenhuma momento é aplicado onde deve ser determinada a deflexão, para a utilização do teorema de Castigliano, um momento fictício MA = 0 deve ser aplicada neste ponto, o que permite determinar a derivada parcial da energia de deformação em relação a MA.

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Castigliano - Exemplo SOLUÇÃO: O momento fletor aplicado em cada seção da viga é calculado pela seguinte expressão: =0 (mesma direção da aplicação do momento MA)

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Segundo Teorema de Castigliano • Se no lugar de derivarmos a equação de energia em relação a carga, fizermos a derivação em relação ao j-ésimo deslocamento, dj, chegaremos a seguinte igualdade: R 1 R 2 Segundo Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da energia interna em relação a um dos deslocamentos do corpo é igual a força aplicada na direção deste deslocamento”

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Menabrea (1858) Primeiro Teorema de Menabrea: “A derivada parcial da energia interna em relação a uma reação é nula” R 1 R 2 • Se imaginarmos a reação, R, em um vinculo da estrutura como uma força independente, e admitirmos a mesma hipótese usada no desenvolvimento do primeiro teorema de Castigliano, verifica-se que: = 0 (Deslocamento do Vínculo)

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Menabrea - Exemplo Considere a viga de secção uniforme, simplesmente apoiada em A e engastada em B, representada ao abaixo. Determine o momento de engastamento em B. Considere apenas a rigidez à flexão EI da barra. . SOLUÇÃO: Vamos liberar o grau de liberdade de rotação da viga no ponto B e introduzir o momento desconhecido MB. Como consequência, as reações nos apoios podem ser calculadas e o momento atuante numa seção viga na coordenada x será expressa pela equação:

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teorema de Menabrea - Exemplo Considere a viga de secção uniforme, simplesmente apoiada em A e engastada em B, representada ao abaixo. Determine o momento de engastamento em B. Considere apenas a rigidez à flexão EI da barra. . SOLUÇÃO: Recorrendo agora ao 1º teorema de Menabrea: onde:

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Menabrea (1858) Segundo Teorema de Menabrea: “A derivada parcial da energia interna em relação a deslocamento livre é nula” R 1 R 2 • Se imaginarmos a presença de uma força imaginária de intensidade PI, em uma posição onde não existe carga aplicada e admitirmos a mesma hipótese usada no desenvolvimento do segundo teorema de Castigliano, verifica-se que: = 0 (Intensidade da Força na Direção de d. I é Nula

Teoremas sobre Trabalho de Deformação Teoremas de Menabrea (1858) Exemplo: Determinar as reações dos apoios da viga de seção uniforme submetida ao carregamento indicado. Conforme pode ser verificado, a viga é hiper estática. Para obtermos mais uma equação que possibilite a eliminação da condição hiperestática, usaremos o 1º Teorema de Menabrea. Para isso, a reação no apoio A será substituído por uma força fictícia RA. Como consequência poderemos escrever :

Questão 1 da 3ª Prova Achar a deflexão horizontal provocada pela força concentrada P, da extremidade da barra curva mostrada abaixo. A rigidez EI da barra é constante. Desprezar o efeito da força cortante sobre a deflexão.