MTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIN Teora de Probabilidad Dr

MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN Teoría de Probabilidad Dr. Salvador García Lumbreras

EXPERIMENTOS • EXPERIMENTO. Proceso planeado para obtener observaciones ó recolectar datos. • RESULTADO DE EXPERIMENTO. Cualquier posible respuesta del experimento. • EVENTO. Subconjunto de varias resultados. Dr. Salvador García L. 2

ESPACIO MUESTRA Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento . Ejemplo. Un folder contiene 50 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca un sistema, cada archivo puede ser afectado. = { 1, 2, . . , 50} Dr. Salvador García L. 3

PROBABILIDAD Los procesos industriales fabrican productos que puede satisfacer o no los requerimientos de los clientes. La salida de estos procesos está sujeta a los efectos del azar. Debido a esto, las compañía necesitan considerar los aspectos probabilísticos de la situación. Dr. Salvador García L. 4

PROBABILIDAD La probabilidad del evento A se define como el cociente de los resultados a favor de A y todos los resultados posibles Dr. Salvador García L. 5

VARIABLE ALEATORIA • Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada punto del Espacio Muestra. X(w) = x Dr. Salvador García L. 6

FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD • pmf = p(x) = P(X = x) • p(x) ≥ 0 • La probabilidad total es 1: Dr. Salvador García L. 7

EJEMPLO • El número de errores X en un programa que consiste de dos módulos, tiene la siguiente función de masa de probabilidad x 0 1 2 3 p(x) 0. 5 0. 3 0. 1 Dr. Salvador García L. 8

EJEMPLO • Determinar si la siguiente función puede servir como pmf de una variable aleatoria Dr. Salvador García L. 9

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F 1. 0 0. 8 0. 4 0. 0 X Dr. Salvador García L. 10

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN n F es una función no decreciente y continua por la derecha n Lim F(x) = 0, x -> -∞ n Lim F(x) = 1, x -> +∞ Dr. Salvador García L. 11

EJEMPLO • Sea X la variable aleatoria con pmf x 0 1 2 p(x) 0. 1 0. 4 0. 5 • Entonces, su función de distribución es dada por Dr. Salvador García L. 12

EJEMPLO • Sea X una variable aleatoria con CDF • Encontrar a) P(x =3); b) P(x ≥ 1) Dr. Salvador García L. 13

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA donde 1´ = E(X) es el primer momento de X Dr. Salvador García L. 14

K-ésimo MOMENTO CENTRAL DE X Dr. Salvador García L. 15

VALOR ESPERADO Dr. Salvador García L. 16

EJEMPLO • Calcular el número promedio de errores X en un programa que consiste de dos módulos, si se tiene la siguiente función de masa de probabilidad x 0 1 2 3 p(x) 0. 5 0. 3 0. 1 Dr. Salvador García L. 17

VARIANZA & DESVIACIÓN ESTÁNDAR Dr. Salvador García L. 18

EJEMPLO • Calcular la varianza y desviación standard de la siguiente variable aleatoria X x 0 1 2 p(x) 0. 1 0. 4 0. 5 Dr. Salvador García L. 19

PROPIEDADES DE LA VARIANZA Dr. Salvador García L. 20

FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS Dr. Salvador García L. 21

PROPIEDADES Dr. Salvador García L. 22

EJEMPLO n n Sea X una variable aleatoria con pmf Calcular la media de X mediante su función generatriz de momentos. Dr. Salvador García L. 23

EJEMPLO • Suponga que Y es una variable aleatoria con función generatriz de momentos • Encontrar E[Y] y V[Y]. Dr. Salvador García L. 24

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI n Un experimento de Bernoulli tiene exactamente dos posibles resultados, denotados por Éxito (1) o Falla (0), con probabilidades p y q = 1 -p respectivamente. q q MANUFACTURA. Un producto es clasificado como defectuoso o estándar. VOTACIONES. Respuestas: Sí o No Dr. Salvador García L. 25

FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD n La pmf está dada por n Por ejemplo si p = 0. 6, luego Dr. Salvador García L. 26

MEDIA & VARIANZA Dr. Salvador García L. 27

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL n La variable aleatoria X representa el número de éxitos en n independientes intentos de Bernoulli Dr. Salvador García L. 28

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL q La Media & Varianza están dados por Dr. Salvador García L. 29

EJEMPLO DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (parámetros p, n) Dr. Salvador García L. 30

EJEMPLO n n Un folder tiene 20 archivos ejecutables. Cuando un virus de computadora ataca el sistema, cada archivo tiene una probabilidad de 0. 1 de ser afectado. Calcular la probabilidad de tener 5 archivos afectados en un ataque n = 20, x = 5, p = 0. 1. Entonces Dr. Salvador García L. 31

DISTRIBUCIÓN DE POISSON • X es una variable Binomial con n grande y la probabilidad de éxito p muy pequeña, de tal forma que np 10. Dr. Salvador García L. 32

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Media & Varianza: Dr. Salvador García L. 33

DISTRIBUCIÓN DE POISSON (parámetro l) La función generatriz de momentos de X , MX(t) es Dr. Salvador García L. 34

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMO LÍMITE DE LA BINOMIAL Dr. Salvador García L. 35

DISTRIBUCIÓN DE POISSON p(X) 0. 3 =2 0. 1 0 1 2 3 4 5 6 Dr. Salvador García L. 7 X 36

EL PROCESO POISSON § Modelación de la ocurrencia de eventos en cierto intervalos de tiempo. • Número de llamadas por minuto a una central telefónica • Número de clientes por día en una tienda • Número de errores por página en un libro Dr. Salvador García L. 37

EJEMPLO n n El número promedio de clientes de internet que inician una nueva cuenta es 2 por hora. La probabilidad de la apertura de una cuenta durante este período de tiempo es grande, debido a que existen miles de clientes de internet. Cuál es la probabilidad de que 4 ó más clientes abran una nueva cuenta de internet en las siguientes dos horas? Dr. Salvador García L. 38

EJEMPLO n Estas son precisamente las condiciones de Poisson, luego Dr. Salvador García L. 39

EJEMPLO n 97% de los mensajes electrónicos son transmitidos sin error. Cuál es la probabilidad de que de 200 mensajes, al menos 195 serán transmitidos correctamente? Dr. Salvador García L. 40

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA • La variable X, representa el número de intentos antes del primer éxito con probabilidad p. Dr. Salvador García L. 41

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA • Media & Varianza Dr. Salvador García L. 42

EJEMPLO • Si la probabilidad de encontrar una frase clave en un sitio de internet por parte de un motor de búsqueda es 0. 75, cuál es la probabilidad de que el motor de búsqueda encuentre finalmente la frase en el cuarto sitio visitado? Dr. Salvador García L. 43

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA • X número de éxitos en n intentos con probabilidad de éxito p no constante • Apropiada en aplicaciones que involucran muestreo sin reemplazo y población de tamaño N. Dr. Salvador García L. 44

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA • Media & Varianza Dr. Salvador García L. 45

EJEMPLO • Una caja contiene 6 chips blancos y 4 negros. Si 4 chips se extraen de manera aleatoria de la caja, cuál es la probabilidad de que se extraigan a lo más 2 chips negros? • N = 10, n = 4, p = 0. 6 y q = 0. 4, luego Dr. Salvador García L. 46

EJEMPLO • Lotes de 50 piezas son inspeccionados mediante un muestreo simple de 5 piezas extraídas sin reemplazo. Si no se observan defectuosos en la muestra, el lote es aceptado. Calcular la probabilidad de aceptación si se sabe que el lote es 4% defectuoso. Dr. Salvador García L. 47

FUNCIÓN DE DENSIDAD n Una función f(x) de una variable aleatoria continua X es llamada función de densidad si satisface las siguientes condiciones Dr. Salvador García L. 48

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN n La función de distribución F(X) describe la probabilidad de que X sea menor o igual que cierto valor b Dr. Salvador García L. 49

DISTRIBUCIÓN UNIFORME f(x) a Dr. Salvador García L. b X 50

EJEMPLO n La dureza Rockwell para cierto tipo de acero varía de 40 a 60 en esta escala. Sea X la dureza Rockwell la cual se asume que está uniformemente distribuida como se muestra. Cuál es la probabilidad de una dureza Rockwell entre 50 y 55? p(x) 1/20 40 Dr. Salvador García L. 60 X 51

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL f(x) λ 0 Dr. Salvador García L. X 52

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (parámetro l) La función generatriz de momentos de X , MX(t) es: Dr. Salvador García L. 53

EJEMPLO n n Trabajos son enviados a una impresora a razón de 3 trabajos por hora. Cuál es el tiempo promedio entre trabajos? Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajo sea enviado durante los siguientes 5 minutos? E(X) = 1/3 hrs = 20 minutos Dr. Salvador García L. 54

DISTRIBUCIÓN NORMAL §La distribución más importante en Estadística. §Una gran cantidad de fenómenos de la vida diaria pueden ser modelados por esta distribución. § Variables aleatorias asociadas con mediciones pueden ser consideradas como Normales. § Las medias muestrales de cualquier distribución se comportan como una variable normal conforme aumenta el tamaño de muestra (Teorema Central del Límite). Dr. Salvador García L. 55

FUNCIÓN DE DENSIDAD Dr. Salvador García L. 56

FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN Dr. Salvador García L. + 57

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Una variable aleatoria X puede ser estandarizada por la transformación Dr. Salvador García L. 58

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR La función de densidad es Dr. Salvador García L. 59

ÁREAS EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Dr. Salvador García L. 60

ÁREAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL X + 0 Dr. Salvador García L. 1 Z 61

DISTRIBUCIÓN NORMAL La función de distribución F(x) está dada en tabulada al final del texto. Dr. Salvador García L. 62

EJEMPLO n La vida de cierto componente electrónico está normalmente distribuido con media de 200 hrs y desviación estándar de 22 hs. Qué porcentaje de los componentes se necesitará remplazar antes de 150 hs? Dr. Salvador García L. 63

EJEMPLO Luego, 1. 16% de los componentes se espera que duren menos de 150 hrs. P(X< 150) 150 200 Dr. Salvador García L. 64

APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL q Si n > 100 y la probabilidad de éxito p no es cercana a cero, entonces las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas por la distribución Normal. Dr. Salvador García L. 65

TAMAÑO MÍNIMO DE MUESTRA PARA APLICAR LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Dr. Salvador García L. 66

EJEMPLO Un nuevo virus de computadora ataca un folder con 200 archivos. Cada archivo tiene de manera independiente una probabilidad de 0. 2 de ser afectado. Cuál es la probabilidad de que menos de 50 archivos sean afectados? Dr. Salvador García L. 67

EJEMPLO Se estandariza el valor de 50 usando la corrección de continuidad. Dr. Salvador García L. 68