Mtodo de Horner Mtodo de Horner El mtodo

Método de Horner

Método de Horner • El método de Horner, también conocido como método de Doble División Sintética, es una variante del método de Newton, sólo es aplicable a polinomios, por ello se requieren conocimientos de la teoría de polinomios.

Método de Horner: Conocimientos Previos. Teorema Fundamental del Álgebra. Regla de los signos de Descartes. Factores Primos. División Sintética. Relación entre las raíces y los coeficientes de P(x). • Teorema de Horner. • • •

Relación entre los coeficientes a’s y los coeficientes b’s Sea Si dividimos P(x) entre el término (x – x 0), tenemos: Donde b 0 = 0, si x 0 es una raíz de P(x) y Q(x) es un polinomio de grado n-1. Por lo tanto:

Relación entre los coeficientes a’s y los coeficientes b’s Sea Q(x) un polinomio de grado n-1 Entonces Si desarrollamos el producto Reagrupando

Relación entre los coeficientes a’s y los coeficientes b’s Comparando término a término tenemos: Como los coeficientes a son conocidos, despejamos los coeficientes b

Relación entre los coeficientes a’s y los coeficientes b’s De manera recursiva: Ahora podemos calcular los coeficientes del polinomio Q(x) Resultado de una división sintética.

Relación entre los coeficientes a’s y los coeficientes b’s Podemos escribir a P(x) como: Al evaluar en x = x 0 tenemos:

Aplicación del teorema de Horner Por otro lado: Derivando tenemos: Pero a Q(x) lo podemos escribir como: Los coeficientes primados de R(x) tienen la forma: Resultado de una segunda división sintética.

Aplicación del teorema de Horner Sustituyendo en la derivada Evaluando en x = x 0: Sustituyendo en la expresión de recurrencia de Newton-Raphson

Dos preguntas ¿Cuándo nos detenemos? ¿Cómo elegimos la aproximación inicial x 0? Cualquiera de los factores primos del término independiente es buena aproximación inicial.

Ventajas y Desventajas • Converge rápidamente. • Permite encontrar todas las raíces reales. • Se realizan menos operaciones que con el método de Newton directo. • El error se acumula a partir de la segunda raíz y siguientes.

Ejemplo de Método de Horner. • Hallar las raíces del Polinomio: • Con un error menor a 0. 001 P(x) sólo tiene un cambio de signo, por lo que tiene una sola raíz real positiva. P(-x) tiene un tres cambios de signo, por lo que puede tener tres raíces reales negativas, o una negativa y dos complejas.

Ejemplo de Método de Horner. • Hallar las raíces del Polinomio: • a 4=2 a 3=4 a 2=2 a 1=-2 a 0=-24

Ejemplo de Método de Horner. • Obtenemos los factores primos del término independiente. 24 12 6 3 1 2 2 2 3

Ejemplo de Método de Horner. • Tomemos: • x 0 = 2 • Entonces • b 4 = a 4 = 2 • b 3 = a 3 + b 4 x 0 = 4 + 2(2) = 8 • b 2 = a 2 + b 3 x 0 = 2 + 8(2) = 18 • b 1 = a 1 + b 2 x 0 = -2 + 18(2) = 34 • b 0 = a 0 + b 1 x 0 = -24 + 34(2) = 44

Ejemplo de Método de Horner. • Tomemos: • x 0 = 2 • Ahora los coeficientes primados de R(x). • b´ 3 = b 4 = 2 • b’ 2 = b 3 + b’ 3 x 0 = 8 + 2(2) = 12 • b’ 1 = b 2 + b’ 2 x 0 = 18 + 12(2) = 42 • b’ 0 = b 1 + b’ 1 x 0 = 34 + 42(2) = 118

Ejemplo de Método de Horner.

Ejemplo de Método de Horner. Por facilidad, podemos construir La siguiente tabla n b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 b'3 b'2 b'1 b'0 xn+1 error 1 2 8 18 34 44 2 12 42 118 2 2 7. 2542 13. 8035 20. 4599 9. 2907 2 10. 5085 30. 902 3 2 6. 9916 12. 4579 16. 6343 0. 8813 2 9. 9831 27. 3905 57. 6046 1. 4805 0. 0153 4 2 6. 9610 12. 3056 16. 2183 0. 0109 2 9. 9219 26. 9949 56. 1838 1. 4803 0. 0002 1. 6271 0. 3729 70. 7412 1. 4958 0. 1313 Encontrando la primera raíz en x 1 = 1. 480 0. 001 El polinomio Q(x) = 2 x 3 + 6. 961 x 2 + 12. 301 x + 16. 218

Segunda Raíz Aplicando el método al polinomio Q(x) n b 3 1 2 2 b 1 b 0 b'2 b'1 b'0 xn+1 6. 9606 12. 3037 16. 213 2 6. 9606 12. 3037 -1. 3177 2 4. 3251 6. 6043 7. 5103 2 1. 6896 3 2 0. 8941 9. 5917 -12. 8811 2 -5. 1724 25. 2811 -2. 5237 0. 5096 4 2 1. 9131 7. 4755 -2. 6532 2 -3. 1344 15. 3858 -2. 3513 0. 1724 5 2 2. 2580 6. 9945 -0. 2330 2 -2. 4446 12. 7424 -2. 3330 0. 0183 6 2 2. 2946 6. 9504 -0. 0024 2 -2. 3714 12. 4830 -2. 3328 0. 0002 4. 3778 -3. 0333 1. 7156 Encontrando la segunda raíz en x 2 = -2. 333 0. 001 El polinomio R(x) = 2 x 2 + 2. 295 x + 6. 950 error

Siguientes raíces. • El último polinomio es: • R(x) = 2 x 2 + 2. 295 x + 6. 950 • Este polinomio tiene dos raíces complejas: • x = -0. 738 1. 712 i • Estas raíces tienen un mayor error, el acumulado en todo el proceso.

Conclusión. • El método de Horner es un método convergente de paso a paso que permite encontrar todas las raíces reales de un polinomio, la primera con el error establecido, las siguientes con el error acumulado. • Si el polinomio tiene solamente dos raíces complejas, estas pueden determinarse aplicando la fórmula general para las ecuaciones de segundo grado al último polinomio.

Teorema Fundamental del Álgebra • Teorema Fundamental del Álgebra: Si un polinomio, es un polinomio de grado n ≥ 1 y tiene coeficientes complejos, entonces P(x) tiene al menos un cero. (Posiblemente complejo). • Corolario: • Si n ≥ 1, x 2, x 3, … xn C. • y m 1, m 2, …, mk con

Teorema de Horner: • • Sea y bn = an Si bk = ak + bk+1 x 0 para k = n-1, n-2, . . 1, 0. Entonces b 0 = P(x 0). Además Si Entonces

Regla de los signos de Descartes • La regla establece que si los términos de un polinomio P(x) con coeficientes reales se colocan en orden descendente de grado, • El número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos o es disminuido en un múltiplo de 2.

Regla de los signos de Descartes • El número de raíces reales negativas de P(x) es igual al número de cambios de signo de P(-x) o es disminuido en un múltiplo de 2.

Relación entre las raíces y los coeficientes de P(x). • Sean i raíces de P(x), sabe que: Suma de las raíces: Suma de los productos de dos en dos de las raíces:

Relación entre las raíces y los coeficientes de P(x). Suma de los productos de tres en tres de las raíces: Producto de todas las raíces: Si P(x) = x 2 + bx + c = 0 Sean x 1 y x 2 raíces de P(x), entonces x 1 x 2 = c y x 1 + x 2 = -b

División Sintética: Sea y realizamos la división entre el término , con x 0 constante. Colocamos los coeficientes de P(x) en un arreglo de la siguiente forma: an X 0 an = bn an-1 an-2 a 1 a 0 bnx 0 bn-1 x 0 b 2 x 0 b 1 x 0 an-1 + bnx 0 an-2 + bn-1 x 0 = bn-1 = bn-2 a 1 + b 2 x 0 a 0 + b 1 x 0 = b 1 = b 0

División Sintética: Bajamos el coeficiente an y lo igualamos a bn, multiplicamos bn por x 0 y el resultado lo colocamos bajo el término an-1, realizamos la suma en esa columna y la igualamos a bn-1, repetimos el proceso en cada columna, encontrando así los coeficientes del polinomio Q(x).

Factores Primos Descomposición de un número en factores primos Cualquier número entero se puede escribir como producto de dos o más factores primos. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, . . . ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. 48 24 2

Factores Primos Descomposición de un número en factores primos Cualquier número entero se puede escribir como producto de dos o más factores primos. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, . . . ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. 48 24 12 2 2

Factores Primos Descomposición de un número en factores primos Cualquier número entero se puede escribir como producto de dos o más factores primos. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, . . . ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. 48 24 12 6 2 2

Factores Primos Descomposición de un número en factores primos Cualquier número entero se puede escribir como producto de dos o más factores primos. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, . . . ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. 48 24 12 6 3 1 2 2 3

Factores Primos Descomposición de un número en factores primos Cualquier número entero se puede escribir como producto de dos o más factores primos. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, . . . ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. 48 24 12 6 3 1 2 2 3

Factores Primos Descomposición de un número en factores primos Cualquier número entero se puede escribir como producto de dos o más factores primos. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, . . . ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. 48 24 12 6 3 1 2 2 3

Factores Primos Descomposición de un número en factores primos Cualquier número entero se puede escribir como producto de dos o más factores primos. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7, . . . ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. 48 24 12 6 3 1 2 2 3