Mthodes de Changement dchelle thorie des modules effectifs

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Partie 2 : Théorie des modules effectifs Approximations de Voigt et Reuss • 1. Théorie des modules effectifs • 1. 1 Localisation • 1. 2 Définition directe des tenseurs effectifs • 1. 3 Caractérisation énergétique, propriétés variationnelles • 2. Approximations de Voigt et Reuss • 2. 1 Approximation de Voigt • 2. 2 Approximation de Reuss • 2. 3 Bornes de Voigt et Reuss • 2. 4 Exemple ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 55

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Propriétés Les matériaux qui nous intéressent x x l Thermoélasticité linéaire x Macrohétérogène, microhétérogène Propriétés l Microhétérogène, macrohomogène Propriétés Macrohétérogène, microhomogène x x ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 56

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 1. Théorie des modules effectifs Matériau homogène à l’échelle macroscopique Méthodes d’homogénéisation Matériau hétérogène à une échelle plus fine Notre cadre : élasticité linéaire et déformations infinitésimales s, e : tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle des hétérogénéités. S, E : tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle macroscopique. ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 57

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Rappel : relation entre les tenseurs des contraintes et des déformations aux échelles locale et macroscopique : V ou W est le VER (volume élémentaire représentatif) Ces moyennes ( ) sont valables en l’absence de cavités, fissures, inclusions ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 58

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Pour S ou E connu : 1. 1 Localisation Quels sont les champs locaux qui en résultent dans W ? Analyse mécanique Équations du problème Équilibre intérieur Condition de moyenne Loi de comportement mais pas complètement défini Non unicité de la solution (sollicitation) Conditions aux limites : homogène au contour ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 59

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Sollicitation homogène au contour Formulation d’un problème avec conditions sur la frontière W Déformations homogènes imposées Contraintes homogènes imposées Résultats démontrés ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 60

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Condition de contraintes homogènes au bord • Problème local à Sd donné: PCH • Problème local à Ed donnée : P’CH ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 61

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Condition de déformations homogènes au bord • Problème local à Ed donnée: PDH • Problème local à Sd donné : P’DH ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 62

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Remarques sur les conditions de contraintes et déformations homogènes Si on impose des contraintes homogènes sur W VER mais Déformations inhomogènes sur W pas équivalent ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 63

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Tenseur de localisation et de concentration : Propriétés en élasticité linéaire HPP - fonctionnelles linéaires Ax : Tenseur de localisation des déformations Symétrie des déformations (E, e) Bx : Tenseur de concentration des contraintes Symétrie des contraintes (S, s) ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 64

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 1. 2 Définition DIRECTE des tenseurs effectifs Tenseur des modules effectifs : PDH Tenseur des souplesses effectives : PCH ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 65

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Propriétés des tenseurs effectifs : Remarques : 1/ La loi des mélanges correspondrait à A = I et B = I 2/ Seule la connaissance moyenne par phase de A et B est nécessaire ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 66

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Cas particulier : matériau biphasé L 1(M 1) M M L (M ) ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 67

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 1. 3. 1 Caractérisation ENERGETIQUE : • Suite des propriétés des tenseurs effectifs : Lemme de Hill 1 2 démo • Relations de comportement inverses ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 68

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 1. 3. 2 Propriétés variationnelles : Utilisation des Principes de Minimum Fd S. A. = {s(x). n=Fd, x WF, div(s)=0, x W} C. A. ={u(x)=ud, x Wu} ud f W • Principe du minimum en déplacements : Énergie Potentielle Travail des efforts donnés Énergie de déformation Parmi tous les champs de déplacement v(x) C. A, la solution u(x) minimise l’EP ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 69

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ • Principe du minimum en contraintes : Énergie Potentielle Complémentaire Travail des contraintes dans les déplacements donnés Énergie de déformation complémentaire Parmi tous les champs de contraintes t(x) S. A, la solution s(x) maximise l’EPC • Formules de Clapeyron : si (u, s) solution ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 70

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Énergies de déformation moyennes Lemme de Hill • En déformations homogènes au contour si (u(x), s ) solution • En contraintes homogènes au contour si (u(x), s) solution ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 71

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Encadrement des tenseurs effectifs u(x) sol. Sh • Énergie Potentielle f(x) = 0 (forces de volume) Clapeyron u(x) sol. Eh (L(u)=0) s sol. Sh (L*(t)=0) • Énergie Pot. Complémentaire Eh s sol. Clapeyron ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 72

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Encadrement des tenseurs effectifs Eh Sh ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 73

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 1. 3. 3 Influence des conditions de contour Exemple : composite AL/Sic à fibres longues • fibres circulaires, régulièrement réparties • fraction volumique : Vf=0, 385 • composite supposé à symétrie carrée (symétries de l’arrangement) 1 2 3 ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 74

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Résolution numérique de PCH et P’DH • déformation ou contrainte homogène au contour • contrainte moyenne imposée • influence du maillage : 5 VER : V, Vm avec m=2, 4, 6, 8 contenant m m fibres ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 75

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Résultats : modules de cisaillement transverse (mt) et de compressibilité latérale (K) (Hashin, 1966) # = homogénéisation périodique >10% 1, 5% 0, 2% 1, 25% ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 76

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Déformation équivalente ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 77

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Influence des conditions de contour : Conclusions • Suquet (1982) • Hill-Mandel MS: LE = I + O(d 3/l 3) Si l>>d : (M’S )-1=LE et (L’E )-1 = MS M-1 H=LH et L-1 H = MH ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 78

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 2. Approximations de Voigt et Reuss : Bornes du premier ordre 2. 1 Approximation de Voigt (1887): • Déformations uniformes dans W: A=I, on lève la nécessité de connaître les LH =<L: A> • Encadrement (Hill, 1952) Le tenseur des rigidités de Voigt est une estimation par excès ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 79

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 2. 2 Approximation de Reuss (1929): • Contraintes uniformes dans W: B=I MH =<M: B> • Encadrement (Hill, 1952) Le tenseur des souplesses de Reuss est une estimation par excès Remarques • la connaissance de Lr et Mr suffisent • pas a priori de connaissance des symétries du MHE (->21 coeffs) • illustration sur un exemple isotrope macroscopiquement et dans les phases ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 80

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 2. 3 Bornes de Voigt et Reuss Matériaux composites isotropes et à phases isotropes : au sens quadratique Encadrement des modules de compressibilité et de cisaillement • Encadrement valable pour k et m intervenant de manière découplée (partie hydrostatique et déviatorique) : plus valide pour E et n ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 81

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ 2. 4 Exemple Deux phases isotropes du composite Al/Si. Cp: A faire 1/ Calcul des bornes de Voigt et Reuss 2/ Montrer la relation précédente pour E ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 82

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Module de cisaillement pour un matériau composite isotrope de type Al/Si. Cp 3, 12 m#t=1, 56 x u a e l d il H e Fus 1, 48 0, 385 ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 83

Méthodes de Changement d’Échelle : théorie des modules effectifs - approximations de Voigt et Reuss ________________________________________________________________ Module de compressibilité latérale pour un matériau composite isotrope de type Al/Si. Cp 2, 28 K#=1, 52 1, 42 0, 385 ___________________________________________________________________________________ S. DRAPIER 84