MRNKI SZMTSOK Hibk s Kzeltsek iteratv mdszerek Dr

MÉRNÖKI SZÁMÍTÁSOK Hibák és Közelítések, iteratív módszerek Dr. Bicsák György 2020. 09. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708 -2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG

Bevezetés • Mit is fogunk csinálni ebben a félévben? Az egzakt matematikai megoldások kidolgozása sok esetben bonyodalmas, időigényes, és mérnöki felhasználás szempontjából akár felesleges is lehet. A numerikus módszerek lényege, hogy az egzakt, olykor igen bonyolult és műveletigényes matematikai megoldás helyett egy aritmetikai egyenletekből felépülő algoritmus segítségével a pontos eredményt csak megközelítsük valamilyen pontossággal. 3 fő témakört érintünk a félév során: • Görbeillesztési eljárások • Numerikus deriválás és integrálás • Optimalizációs eljárások – na erre tavaly már nem volt idő, de most tutira lesz! 2

Tárgy paraméterei A félév során 7 előadás és 7 labor kerül megtartásra. Az előadások csodálatos légköre, könnyed hangvétele és felemelő, lelkiekben felfrissítő jellege mellett a tárgy elméleti hátterét hivatott bemutatni. A laborfoglalkozások során Excel használatával próbáljuk ki gyakorlatban is az előadások során megismert módszereket. A tárgy 3 kredites, vagyis elvileg 90 munkaóra kell teljesítéséhez, amiből az előadások és laborok 28 órát tesznek ki, így sajnos érezzük, hogy ehhez otthon is hozzá kell tenni egy keveset. 3

Tárgy követelményei A tárgy abszolválásához a következő feltételeknek kell megfelelni: nem fogok hazudni: … tanulni biztosan kell … 2 elektronikus számonkérés lesz a félév folyamán moodle rendszerben lebonyolítva. Tananyaguk az előadások és laborok anyaga, jellegét tekintve gyakorlati példák megoldása. Mivel a ZH-k online zajlanak le, így bármi használható alatta, viszont ehhez igazodni is fog a nehézsége. Egy ZH-n elérhető maximális pontszám: 50 pont. A tárgy osztályzása pontgyűjtős rendszerben történik, vagyis a félév végén az összegyűjtött pontszám határozza meg a kapott jegyet. Pontszám Jegy 0 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 – 1 2 3 4 5 4

Tárgy követelményei A tárgy abszolválásához a következő feltételeknek kell megfelelni: … tanulni kell … <- ez nem vicc, tényleg! Pótlási lehetőségek: A pontgyűjtés miatt nem kötelező, hogy minden egyes számonkérés teljesítésre kerüljön, így a pótlási lehetőségek a következők: pótlási héten pótolható • az 1. ZH-val szerezhető 50 pont • a 2. ZH-val szerezhető 50 pont • az 1. és 2. ZH-val megszerezhető 100 pont egyszerre Pótlás esetén, ha annak pontszáma rosszabb, mint az eredeti próbálkozásé, a jobbik esetet vesszük figyelembe. Ennyire jó fejek vagyunk. 5

Tárgy követelményei 6

Hibák és közelítések A numerikus módszerek olyan eljárások, melyek egy matematikai probléma megoldását nem az egzakt módon, hanem közelítéssel, véges számú lépések végrehajtásával adja meg egy előre meghatározott pontossággal. A numerikus módszerek alatt általában egy erős matematikai háttérrel rendelkező algoritmust értünk, mely tulajdonképpen nem más, mint egy olyan egyértelmű utasításrendszer, mely a meghatározza a felhasznált műveletek tartalmát és sorrendjét, és megfelelő kiinduló adatokból a kívánt eredményt szolgáltatja. „megfelelőség” fogalma 7

Hibák és forrásaik A modell a valóság leegyszerűsítése, így valamilyen ez módon mindenképpen történő bele fog leképzése, kerülni a számításainkba. Hibák típusai: • Modellhiba • mérési hiba Valós probléma Tudományos modell • Képlethiba Numerikus modell • diszkretizációs hiba Matematikai modell • kerekítési, ábrázolási hiba • Kiértékelési hiba Számítógépes modell 8

Bináris és hexadecimális számok 9

Lebegőpontos ábrázolás 10

Lebegőpontos ábrázolás 11

Lebegőpontos ábrázolás 12

Abszolút hiba, relatív hiba 13

Hibaterjedés 14

Hibaterjedés 15

Két közel nulla szám kivonása 16

Iteratív módszerek A numerikus módszerek tulajdonképpen olyan előre meghatározott algebrai és logikai matematikai műveletek elvégzésének meghatározott sorrendű elvégzését jelenti, amivel egy adott probléma analitikus módon történő egzakt megoldása helyett annak közelítő megoldását adja ki. Ezen utasításrendszer, melyek adott műveletek tartalmát és sorrendjét egyértelműen meghatározzák, és adott kiinduló adatokból a keresett eredményt adják ki, algoritmusoknak nevezzük. Leghatékonyabb leírás: programkóddal, mely tartalmaz input-okat, output-okat. 17

Iteratív módszerek Az iteratív módszerek találgatással kezdődnek, majd a megoldást szukcesszív approximációval éri el. Felhasználásuk igen sokrétű lehet: • Algebrai egyenletek megoldása; • Differenciál egyenletek megoldása; • Integrálás; • deriválás; … Egyik legfontosabb jellemző a leállítási feltétel, mely lehet: • amikor egy megszakítási feltétel igazzá válik • amikor egy maximum iterációs lépésszámot elérünk. 18

Iteratív módszerek - Példa • 19

Iteratív módszerek - Példa Bemenet: Kimenet: 1. Lépés 2. Lépés Valós érték Kezdeti összeg Váltakozó előjel kezdeti beállítása 3. Lépés 4. Lépés Leállítási feltétel 5. Lépés n frissítése Előjel Term frissítése 6. Lépés Vége 20

Alap iteratív módszer • 21

Konvergencia ráta • 22

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Dr. Bicsák György email: gybicsak@vrht. bme. hu BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708 -2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG