Movimiento de rotacin Javier Junquera Bibliografa Fsica Volumen

Movimiento de rotación Javier Junquera

Bibliografía Física, Volumen 1, 3° edición Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson ISBN: 84 -9732 -168 -5 Capítulo 10 Física, Volumen 1 R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. Sands Ed. Pearson Eduación ISBN: 968 -444 -350 -1 Capítulo 8

Momento (o par o torque) de una fuerza Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un cierto eje gracias a un pivote, y la línea de acción de la fuerza no pasa a través de ese pivote, el cuerpo tiende a girar alrededor de ese eje La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria colineal con el vector fuerza y que se extiende hasta al infinito en ambas direcciones La tendencia de una fuerza a hacer que un cuerpo gire alrededor de un eje se mide mediante una magnitud vectorial denominada par (o momento axial) de la fuerza El par es la causa de los cambios producidos en el movimiento de rotación y juega un papel en la dinámica de rotación análogo a las fuerzas en la dinámica de traslación

Momento (o par o torque) de una fuerza Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por. La fuerza aplicada puede formar un ángulo con respecto al vector posición que indica el punto de aplicación de la fuerza Hasta ahora hemos definido el módulo, pero el momento de una fuerza es un vector Definimos el módulo del momento asociado por la fuerza como El momento de la fuerza solo queda definido cuando se especifica un eje de referencia a partir del cual se determina la distancia entre el pivote y el punto de aplicación de la fuerza

Interpretación de la fórmula del módulo del momento (I) Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por. La fuerza aplicada puede formar un ángulo con respecto al vector posición que indica el punto de aplicación de la fuerza Solo la componente perpendicular provoca un giro alrededor del pivote La componente de la fuerza paralela a no contribuirá al giro alrededor del punto de pivote, porque su línea de acción pasa justamente a través del punto del pivote El módulo del momento de la fuerza es el producto de la distancia al punto de aplicación de la fuerza multiplicada por la componente perpendicular de la fuerza

Interpretación de la fórmula del módulo del momento (II) Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por. La fuerza aplicada puede formar un ángulo con respecto al vector posición que indica el punto de aplicación de la fuerza Si asociamos la función seno a la distancia A la magnitud se la denomina brazo del momento (o brazo de palanca) de la fuerza y representa la distancia perpendicular entre el eje de rotación y la línea de acción de

Momento de un sistema de fuerzas Si dos o más fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, cada una de ellas tiene una cierta tendencia a producir un movimiento de rotación alrededor del punto de pivote Si el cuerpo está inicialmente en reposo: tiende a hacer girar el cuerpo en el sentido de las agujas del reloj Por convenio: signo negativo tiende a hacer girar el cuerpo en el sentido contrario al de las agujas del reloj Por convenio: signo positivo

No se debe confundir momento con fuerza Las fuerzas pueden producir cambios en los movimientos lineales (segunda ley de Newton) Las fuerzas también pueden producir cambios en los movimientos de rotación, per su efectividad no solo depende del módulo de la fuerza sino del punto de aplicación con respecto al eje de giro

Naturaleza vectorial del momento de una fuerza Unidades en el SI: (no confundir con Julios)

Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido Supongamos que podemos considerar un cuerpo rígido en rotación como un conjunto de partículas. El cuerpo rígido está sometido a la acción de un número de fuerzas que se aplican en distintas posiciones del cuerpo rígido, en las cuales estarán situadas determinadas partículas. Por tanto, podemos imaginar las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo rígido como si fueran ejercidas sobre partículas individuales del mismo. Calcularemos el momento neto sobre el objeto debido a los momentos resultantes de la acción de estas fuerzas alrededor del eje de rotación del cuerpo. Cualquier fuerza que actúe sobre el cuerpo rígido puede ser descompuesta en sus componentes radial y tangencial. La componente radial de la fuerza aplicada no contribuye al momento, dado que su línea de acción pasa a través del eje de rotación. Solo la componente tangencial contribuye al par.

Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido Para cualquier partícula dada, identificada mediante la variable de índice del interior del cuerpo rígido, podemos utilizar la segunda ley de Newton para describir la aceleración tangencial de la partícula Multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por distancia de la partícula al eje de giro Como , la y Ahora sumamos los momentos ejercidos sobre todas las partículas del cuerpo rígido

Segunda ley de Newton en las rotaciones Par neto sobre todas las partículas del cuerpo rígido En el modelo de cuerpo rígido, todas las partículas tienen la misma aceleración angular Como el par neto debido a las fuerzas internas se anula (ver tema de Sistemas de partículas), entonces el término de la izquierda queda reducido al par externo neto La segunda ley de Newton en las rotaciones El par neto que actúa sobre un cuerpo rígido es proporcional a su aceleración angular y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia

Trabajo y energía en el movimiento de rotación Supongamos un cuerpo rígido que puede rotar alrededor de un punto Supongamos que aplicamos una única fuerza externa en el punto y que es el desplazamiento que experimenta el punto de aplicación de la fuerza por acción de la misma El trabajo infinitesimal que realiza la fuerza sobre el cuerpo, a medida que el punto de aplicación de la fuerza gira a lo largo de una distancia infinitesimal en un tiempo es la componente tangencial de la fuerza, o la componente a lo largo del desplazamiento La componente radial de la fuerza no realiza ningún trabajo porque es perpendicular al desplazamiento

Trabajo y energía en el movimiento de rotación Supongamos un cuerpo rígido que puede rotar alrededor de un punto Supongamos que aplicamos una única fuerza externa en el punto y que es el desplazamiento que experimenta el punto de aplicación de la fuerza por acción de la misma Como El trabajo realizado en el movimiento de rotación es igual al producto del par por el desplazamiento angular

Trabajo y energía en el movimiento de rotación A partir de la segunda ley de Newton para las rotaciones De la expresión anterior para el diferencial de trabajo Integrando esta expresión tenemos el trabajo total realizado por el par Exactamente la misma fórmula matemática que el teorema de las fuerzas vivas para el movimiento de traslación

Potencia en el movimiento de rotación La potencia es el ritmo al cual una fuerza realiza un trabajo Con lo que la potencia instantánea queda definida como Expresión análoga a en el movimiento de traslación

Definición de momento angular o cinético Consideremos una partícula de masa m, con un vector de posición y que se mueve con una cantidad de movimiento El momento angular instantáneo de la partícula relativo al origen O se define como el producto vectorial de su vector posición instantáneo y del momento lineal instantáneo

Definición de momento angular o cinético Consideremos una partícula de masa m, con un vector de posición y que se mueve con una cantidad de movimiento Tanto el módulo, la dirección como el sentido del momento angular dependen del origen que se elija Dirección: perpendicular al plano formado por Sentido: regla de la mano derecha Módulo: Unidades SI: kg • m 2/s y

Momento angular o cinético: Casos particulares cuando es paralelo a. Es decir, cuando la partícula se mueve a lo largo de una línea recta que pasa por el origen tiene un momento angular nulo con respecto a ese origen máxima cuando es perpendicular a. En ese momento la partícula se mueve exactamente igual que si estuviera en el borde de una rueda que gira alrededor del origen en el plano definido por y (movimiento circular). Módulo Dirección y sentido

Conservación del momento angular En general, si sobre la partícula actuase más de una fuerza Ecuación análoga para las rotaciones de las segunda ley de Newton para las traslaciones Esta ecuación es válida: - sólo si los momentos de todas las fuerzas involucradas y el momento angular se miden con respecto al mismo origen. -válida para cualquier origen fijo en un sistema de referencia inercial.

Conservación del momento angular Si Esto se verifica si: La fuerza se anula (caso, por ejemplo, de la partícula libre) La fuerza es paralela a la posición (fuerzas centrales) (ley de Gravitación Universal)

Analogías entre rotaciones y traslaciones Traslaciones Rotaciones Una fuerza neta sobre una partícula produce un cambio en el momento lineal de la misma Un torque neto sobre una partícula produce un cambio en el momento angular de la misma Una fuerza neta actuando sobre una partícula es igual a la razón de cambio temporal del momento lineal de la partícula Una torque neto actuando sobre una partícula es igual a la razón de cambio temporal del momento angular de la partícula

Momento angular de una partícula en un movimiento circular Supongamos una partícula que se mueve en el plano xy en un movimiento circular de radio r. Hallar la magnitud y dirección de su momento angular con respecto al origen O si su velocidad lineal es Como el momento lineal de la partícula está en constante cambio (en dirección, no en magnitud), podríamos pensar que el momento angular de la partícula también cambia de manera contínua con el tiempo Sin embargo este no es el caso Magnitud Dirección Perpendicular al plano de la pantalla y saliendo hacia fuera (regla de la mano derecha) Una partícula en un movimiento circular uniforme tiene un momento angular constante con respecto a un eje que pase por el centro de la trayectoria

Momento angular total de un sistema de partículas El momento angular total de un sistema de partículas con respecto a un determinado punto se define como la suma vectorial de los momento angulares de las partículas individuales con respecto a ese punto. En un sistema continuo habría que reemplazar la suma por una integral

Momento angular total de un sistema de partículas A priori, para cada partícula i tendríamos que calcular el torque asociado con: - fuerzas internas entre las partículas que componen el sistema - fuerzas externas Sin embargo, debido al principio de acción y reacción, el torque neto debido a las fuerzas internas se anula. Se puede concluir que el momento angular total de un sistema de partículas puede variar con el tiempo si y sólo si existe un torque neto debido a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema

Momento angular total de un sistema de partículas EL torque neto (con respecto a un eje que pase por un origen en un sistema de referencia inercial) debido a las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es igual al ritmo de variación del momento angular total del sistema con respecto a dicho origen

Momento angular de un sólido rígido en rotación Consideremos una placa que rota alrededor de un eje perpendicular y que coincide con el eje z de un sistema de coordenadas Cada partícula del objeto rota en el plano xy alrededor del eje z con una celeridad angular El momento angular de una partícula de masa que rota en torno al eje z es Y el momento angular del sistema angular (que en este caso particular sólo tiene componente a lo largo de z)

Momento angular de un sólido rígido en rotación Y el momento angular del sistema angular (que en este caso particular sólo tiene componente a lo largo de z) Donde se ha definido el momento de inercia del objeto con respecto al eje z como En este caso particular, el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular

Momento angular de un sólido rígido en rotación En general, la expresión no siempre es válida. Si un objeto rígido rota alrededor de un eje arbitrario, el momento angular y la velocidad angular podrían apuntar en direcciones diferentes. En este caso, el momento de inercia no puede ser tratado como un escalar. Estrictamente hablando, se aplica sólo en el caso de un sólido rígido de cualquier forma que rota con respecto a uno de los tres ejes mutuamente perpendiculares (denominados ejes principales de inercia) y que pasan por su centro de masa.

Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido Supongamos que el eje de rotación del sólido coincide con uno de sus ejes principales, de modo que el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular Derivando esta expresión con respecto al tiempo Si asumimos que el momento de inercia no cambia con el tiempo (esto ocurre para un cuerpo rígido)

Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido Supongamos que el eje de rotación del sólido no coincide con uno de sus ejes principales, de modo que el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular Pero como el momento angular ya no es paralelo a la velocidad angular, ésta no tiene por qué ser constante

Conservación del momento angular El momento angular total de un sistema es contante, tanto en dirección como en módulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anula Tercera ley de conservación: en un sistema aislado se conserva: - energía total - el momento lineal - el momento angular El principio de conservación del momento angular es un resultado general que se puede aplicar a cualquier sistema aislado. El momento angular de un sistema aislado se conserva tanto si el sistema es un cuerpo rígido como si no lo es.

Conservación del momento angular El momento angular total de un sistema es contante, tanto en dirección como en módulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anula Para un sistema aislado consistente en un conjunto de partículas, la ley de conservación se escribe como

Conservación del momento angular Si la masa de un sistema aislado que rota sufre un redistribución, el momento de inercia cambia Como la magnitud del momento angular del sistema es La ley de conservación del momento angular requiere que el producto de I por w permanezca constante Es decir, para un sistema aislado, un cambio en I requiere un cambio en w Esta expresión es válida para: - una rotación en torno a un eje fijo. - una rotación alrededor de un eje que pase por el centro de masas de un sistema que rota. Lo único que se requiere es que el torque neto de la fuerza externa se anule

Comparación de los movimientos lineales y movimientos rotacionales

Transparencias de soporte

Cálculos de momentos de inercia Sistema discreto Sistema continuo Placa plana