Moviment Parablic Fins ara hem vist el MRU

Moviment Parabòlic. • Fins ara hem vist el MRU i el MRUA per separat, però Galileo va descobrir al 1608 que el Moviment Parabòlic era la superposició de dos moviments: – – • • • Moviment rectilini uniforme a la horitzontal, on no hi ha cap acceleració. Moviment rectilini uniformement accelerat a la vertical, on hi ha acceleració. En realitat aquest plantejament és molt simplista i no inclou altres forces, com la resistència de l’aire. Si incloem aquesta el moviment s’allunya sensiblement d’una paràbola, la qual cosa fa que el projectil no arribi tan lluny com ho faria en el buit. A petites velocitats, però l’efecte del fregament de l’aire és molt petit i per tant negligible. Moviment balístic d’un objecte, considerant el fregament de l’aire, a baixes velocitats (1) i a altes velocitats (2). A baixes velocitats el fregament és proporcional a la velocitat del projectil perquè el flux és laminar, a mesura que augmenta la velocitat el flux de l’aire al voltant del projectil passa a ser turbulent, i llavors el fregament és proporcional al quadrat de la velocitat. Trajectòria semiparabòlica ideal d’un objecte en el buit.

Equació de moviment del Moviment Parabòlic • Donat que hem de considerar el moviment parabòlic com a superposició de dos moviments, plantegem el següent joc d’equacions: • Aquestes dues equacions de moviment les podem reunir en una sola equació vectorial.

Angle de llançament. • La superposició del dos moviments s’aconsegueix realitzant un llançament oblic, amb un cert angle amb l’horitzontal. • D’aquesta manera podem posar la velocitat inicial a l’eix X i a l’eix Y en funció del mòdul de la velocitat i de les relacions trigonomètriques de l’angle de llançament. • Si fem aquesta transformació ens quedarà l’equació de moviment:

Equació de trajectòria • • • A partir de l’equació de moviment podem obtenir l’equació de trajectòria. El que hem de fer per obtenir l’equació de la trajectòria és treure el temps. Per fer això aïllem el temps a una de les dues equacions de moviment: Agafem l’equació de moviment horitzontal perquè és més senzilla. A partir d’aquí substituïm aquesta expressió a l’equació de moviment vertical:

Trajectòria parabòlica. • Si considerem que les velocitats inicials a la vertical i a la horitzontal es podem representar mitjançant les funcions trigonomètriques, obtenim: • Aquesta equació representa una paràbola, d’on ve el nom de moviment parabòlic. Representació gràfica del moviment parabòlic. El mòbil recórre els punts d’una paràbola, d’aquí el seu nom.

Equacions de velocitat. • • • Una vegada que tenim les equacions de moviment i de trajectòria podem calcular l’alçada màxima del moviment. Com a punt de partida imposem que la velocitat és 0. Però per a treure la velocitat necessitem l’equació de velocitat. Podem partir de les equacions de velocitat del MRU i del MRUA: Si imposem els valors que vam obtenir per les velocitats inicials a la vertical i a l’horitzontal:

Alçada màxima. • • Com vam veure a 4 rt d’ESO, en un MRUA, al punt màxim es compleix que la velocitat és 0. Per tant al punt de màxima alçada es compleix que: • Aquesta relació la podem substituir a l’equació de moviment vertical i s’obté: • Per tant l’alçada màxima en un moviment parabòlic ve donada per:

Llargada del llançament. • • De la mateixa manera podem obtenir la llargada del llançament parabòlic. Per simplicitat considerem que el llançament acaba a la mateixa alçada que es va iniciar, la qual cosa no sempre és certa. Comencem resolent l’equació de segon grau de l’alçada: • Introduïm ara aquest resultat a l’equació de moviment horitzontal: • I per tant la llargada del llançament serà: •

Llargada màxima. • A partir d’aquesta expressió podem treure l’angle òptim de llançament: • Per tant l’angle òptim de llançament és 45º i amb aquest angle s’obté la llargada màxima en termes absoluts pel llançament, donat que la gravetat no podem fer res per canviar-la i la velocitat de sortida variarà poc en diferents llançaments. • Així, ens quedarà la llargada màxima, suposant que arribem a la mateixa alçada que vam sortir:

Tir tens, tir corb. • • • El fet que l’angle de 45 doni lloc a un 2θ de 90º fa que hagi dos angles possibles per a una mateixa llargada de llançament, un per sobre de 45º i un altre per sota de 45º. Els llançaments per sota de 45º donaran lloc a una trajectòria amb una gran velocitat horitzontal, però baixa velocitat vertical, tindrem una trajectòria gairebé recta, molt ràpida, amb una caiguda petita, tir tens. Els llançaments per sobre de 45º donaran lloc a una trajectòria amb poca velocitat horitzontal, però gran velocitat vertical, tindrem una trajectòria amb una corba molt pronunciada i sensiblement lenta, tir corb. A aquestes dues il·lustracions veiem el perquè l’angle òptim de llançament és 45º, és el que dóna un sin 2θ més gran i igual a 1. En canvi els llançaments per sobre i per sota de 45º donen valors de sin 2θ iguals i més petits que 1. Per tant són possibles dues trajectòries per a una mateixa distància, una gairebé recta i molt ràpida, tir tens, amb un angle per sota de 45º i una altra corba i molt lenta, tir corb, amb un angle per sobre de 45º.

Exemple pràctic: La fortalesa de La Mola, a Maó. • Tots els càlculs i fórmules que hem tret per a la llargada màxima del llançament suposen que aquest acaba a la mateixa alçada que comença, però què passa si no és així? • Això és el què passa amb les peces d’artilleria de costa Vickers Armstrong de 381/45 mm, montades a la fortalesa de la Mola a Maó.

Especificacions del fabricant. • Segons les especificacions del fabricant tenen una llargada màxima de 35. 000 m, la qual cosa ens dona com a velocitat de sortida: • En canvi segons l’exèrcit espanyol mentre es trobaven en servei la llargada màxima a d’aquestes peces era de 35. 080 m. Per què aquesta diferència? • Esquema de la fortalesa d’Isabel II, a Maó, esquerra, i detall d’una de les peces d’artilleria de costa, a dalt

Llargada màxima de les peces d’artilleria (1). • • • Aquesta diferència es deu a què com que està muntades a dalt d’un promontori, els projectils romanen més temps a l’aire i per tant arriben una mica més lluny. Per tant amb la dada d’aquesta distància màxima podem determinar l’alçada a què està ubicada la peça. Resolem l’equació de 2 on grau, tenint en compte aquesta diferència d’alçada, encara que la solució es complica notablement. Posició de les peces d’artilleria.

Llargada màxima de les peces d’artilleria (2). • Igualment que fèiem abans introduïm aquest resultat a l’equació de moviment horitzontal i traiem la llargada màxima dels canons. • Per tant ens queda si considerem que el llançament s’inicia de d’una certa alçada: • Veiem que si y 0=0, aquesta equació reverteix a la que ja teniem.

Llargada màxima de les peces d’artilleria (3). • Com que totes les dades són conegudes, llevat de la alçada a què es troben les peces d’artilleria, podem resoldre l’equació: • Una vegada hem separat les dues equacions les resolem per separat. • Resulta que totes dues ens porten a la mateixa solució :

Conclusió (1). • • 80, 18 m m de més poden no significar gaire diferència, però hem de pensar que un cuirassat equipat amb els mateixos canons, es troba a tir 80, 18 m abans que ho estigui la bateria de costa. A sobre com que la bateria de costa es troba a 80 m per sobre del nivell del mar el vaixell s’ha d’apropar encara més:

Conclusió (2). • La qual cosa fa que al vaixell se li escurci la llargada màxima: • La solució bona és la primera, la segona ens indica que quan el projectil es troba a 80, 18 m del vaixell, es troba a 80, 18 m d’alçada. Per tant la llargada màxima del vaixell, s’escurça en 80, 18 m, així que no només es troba a tir de la bateria de costa 80 m abans, sinó que s’ha d’apropar 80, 18 m més per tenir la bateria a tir, és a dir: 160, 18 m. Com a comparació el cuirassat USS Missouri té una eslora de 270, 43 m, això suposa per tant que el 59, 2% de la longitud del vaixell es troba a tir, abans de poder llençar un sol tret. • • El USS Misouri, BB-63, de la armada americana en servei. Es troba retirat des de 1992 i des del 1998 es troba a la base de Pearl Harbor, a Hawaii, convertit en museu.