Mosaicos de Penrose 2 Mosaico de Penrose Sala

Mosaicos de Penrose 2

“Mosaico de Penrose”, Sala de Matemáticas, Universum. Juan Sandoval, Escultor Javier Bracho, Matemático.

Los Mosaicos de Penrose se construyen dos piezas: papalote daga con reglas de pegado dadas por los colores de los vértices.

¿Realmente se puede ¿Se puede llenar el plano? llenar todo el todo plano? Infle y Desinfle: “Penrose”

El desinfle de un mosaico M: D(M): • Desinflar todas sus piezas • Fundir las medias dagas D(M) tiene tamaño una escala aúrea menor. f-1 1 f 1

Ejemplos

Desinfle cuarto del Sol

Queda claro que podemos hacer mosaicos tan grandes como queramos. Pero esto no es lo mismo que llenar el plano. A menos que aprendamos a crecer, es decir, a anidar unos en otros.

Sol D( Sol ) D 2( Sol )

D 3( Sol ) Sol f 4 D 4( Sol ) Por lo tanto, sabemos como crecer hasta cubrir todo el plano. . . … “Sol Infinito”

Una variación de esta idea, nos da una infinidad no numerable de Mosaicos de Penrose. (series infinitas de 0 y 1 )

• El Sol Infinito tiene simetría caleidoscópica de orden 5. • Insistamos entonces que un mosaico es periódico si tiene traslaciones en su grupo de simetrías. • Y entonces podemostrar que el conjunto de piezas básicas de Penrose es aperiódico:

El proceso de desinfle tiene un inverso. El Infle: • Partir en dos todas las dagas. • Borrar aristas chicas bicromáticas. • Juntar nuevas aristas chicas con grandes.

Teorema. Los mosaicos de Penrose no tienen traslaciones como simetrías. Al inflar las piezas se hacen más y más grandes, y entonces rebazan a cualquier translación

Teorema. En un mosaicos de Penrose, la razón entre #(papalotes) y #(dagas) es aúrea. Como D(p) = 2 p + d D(d) = p + d Dn(p) = F 2 n+1 p + F 2 n d Entonces donde …. Fn … es la sucesión de Fibonachi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . y Fn+1 Fn f

Entre otras muchas preguntas, queda abierta: ¿Existirá una sola pieza Aperiódica?