Monosti vyuit stavebnice v matematickch disciplnch posloupnosti kombinatorika
Možnosti využití stavebnice v matematických disciplínách posloupnosti, kombinatorika, pravděpodobnost a analytická geometrie v prostoru Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Zbyněk Tůma. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Posloupnosti Ukázka úlohy: Ze stavebnice vymodelujte promítnutý tvar. Rozhodněte, zda postupně od středu tvoří počty zelených, červených, žlutých a modrých dílů stavebnice posloupnost. Pokuste se z promítnuté nabídky určit její vlastnosti a doplnit další čtyři její členy.
Vybírejte vlastnost aritmetická, geometrická rostoucí nerostoucí klesající neklesající konstantní omezená nekonečná
Správně vybrané vlastnosti neklesající omezená {6, 6, 12} konečná
Pravděpodobnost náhodného jevu Př. 1: V osudí je 7 kvalitních a 3 nekvalitní výrobky. Z osudí vylosujeme 1 výrobek. Jaká je pravděpodobnost jevu A: „Výrobek bude kvalitní. “
Př. 1: V osudí je 7 kvalitních a 3 nekvalitní výrobky. Z osudí vylosujeme 1 výrobek. Jaká je pravděpodobnost jevu A: „Výrobek bude kvalitní. “ řešení: P(A) = 7/10 = 0, 7 = 70 %
Př. 2: Losujeme z celkového počtu trojici výrobků najednou. Vypočítejte pravděpodobnost níže uvedených náhodných jevů a realizujte náhodný pokus. D 0: „Všechny výrobky budou bezvadné. “ D 1: „Ve vylosované sérii bude právě jeden výrobek nekvalitní. “ D 2: „Ve vylosované sérii budou právě dva výrobky nekvalitní. “ D 3 : „Ve vylosované sérii budou právě tři výrobky nekvalitní. “ E 1: „Ve vylosované sérii bude minimálně jeden výrobek nekvalitní. “ F 1: „Ve vylosované sérii bude maximálně jeden výrobek nekvalitní. “
Př. 3: Opakujme úlohu minulou a losujme z celkového počtu tři výrobky za sebou. K úlohám D 0, ……. F 1 přidejme ještě úlohy další: G 1: „První dva vylosované výrobky budou kvalitní, poslední nekvalitní. “ G 2: „První výrobek bude nekvalitní, druhý kvalitní a třetí rovněž kvalitní. “ G 3: „První výrobek bude kvalitní, druhý nekvalitní a třetí rovněž kvalitní. “ Vyučující vyzve žáky, aby se pokusili na základě výsledků interpretovat jednotlivé vztahy, výsledky pak budou základem pro definici nezávislých jevů.
Výpočty a výsledky P(D 0) = 0, 292; P(D 1) = 0, 525; P(D 2) = 0, 175; P(G 1) = 0, 175; P(G 2) = 0, 175; P(G 3) = 0, 175 P(G 1) + P(G 2) + P(G 3) = P(D 1) = 0, 525
Př. 4: V osudí je 6 červených, 3 modré a jeden zelený trojúhelník. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vylosované trojici trojúhelníků bude maximálně jeden modrý trojúhelník?
n = 7 (počet možných jevů) m = 4 (počet příznivých jevů) P(A) = m/n ukázky nemožných jevů
P(A) ……. . vylosován maximálně jeden modrý trojúhelník P(A) = P(A 0) + P(A 1) = 0, 292 + 0. 521 = 0, 813
Analytická geometrie v prostoru Model k úloze č. 1
Úlohy k modelu č. 1: 1. V půdorysné rovině ρ určete souřadnice bodů A, B a S (řešení hledejte v obr. č. 1). 2. Zapište souřadnice bodů A, B a S v prostoru E 3. 3. V E 3 určete souřadnice vrcholu jehlanu V. 4. Zapište parametrickou i obecnou rovnici roviny ABV. 5. Určete průsečnici roviny ABV s půdorysnou i nárysnou rovinou.
Varianta koncepce postupu řešení: 1. souřadnice průsečíku přímek p a g 2. výpočet souřadnic bodů A a B 3. výpočet souřadnic bodu S (půdorys vrcholu jehlanu) 4. výpočet vrcholu jehlanu V
Varianta koncepce postupu řešení: 1. souřadnice průsečíku přímek p a g 2. výpočet souřadnic bodů A a B 3. výpočet souřadnic bodu S (půdorys vrcholu jehlanu) 4. výpočet vrcholu jehlanu V
Varianta koncepce postupu řešení: 1. souřadnice průsečíku přímek p a g S´ g: y = ‒x p: y = x ‒ 1 S´[1/2; – 1/2] 2. výpočet souřadnic bodů A a B průsečík p a k = (S´; 0, 5) k: (x – 1/2)2 + (y + 1/2)2 = (1/2)2 3. výpočet souřadnic bodu S (půdorys vrcholu jehlanu) g: y = –x l: B [1/2 – 1/4. √ 2; – 1/2 – 1/4. √ 2; ], r = 1 p: y = x ‒ 1 A [1/2 + 1/4. √ 2; -1/2 + 1/4. √ 2; ] , B [1/2 – 1/4. √ 2; - 1/2 – 1/4. √ 2; ] (x – 1/2 + 1/4. √ 2). (y – (– 1/2 – 1/4. √ 2)) = 1 X = [1/2 + 1/4. √ 6 ] Y = [– 1/2 – 1/4. √ 6 ] 4. určení vrcholu jehlanu V [1/2+1/4. √ 6 ; -1/2 -1/4. √ 6 ; 1]
Model k úloze č. 2
Úlohy k modelu č. 2: 1. Určete souřadnice bodů A, B, C, D, A´, B´, C´, D´, E, F. 2. Zapište rovnici roviny A´B´ E (rovina červené střechy) a) parametrickou rovnicí b) obecnou rovnicí 3. Určete a zapište průsečnici roviny A´B´ E s půdorysnou rovinou ρ. 4. Určete průsečíky průsečnice s osami souřadnic.
a = 10 m, u = √ 102 +102 = 10. √ 2 1. Určete souřadnice bodů A, B, C, D, A´, B´, C´, D´, E, F u 2. Zapište rovnici roviny A´B´ E (rovina červené střechy) a) parametrickou rovnicí b) obecnou rovnicí 3. Určete a zapište průsečnici roviny A´B´ E s půdorysnou rovinou ρ. 4. Určete průsečíky průsečnice s osami souřadnic.
a = 10 m, u = √ 102 +102 = 10. √ 2 1. Určete souřadnice bodů A, B, C, D, A´, B´, C´, D´, E, F A [15√ 2; 0] B [20√ 2; 10√ 2; 0], A´ [15√ 2; 10] B´ [20√ 2; 10] E [17, 5. √ 2; 2, 5. √ 2; 10+5√ 3 ] F [22, 5. √ 2; 7, 5. √ 2; 10+5√ 3 ] 2. Zapište rovnici roviny A´B´ E (rovina červené střechy) a) parametrickou rovnicí Rovnice průsečnice ρ: A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 0], u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0), ρ: z=0 Konstrukce parametrické rovnice roviny A´ B´E: parametrická rovnice roviny
b) obecnou rovnicí: vztah mezi směrovými a normálovým vektorem roviny Konstrukce: normálový vektor roviny výsledná obecná rovnice roviny
3. Určete a zapište průsečnici roviny A´B´ E s půdorysnou rovinou ρ. 4. Určete průsečíky průsečnice s osami souřadnic. parametrická rovnice průsečíky s osami souřadnic
- Slides: 30