Moneta testa croce Lancio moneta casuale 1 testa

Moneta testa croce Lancio moneta casuale (1 = testa T, 2 = croce C)

Nel lancio casuale di una moneta si possono avere due esiti testa T o croce C La probabilità per uscita testa p. T è uguale alla probabilità uscita croce p. C p. T = 1 / 2 = 0. 5 p. C = 1 /2 = 0. 5 Lanciando poche volte una moneta, gli esiti T o C possono non rispettare le probabilità teoriche: aumentando il numero di lanci anche gli esiti risultanti si avvicinano alle probabilità teoriche ( legge grandi numeri)

Lancio moneta per 20 volte (4 prove)

Lancio moneta per 20 volte (3 prove) Lancio moneta per 200 volte (3 prove)

Esiti possibili con tre lanci di unica moneta TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC T, C Esiti possibili con un lancio di tre monete TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC T, C Esempi con calcolo probabilità teorico e concreto in funzione del numero di prove

Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T, C) Esiti possibili con tre lanci (8) TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste E 1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3 E 1 = Dn, k =n^k = 2^3 =8 P(E 1)= 3 / 8 = 0. 37 Disposizioni con ripetizione TTC, TCT, CTT

Una moneta lanciata 3 volte ( 20 prove) Solo 2 teste : 7 / 20 = 0. 35 ≠ 0. 37

Lancio contemporaneo di 3 monete (T, C) Calcolare probabilità uscita 1 croce 2 teste 2 oggetti (T, C) classe tre a tre, con ripetizione Dn. k = 2^3 = 8 Esiti possibili con tre lanci (8) TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC E 1 = uscita 1 C, 2 T P(E 1)= 3 / 8 = 0. 37 TTC, TCT, CTT

Lancio contemporaneo di tre monete (testa, croce) E 1 = uscita una croce e due teste Calcolare probabilità di E 1 Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn, k = D 2, 3 = 2^3 = 8 Eventi favorevoli TTC, CTT, TCT = 3 p(E 1) = Ef / Ep = 3 /8

Tre monete lanciate insieme (20 prove) 1 C e 2 T = 7 /20 = 0. 35 ≠ 0. 37 1^ 2^ 3^

Lancio contemporaneo di 3 monete (T, C) Calcolare probabilità uscita di almeno una testa 2 oggetti (T, C) classe tre a tre, con ripetizione Dn. k = 2^3 = 8 Esiti possibili lancio tre monete (8) TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC P(E 1)= 7 / 8 = 0. 87 E 1 = uscita almeno una testa

Tre monete insieme (20 prove) Almeno 1 testa : 18 /20 =0, 9 # 0. 87

Lancio moneta per 4 volte: S = (T, C) = 2 TTTT TTTC TTCC TCCC CCCT CCTT CTTT TCTC TCCT CTTC TCTT TTCT CTCC CCTC Calcolare probabilità uscita di solo 2 teste E 1 = solo 2 teste P(E 1) = 6 /16 = 3 / 8 = 0. 37 Eventi possibili (disposizioni con ripetizione) Dn, k = 2^4 = 16

Una moneta e 4 lanci ( o 4 monete e unico lancio): 20 prove Solo 2 teste : 8 / 20 = 0. 4 ≠ 0. 37

Lancio di due monete in successione (s) lancio di due monete insieme (i) può uscite testa T o croce C Campioni T, C esiti possibili TT, TC , CT, CC spazio esiti per una sola moneta S 1 = [T, C] spazio esiti Ss = [TT, TC, CT, CC] spazio esiti Si = [TT, TC, CC] Lancio prima moneta Diagramma ad albero Ss Lancio seconda moneta TT P(TT)=1/4 T T C TC T CT C CC P(TC)=1/4 P(CT)=1/4 C P(CC) = 1/4

Lancio di due monete in successione (s) lancio di due monete insieme (i) può uscite testa T o croce C Campioni T, C esiti possibili TT, TC , CT, CC spazio esiti per una sola moneta S 1 = [T, C] spazio esiti Ss = [TT, TC, CT, CC] spazio esiti Si = [TT, TC, CC] Lancio prima moneta Diagramma ad albero Ss Lancio seconda moneta TT P(TT)=1/4 T T C TC T CT C CC P(TC o CT)=1/2 P(CT o TC)=1/2 C P(CC) = 1/4

lancio di due monete insieme (i) può uscite testa T o croce C Campioni T, C esiti possibili TT, TC , CC spazio esiti per una sola moneta S 1 = [T, C] spazio esiti Si = [TT, TC, CC] Diagramma ad albero Si TT TC CC Lancio monete insieme P(TT)=1/3 P(TC ))=1/3 P(CC) = 1/3

Lancio di tre monete in successione Spazio campioni per una moneta S 1 = (T, C) TTT P(nessuna C) =1/8 TTC P(almeno 1 C) = 7/8 TCT P(almeno 2 C) TCC =4/8=1/2 CTT CTC CCT CCC Prima moneta Seconda moneta Terza moneta P(nessuna T) =1/8 P(almeno 1 T) = 7/8 Spazio campioni S=[TTT. TTC. TCT. TCC. CTT. CTC. CCT. CCC] Esiti possibili 8

Lancio di tre monete insieme Spazio campioni per una moneta S 1 = (T, C) TTT TTC P(almeno 1 C) = 5/6 TCT P(almeno 2 C) TCC =3/6=1/2 CTC CCC Terza moneta P(nessuna T) =1/6 P(almeno 1 T) = 5/6 Prima moneta Seconda moneta P(nessuna C) =1/6 Spazio campioni S=[TTT. TTC. TCT. TCC. CTC. CCC] Esiti possibili 6

In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete: sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire È sempre certa la estrazione di una moneta è decrescente la probabilità di estrarre una determinata moneta P 100 > P 50 > P 20 manca la possibilità che venga estratta una moneta diversa da 100, 50, 20 PC = 10/10 = 1 massima probabilità P 100 = 7/10 = 0. 7 P 50 = 2/10 = 0. 2 P 20 = Px = 0/10 = 0

Lancio contemporaneo di tre monete (testa/croce) Probabilità che escano insieme almeno 2 croci ? testa croce TTT CCC TCT CTC TCC Eventi possibili = 8 eventi favorevoli (CC, CCC) = 4 probabilità = 4 /8 = 0. 5 CTT TTC CCT

Una moneta (testa T, croce C) viene lanciata per tre volte eventi possibili (TTT, CCC, TTC, TCT, CTT, TCC, CCT, CTC) = 8 E 1 =(CCC, CTT, CCT, CTC) = 4 E 2 =(TTT, TTC, CTT, TCT) = 4 E =(CTT) = 1 p. E = 1 /8 E 1 = C ( il primo lancio mostra croce) E 2 = TT? ( si mostrano almeno 2 testa) E = E 1 ∩ E 2 Primo lancio C e si presentano almeno 2 T p. E 1 = 4 /8 = 1/2 p. E 2 = 4 / 8 = 1 /2 p. E 1 * p. E 2 = ¼ <> 1/8 : gli eventi non sono indipendenti

Rapporto tra probabilità composta e condizionata p (A ∩ B ) = p(A) * p(B | A) segue p(B |A) = p(A ∩ B) / p(A) p(B ∩ A) = p(B)*p(A | B) segue p(A | B) = p(B ∩ A) / p(B) Con S al quale appartengono A, B è equiprobabile e finito, risulta anche p(B | A) = ((A ∩ B) / S)/( A/S) = (A ∩ B) / A p(A | B) = ((A ∩ B)/ S)/ (B/S) = (A ∩ B) / B Esempio di applicazione Lanciare per tre volte una moneta (testa, croce): evento B = primo lancio = testa T : verificato evento A = esca almeno una croce (2 o terzo lancio) B =(TTT, TTC, TCT, TCC) = 4 A =(TCT, TTC, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC) = (A ∩ B ) = (TTC, TCT, TCC) = 3 p(A | B) = (A ∩ B) / B = 3 / 4

Eventi correlati Lancio consecutivo di due monete: S = 4 B : prima moneta croce C A : probabilità seconda moneta , almeno una testa B = (CT, CC): 2 eventi prima moneta > croce A = ( TC, CT, TT) : 3 eventi seconda moneta, almeno una testa A ∩ B = (CT) 1 evento prima moneta C e seconda T p(A | B ) = (A ∩ B ) / B = 1 / 2 p(A) = 3/4 p(A | B ) < p(A) … (1 / 2 ) < ( 3 / 4) A correlato negativamente a B, riduce la sua probabilità

Se risulta p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti

Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado spazio campionario Sm = (T, C) con 2 campioni : T, C spazio campionario Sd = (1, 2, 3, 4, 5, 6) con 6 campioni: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm =(TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC): 8 campioni

Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm =(TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT, TTC, CTT) evento B : uscita croce (3 lancio) B =(TTC, TCC, CTC, CCC) Evento C : uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio C = A U B (unione eventi): (TTT, TTC, CTT, TCC, CTC)

Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm =(TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT, TTC, CTT) evento B : uscita croce (3 lancio) B =(TTC, TCC, CTC, CCC) Evento C : uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio C = A U B (unione eventi): (TTT, TTC, CTT, TCC, CTC) D =uscita consecutiva di 2 teste, uscita croce al 3 lancio D = A ∩ B (intersezione eventi) : (TTC)

Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm =(TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT, TTC, CTT) G =uscita consecutiva di 2 croci G = (TCC, CCT, CCC) H = A ∩ G (intersezione eventi) = Ø Essendo A e G disgiunti( senza campioni in comune) gli eventi A e G sono incompatibili, la intersezione è insieme vuoto

Lanciare tre monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioni che si possono verificare 1^moneta 2^moneta 3^moneta T T T C C C T T Esiti = 8 C T C C C

Lanciare tre monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioni che si possono verificare 1^moneta 2^moneta 3^moneta T T T C C C T T C C C T Esiti = 8 Probabilità che escano almeno 2 teste ? = 4 /8 = ½ tre croci ? = 1 /8 due teste e una croce ? 2 / 8 = 1/4 C C C

TTTT TTTC TTCT TTCC CTTT CTTC CTCT CTCC TCTT TCTC TCCT TCCC CCTT CCTC CCCT CCCC Lanciare quattro monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioniche si possono verificare probabilità almeno 2 teste ? 11/16 due teste e due croci CCTT ? 6/16 = 3/8

Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ? Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre: la frequenza calcolata fornisce Fr = 85 /120 = 17/24 Fa = 35/120 = 7/24 Legge empirica del caso 17 rosse / 24 sferette = x. Rosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125 7 azzurre / 24 sferette = x. Azzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875