MODULO G METODI STRUMENTI E TECNICHE DI MISURA

MODULO G METODI, STRUMENTI E TECNICHE DI MISURA DEGLI ANGOLI UNITÀ G 2 -3 I GONIOMETRI (condizioni di buon funzionamento) Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. ,

CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO Anche il teodolite più sofisticato, di per sé, non garantisce la corretta misura degli angoli. Affinché un teodolite possa assolvere al suo compito di misurare correttamente gli angoli, è necessario che siano soddisfatte alcune condizioni geometriche. Alcune di queste condizioni devono essere assicurate dal costruttore all’atto della realizzazione del teodolite, altre devono essere garantite (o controllate) dall’operatore del goniometro. Più il teodolite è sofisticato, maggiore deve essere la cura nel realizzare e controllare queste condizioni. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 2

TIPOLOGIE DELLE CONDIZIONI di FUNZIONAMENTO CONDIZIONI MECCANICHE (non rettificabili) dipendono dalla corretta costruzione del teodolite; qualora non vengano rispettate si rende necessario attuare opportune e adeguate procedure operative per eliminarne gli effetti negativi sulla misura degli angoli. CONDIZIONI DI VERIFICA E RETTIFICA devono essere verificate di volta in volta dall'operatore ed eventualmente rettificate presso laboratori specialistici, agendo sui dispositivi di correzione di cui sono equipaggiati i teodoliti. Perlopiù queste condizioni di buon funzionamento sono connesse agli assi del teodolite Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 3

C GLI ASSI DEL TEODOLITE Z R ZZ ASSE PRIMARIO (generale) RR ASSE SECONDARIO (di rotazione) CC ASSE DI COLLIMAZIONE LL ASSE DELLA LIVELLA L R GLI ASSI E I CERCHI GRADUATI C L Z Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 4

LE CONDIZIONI MECCANICHE 1) L'asse principale e l’asse secondario devono essere perpendicolari, rispettivamente, al piano del cerchio orizzontale e al piano del cerchio verticale Se una di queste condizioni non è soddisfatta la lettura degli angoli, orizzontali o verticali, è affetta dall’errore di perpendicolarità (condizione sempre verificata con sufficiente precisione) 2) L'asse principale e l’asse secondario devono passare, rispettivamente, per il centro del cerchio orizzontale e per il centro del cerchio verticale Se non è soddisfatto il primo requisito la lettura al cerchio orizzontale è affetta dall'errore di eccentricità dell'alidada, se non lo è il secondo la lettura al cerchio verticale è affetta dall’errore di eccentricità del cerchio verticale. 3) L'asse di collimazione deve intersecare l'asse principale. Se questa condizione non è soddisfatta la lettura al cerchio orizzontale è affetta dall'errore di eccentricità dell'asse di collimazione o eccentricità del cannocchiale, mentre non si hanno errori significativi nella misura degli angoli verticali. 4) La graduazione dei cerchi deve essere esatta. Se questa condizione non è soddisfatta si ha l’errore di graduazione dei cerchi. Nelle misure al cerchio verticale gli effetti di questo errore non sono eliminabili; in quelle al cerchio orizzontale sono eliminabili ripetendo le misure in settori diversi del cerchio. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 5

ECCENTRICITÀ DELL’ALIDADA Immaginiamo che l’asse principale passi per il centro della graduazione O; allora il centro di rotazione C sul cerchio coincide con O e non è presente l’eccentricità dell’alidada (e = 0; C O). Collimando a P si eseguirebbe al cerchio la lettura corretta L. R C e O L 1 P L Negli strumenti moderni e è dell’ordine dei m (micron). Ad esempio, ipotizzando R = 4 cm , ed e = 5 m, esprimendo tutto in mm, si ottiene: 0, 005 ”= ------- 206 265 = 25” In realtà, il centro di rotazione C sul cerchio non coincide mai con O e dista da questo la quantità e. Immaginiamo poi C sulla direzione dell’origine della graduazione (ipotesi peggiore). Collimando a P si esegue al cerchio la lettura sbagliata L 1. La differenza tra la lettura corretta L e quella sbagliata L 1 costituisce l’errore angolare causato dalla presenza dell’eccentricità dell’alidada e. Osservando che e è infinitamente più piccolo di R, si ha: rad= 40 Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , e ---- ; R e ”= ---- 206 265 R 6

LETTURE AGLI INDICI OPPOSTI L’errore angolare causato dalla presenza della eccentricità dell’alidada è sopportabile per goniometri di modesta precisione (tacheometri), ma è assolutamente intollerabile per i teodoliti di precisione. L 2 R C e O L 1 L L = L 1 + e L = L 2 - - 180° sommando si ottiene: L 1 + L 2 ± 180° L = 2 Non potendo più ridurre e (per limiti tecnologici), né aumentare R (per non P avere strumenti di dimensioni ingombranti), si può tuttavia eliminare l’effetto causato dalla presenza dell’eccentricità (cioè l’errore ). Ciò avviene dotando il teodolite di un secondo indice di lettura (microscopio) diametralmente opposto al primo (che rimane però l’indice principale), sul quale eseguire la lettura L 2 (se fosse e = 0 sarebbe L 2 – L 1 = 180°). L 2 e L 1 sono dette letture agli indici opposti e da esse si ottiene la lettura L che si sarebbe fatta in assenza di eccentricità dell’alidada. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 7

ECCENTRICITÀ DEL COLLIMATORE P e e D D P rad= ---- ; ”= --- 206265 L P L’ O O Se l’asse di collimazione interseca l’asse generale (assenza errore del collimatore) collimando il punto P, all’indice di lettura si eseguirebbe la lettura corretta L. e Se invece è presente l’eccentricità e, per collimare il punto P è necessario ruotare l’alidada, dunque anche l’indice di lettura, al quale si eseguirebbe la lettura sbagliata L’. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 8

ECCENTRICITÀ DEL COLLIMATORE P P rad= e ---- ; D e ”= --- 206 265 D L’errore è temibile solo per punti molto vicini (D piccolo) e con teodoliti di grande precisione. Ad esempio, se il punto dista 100 m, ipotizzando e = 1 mm si ha: D L’ 0, 001 O e ”= ------- 206265 = 2” 100 L’effetto della presenza dell’eccentricità del collimatore (l’errore ) può essere eliminato con una procedura operativa: operativa 1) si capovolge il cannocchiale invertendo oculare con obiettivo; 2) per tornare a collimare il punto P è necessario ruotare l’alidada (approssimativamente di 180°), dunque anche l’indice di lettura, al quale si eseguirebbe la lettura sbagliata L’; Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 9

LETTURE CONIUGATE P P 3) dopo aver collimato di nuovo il punto P, all’indice di lettura (trascinato dalla rotazione dell’alidada) si esegue una seconda lettura L” al cerchio orizzontale. Le L’ e L”, eseguite allo stesso punto P dopo aver capovolto il collimatore e ruotato l’alidada, si chiamano letture coniugate L’ L Durante la manovra precedente il cerchio verticale passa dal lato sinistro a quello destro, pertanto talvolta esse vengono indicate con LS e L D. e Se fosse e = 0, allora la differenza della letture coniugate L’ e L” sarebbe esattamente di 180°. O 4) Infine si calcola il valore della lettura corretta L che si sarebbe fatto se non ci fosse stata eccentricità del collimatore: L” L = L’ + e L = L” - - 180° sommando si ottiene: L’ + L” ± 180° L = 2 Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 10

ERRORI DI GRADUAZIONE DEL CERCHIO ORIZZONTALE Gli intervalli della graduazione (1 C) risentono delle inevitabili imprecisioni che all’atto della costruzione generano intervalli non perfettamente uguali. Negli strumenti moderni gli errori degli intervalli della graduazione non superano il valore di 0 C, 0002, trascurabile nel tacheometro, tacheometro ma intollerabile con la precisione del teodolite Se la graduazione fosse lineare (per es. come quella di un calibro), gli effetti di questo tipo di errori non sarebbero eliminabili, in quanto errori sistematici Su una graduazione circolare, invece, essi diventano accidentali, accidentali dunque eliminabili eseguendo ripetute misure dell’angolo in parti diverse della graduazione, graduazione e assumendo la media di queste misure. Affinché sia possibile ripetere la misura angolare in settori diversi del cerchio, è necessario che questo possa essere ruotato (direttamente o indirettamente) dall’operatore. Tale procedura è applicabile al cerchio orizzontale ma non al cerchio verticale (in quanto non accessibile all’operatore), nel quale, dunque, gli effetti degli errori di graduazione non sono eliminabili Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 11

MISURE ANGOLARI RIPETUTE La misura ripetuta dello stesso angolo (in settori diversi del cerchio orizzontale), può avvenire con due differenti tecniche connesse alla modalità con cui l’operatore può agire sul cerchio orizzontale. TECNICHE DI MUSURA RIPETUTA METODO DELLA REITERAZIONE il goniometro dispone di cerchio orizzontale reiteratore, dunque ruotabile direttamente dall’operatore ad alidada ferma. Ad ogni misura il cerchio verrà ruotato di una quantità indicativa di n/200 C, essendo n il numero di misure da eseguire. METODO DELLA RIPETIZIONE il goniometro dispone di cerchio orizzontale ripetitore, quindi non ruotabile direttamente dall’operatore, ma indirettamente attaccandolo e staccandolo all’alidada (dopo la sua rotazione). La tecnica è più rapida della precedente ma anche meno precisa. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 12

LA REITERAZIONE Rotazione da imprimere al cerchio ad ognuna delle n reiterazioni: 200 C/n B A L 1 A B A L 2 A L 3 A L 1 B L 2 B 1 = L 1 B - L 1 A B A 2 = L 2 B – L 2 A 1 + 2 + 3 + …. L 3 B 3 = L 3 B – L 3 A i = ----------- = -------n n Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 13

LA RIPETIZIONE B A L 1 A B A L 2 A = L 1 B L 3 A = L 2 B L 1 B L 2 B 1 = L 1 B - L 1 A 2 = L 2 B – L 1 B 1 + 2 + 3 + …. L 3 B 3 = L 3 B – L 2 B Ln. B – L 1 A + (k 360°) = -------------------------n n Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 14

LE CONDIZIONI DI VERIFICA E RETTIFICA (operative) Queste condizioni vengono anche dette condizioni operative, operative in quanto devono essere controllate a cura dell’operatore, sia nelle fasi di messa in stazione del teodolite (setup), setup sia nelle fasi di controllo che precedono la misura. Teoricamente gli assi principale, secondario e di collimazione si incontrano in un punto detto centro dello strumento (in realtà gli errori presenti non definiscono un punto geometrico ma una piccolissima areola di dimensioni trascurabili). Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 15

LE CONDIZIONI OPERATIVE 1) L'ASSE PRINCIPALE DEL TEODOLITE DEVE ESSERE VERTICALE sessione di lavoro, da parte dell’operatore, utilizzando la livella torica dell’alidada, dunque con una precisione di 20”-30” (sensibilità media di una livella da teodolite) 2) L'ASSE SECONDARIO DEL TEODOLITE (asse di rotazione del collimatore) DEVE ESSERE PERPENDICOLARE ALL’ASSE DI COLLIMAZIONE. Questa condizione deve essere controllata periodicamente (in generale in laboratori specializzati) in relazione alla frequenza e alle condizioni di impiego. 3) L'ASSE SECONDARIO DEL TEODOLITE DEVE ESSERE ORIZZONTALE. Anche questa condizione deve essere controllata periodicamente (in generale in laboratori specializzati) in relazione alla frequenza e alle condizioni di impiego. Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 16

VERTICALITÀ DELL’ASSE PRINCIPALE I teodoliti vengono costruiti rispettando la condizione meccanica di perpendicolarità tra l’asse generale e il piano del cerchio. Dunque, basta rendere orizzontale quest’ultimo per rendere verticale l’asse principale Questa operazione viene effettuata utilizzando la livella torica dell’alidada. 1) Ruotando l’alidada si dispone l’asse della livella parallela alle due viti calanti A e B, poi si centra la bolla (direttrice A-B orizzontale). orizzontale 2) Ruotando di nuovo l’alidada si dispone l’asse della livella sulla vite calante C, poi si centra la bolla (seconda direttrice orizzontale). orizzontale Il piano passante per A, B, C (e dunque anche il cerchio) è orizzontale, l’asse principale orizzontale verticale Copyright ©e 2009 Zanichelli editore S. p. A. , verticale. 17

CONTROLLO DEGLI ERRORI DI ORIZZONTALITÀ E PERPENDICOLARITÀ La verticalità dell’asse principale deve essere imposta dall’operatore ogni volta che usa il teodolite, durante le operazioni di setup (messa in stazione). L’orizzontalità dell’asse secondario e la perpendicolarità tra questo e l’asse di collimazione vengono imposte dal costruttore, ma devono essere controllate periodicamente a cura dell’operatore. Il controllo di solito è demandato a centri specializzati, tuttavia lo può fare anche lo stesso operatore in modo molto semplice con la tecnica del filo a piombo Assenza degli errori di orizzontalità e perpendicolarità Presenza dell’errore di orizzontalità Presenza dell’errore di perpendicolarità Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , Presenza dell’errore di perpendicolarità e di orizzontalità 18

ERRORI RESIDUI Non si deve pensare che dopo aver eseguito positivamente le verifiche (e le eventuali rettifiche) precedenti con la dovuta cura, il teodolite sia perfetto. In realtà queste verifiche vengono eseguite utilizzando dispositivi che, a loro volta, non sono perfetti, e basandosi sulle valutazioni visive, visive con tutti i loro limiti, dell’operatore. Ad esempio, la condizione di verticalità dell’asse principale è realizzata dall’utente ogni volta che viene usato il teodolite durante il setup Per realizzare questa condizione l’operatore fa ricorso alla livella torica dell’alidada che, in generale, ha una sensibilità di 20”. Questo valore rappresenta l’incertezza sulla verticalità dell’asse principale. Né è pensabile usare livelle più precise (minore sensibilità), perché la loro instabilità è incompatibile con l’operatività del teodolite. Dunque, anche dopo aver effettuato con cura le verifiche, sul teodolite persistono errori, naturalmente con valori di piccola entità, entità relativi alle condizioni operative, denominati errori residui Gli errori residui, residui in diversa misura e con diverse modalità, ma sempre dipendenti dall’inclinazione del collimatore (angolo zenitale ), causano a loro volta errori nelle letture al cerchio orizzontale (nel caso di errore di verticalità, anche a quello verticale). Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 19

INFLUENZA DEGLI ERRORI RESIDUI SULLE LETTURE AL C. O. - Errore residuo di verticalità: indicando con v lo sbandamento dell’asse principale dalla verticale e con l’angolo zenitale, l’errore sulla lettura al cerchio orizzontale è: v = v cotg L’errore v non è eliminabile con nessuna procedura operativa. Tuttavia, poiché dipende dalla cotg , esso è trascurabile quando la linea di mira è prossima alla orizzontalità ( = 90°). - Errore residuo di orizzontalità: indicando con i lo sbandamento dell’asse secondario dalla orizzontale e con l’angolo zenitale, l’errore sulla lettura al cerchio orizzontale è: i = i cotg L’errore i è eliminabile con una particolare procedura operativa denominata regola di Bessel (vedi G 3). - Errore residuo di perpendicolarità: indicando con c lo scostamento rispetto a 90° tra asse di mira e asse secondario e con l’angolo zenitale, l’errore sulla lettura al cerchio orizzontale è: c = c / sen L’errore c è eliminabile con una particolare procedura operativa denominata regola di Bessel (vedi G 3). Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A. , 20