MODULE 10 STATISTIEK As inligting oor n spesifieke

MODULE 10 STATISTIEK

As inligting oor 'n spesifieke onderwerp versamel word, word die inligting wat versamel word, data genoem. Baie probleme in die regte wêreld kan ondersoek word deur data te versamel en die data grafies voor te stel in die vorm van staafgrafieke, sirkelgrafieke, breuklyngrafieke, histogramme en frekwensie-veelhoeke.

Datahantering behels die volgende: Versamel data Sorteer die data Stel die data grafies voor Vertolking van resultate Maak gevolgtrekkings

VERTEENWOORDIGING VAN ONGEGROEPEERDE DATA Staafgrafiek ’n Staafgrafiek is 'n diagram wat bestaan uit horisontale of vertikale stawe.

Voorbeeld van vertikale staafgrafiek ‘n Restauranteienaar het veertig kliënte gevra om die restaurant se diens te beoordeel op 'n skaal van 1 tot 10. In die onderstaande tabel is die punt wat deur elke klant toegeken is, aangeteken. Stel die data voor met behulp van 'n staafgrafiek.

6 7 8 7 3 4 10 5 9 4 3 7 6 5 6 4 8 2 5 1 10 4 7 6 8 4 5 2 5 4 4 3 4 5 4 3 7 4 2 1

Punte (10) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Telling Frekwensie ( f ) Totaal: 40

Punte Frekwensie

Voorbeeld van saamgestelde staafgrafieke Hierdie staafgrafieke word gebruik wanneer verskillende stelle inligting oor gekoppelde onderwerpe gegee word. In sy begrotingsrede het Trevor Manuel byvoorbeeld geld vir onderwys, behuising en gesondheid aan die verskillende provinsies toegewys. Die saamgestelde staafgrafiek hieronder verteenwoordig die toewysing van hierdie drie kategorieë aan vier verskillende provinsies

Sirkel diagramme is sirkelvormig. Die persentasies per sektor kan as grade voorgestel word. Die volgende voorbeeld illustreer hoe om data op 'n sirkelgrafiek voor te stel

Voorbeeld ‘n Onlangse opname is deur die verkeersdepartement gedoen om vas te stel hoeveel mense in vier provinsies gedurende die Paas-skoolvakansie in motorongelukke betrokke was. Die resultate was soos volg :

Gauteng (G) Kwazulu-Natal (K) Eastern Cape (E) Western Cape (W) Aantal mense Teken ‘n sirkel diagram 4000 7000 5500 3500 20 000

In die voorbeeld: Belangrik:

Knaklyngrafieke verteenwoordig inligting wat op verskillende punte versamel is. Dit bevat nie inligting oor situasies tussen hierdie punte nie.

Voorbeeld Om 14 h 00 elke dag, van Maandag tot die daaropvolgende Woensdag, het 'n weerkantoor die daaglikse temperatuur in 'n sekere stad gemonitor. Die temperature word dan op die volgende knaklyngrafiek voorgestel

VOORSTELLING VAN GEGROEPEERDE DATA Dit gebeur dikwels dat die data waarmee u besig is te groot is, en dit dus nodig is om die gegewens in die klasintervalle te groepeer. Die inligting kan deur middel van stam- en blaardiagramme, histogramme en frekwensieveelhoeke voorgestel word

VOORBEELD 'n Farmaseutiese maatskappy, VITAMANIA, het 'n opname gedoen om vas te stel watter ouderdomsgroep gereeld multi-vitamiene inneem. Die navorsing is in Johannesburg gedoen met behulp van 'n steekproef van verskillende mense. Die advertering van 'n nuwe multi-vitamien produk sal dan gerig wees op mense in die ouderdomsgroep wat die meeste vitamiene gebruik. Die ouderdomme van mense wat ondervra is, word hieronder aangeteken

Nota: ‘n 37 jaar oue kliënt word in die stam- en blaardiagram voorgestel as 3 op die links (stam) en 7 regs (blaar):

Die informasie is verteenwoordig in ‘n blaar-en-stingel-diagram

In die 'n frekwensietabel maak gebruik van klasintervalle om ouderdom te groepeer Klasinterval (ouderdom) Frekwensie (aantal mense in die ouderdomsgroep)

Volgende stap is teken van die histogram.

Die volgende stap is om 'n frekwensie-veelhoek op die histogram te teken. 'n Frekwensie veelhoek is soortgelyk aan 'n lyngrafiek. Die verskil hier is dat by die frekwensie-veelhoek die klas se middelpunte van elke histogram verbind word. Bepaal ook die middelpunte van die klasinterval en Sluit by al die punte aan om 'n veelhoek te vorm.

Teken die frekwensieveelhoeke in.

MAATSTAWWE VIR SENTRALE NEIGINGS (ONGEGROEPEERDE GEVALLE) Een stel data kan vergelyk word met 'n ander stel data deur middel van sentrale neigings: gemiddelde, mediaan en modus

Die gemiddelde Hierdie maatstaf van sentrale neiging is die mees gebruikte van al drie. Onderwysers bereken die klasgemiddeld vir 'n toets en dit word die gemiddelde genoem. U kry die gemiddelde deur alle tellings op te tel en dan deur die totale aantal tellings te deel

Die gemiddelde kan verdraai word, as u 'n klein klas het en een of twee leerders vaar sleg in die toets. Die gemiddelde sal laer wees as u 'n groter klas het. Dit werk ook anders om as een of meer leerders baie goed doen. Die gemiddelde is geneig om te hoog te wees in vergelyking met 'n groter klas.

VOORBEELD 1 Beskou die volgende uitslae van twee klasse wat dieselfde toets uit tien punte geskryf het. Klas A bestaan uit 16 kinders en het drie leerders wat 1 uit 10 kry. Klas B bestaan uit 9 leerders met drie kinders wat 1 uit 10 kry. Vergelyk die gemiddeldes vir elke klas deur die gemiddelde vir elke klas te bereken.

Klas A 1 Klas B 1 1 1 2 2 4 4 5 5 5 7 Gemiddeld van klas A Gemiddeld van klas B 5 5 7 9 10 7 8 8 8 9 10

Dit is duidelik dat die gemiddelde vir Klas A beter is. Die drie laagste punte in die kleiner klas B het daartoe gelei dat die gemiddelde laer was en dus die gemiddelde verdraai het. Dit is duidelik dat die gemiddelde nie die beste metode is om die resultate van bogenoemde klasse te vergelyk nie.

VOORBEELD 2 (Bereken die gemiddelde uit 'n frekwensietabel) Beskou die voorbeeld van die onderwyser wat die toetspunte van veertig graad 10 -leerders aangeteken het. Die data is in 'n frekwensietabel voorgestel.

Om die gemiddelde te bereken, vermenigvuldig eers elke punt met die frekwensie daarvan (vierde kolom). Tel dan al die inskrywings in die vierde kolom bymekaar. Deel nou die som van alle punte (totaal in vierde kolom) deur die totale aantal punte (derde kolom).

Punte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Telling Frek ( f ) 2 3 4 10 6 4 5 3 1 2 Totaal: 40 Punte f 2 6 12 40 30 24 35 24 9 20 Totaal: 202

Gemid

Die modus is die waarneming wat die meeste voorkom. VOORBEELD 1 Klas A 1 Klass B 1 1 1 2 2 4 4 5 5 5 7 9 10 Vir Klas A, is die modus 5. Vir Klas B, is die modus 1. 7 8 8 8 9 10

Kyk na die voorbeeld van Klas C: Klas C 0 1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 5 6 Daar is twee modusse in hierdie stel data: 2 en 4 (dit verskyn dieselfde aantal kere en is die merke wat die meeste voorkom). 7 9 10

DIE MEDIAAN Die mediaan is die middelste punt (vir 'n onewe aantal tellings) en die gemiddelde van die twee middelste tellings (vir 'n ewe aantal tellings). Die tellings moet eers in toenemende volgorde gerangskik word voordat die mediaan bereken kan word. Die mediaan word nie deur buitengewone hoë of lae waardes beïnvloed nie en is dus 'n goeie maatstaf van sentrale neiging

Voorbeeld 1 Beskou die volgende stel punte van 3 klasse wat ‘n klastoets (uit 10) geskryf het. Klas A 1 Klas B 1 Klas C 1 2 2 4 4 3 4 4 4 5 6 7 5 7 7 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10

Vir Klas A: Daar is 'n onewe aantal punte (15). Die ingekleurde blok met 5 stel die mediaan voor. Hierdie nommer 5 lê in die middel. Daar is 7 punte aan die linkerkant en 7 punte aan die regterkant. Klas A 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 Die median van Klas A is dus 5. 8 8 9 10

Vir Klas B: Daar is 'n ewe aantal punte (16). Dus kan 6 en 7 nie die mediaan verteenwoordig nie, aangesien nie een van hierdie getalle die middelstegetal is nie. Alhoewel, die gemiddeld van 6 en 7, verteenwoordig die mediaan. 1 2 4 4 5 6 6, 5 7 Die median van Klas B is 7 8 8 9 9 9 10

Vir klas C: Daar is 'n ewe aantal punte (16). Die gemiddelde van 7 en 7 gee die mediaan vir Klas C, en hierdie getal is 'n ingevoegde getal tussen 7 1 2 4 4 6 7 7 Die median vir klas C is 7 7 8 8 9 9 9 10

Voorbeeld 2 (Bereken die mediaan vanuit ‘n frekwensietabel)

Punte (10) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Telling Frekwensie(f) 2 3 4 10 6 4 5 3 1 2 Totaal: 40

Daar is 40 tellings in die tabel. Daarom sal die mediaan in die 5 de ry gevind word, omdat die twee middelste tellings daar sal verskyn 11222333344444555555 6 6 7 7 7 8 8 8 9 10 10 Die mediaan is

MAATREËLS VIR SENTRAALTE NEIGINGS (GEGROEPEERDE DATA) VOORBEELD Oorweeg die vorige opname wat deur die onderneming VITAMANIA gedoen is

Klas Interval (ouderdomsgroep) Frekwensie(aantal mense per groep) 0 5 8 10 13 18 6 5 1 0

Om die gemiddelde van hierdie gegroepeerde data te bereken: Om al die ouderdomme (66 mense) bymekaar te tel, sou 'n vervelige en tydrowende proses wees. Ons bereken dus eerder wat die geskatte gemiddelde genoem word

Klas Interval Totaal Frek Middelpunt 0 5 8 10 13 18 6 5 1 0 - - Frek Midpt

Gemiddeld

Om die modale klas van hierdie gegroepeerde data te bereken: Die modale klas vir hierdie gegewens is duidelik die groep (sien vorige histogram van hierdie data). Die modale klas is die klas met die hoogste frekwensie. Die geskatte modus word beskou as die middelpunt van die modale klasinterval

Om die mediaan van hierdie gegroepeerde data te bereken: Moet jy na die stam- en bladdiagram verwys om die werklike mediaan ouderdom te bereik. In hierdie geval is die mediaan want daar is 'n gelyke aantal ouderdomme links en regs van 46, 5. Die geskatte mediaan is die middelpunt van die klasinterval, dit wil sê 44, 5.

MAATREËLS VIR VERSPREIDING Metings van verspreiding help ons om te bepaal hoe data rondom die gemiddelde of mediaan versprei word. Dit stel 'n mens in staat om vas te stel of die data nou saamgegroepeer of wyer versprei is. Die verspreidingsmaatreëls wat in hierdie module behandel word, is

• • Variasiewydte (omvang) Kwartiele Interkwartiele reeks Semi-interkwartiele reeks

Omvang (Variasiewydte ) Die omvang is die verskil tussen die grootste en kleinste waarde in die data. Hoe groter die omvang, hoe meer versprei is die data. Die reeks kan nie saam met gegroepeerde data gebruik word nie en dit handel nie oor waardes tussen hierdie uiterstes nie. Ook 'n enkele klein of baie groot waarde sou 'n misleidende indruk van die verspreiding van die data gee

Beskou die volgende voorbeeld, ‘n stel punte van klas A: 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 8 9 10 Omvang = hoogste punt – laagste punt

Kwartiele is 'n mate van verspreiding rondom die mediaan, wat 'n goeie maatstaf van die sentrale neiging is. Die mediaan verdeel die data in twee helftes. Die onderste en boonste kwartiele verdeel die data verder in kwarte

Daar is drie kwartiele: Die Onderste kwartiel ( ): Dit is die median van die onderste helfte van die waardes. Die Mediaan ( ): Die waarde wat die data in die middel deel. Die Boonste kwartiel ( ): Dit is die median van die boonste helfte van die waardes.

As daar 'n onewe aantal datawaardes in die datastel is, dan is die mediaan 'n waarde in die datastel. As daar 'n ewe aantal datawaardes in die datastel is, sal die mediaan nie 'n waarde in die datastel wees nie. ‘n Nommer wat as mediaan sal dien, moet in die datastel ingevoeg word (die gemiddelde van die twee middelgetalle).

Voorbeeld 1 (a) Oorweeg die volgende stel punte behaal uit 'n klastoets uit tien punte. Die aantal toetse is onewe (11 punte). 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 Aangesien daar 'n onewe aantal datawaardes is, sal die mediaan 'n nommer in die datastel wees. 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10

Die onderste kwartiel is die mediaan van die onderste helfte van die datastel. Die onderste helfte bevat 'n onewe aantal datawaardes. 3 3 4 5 6 Die boonste kwartiel is die mediaan van die boonste helfte van die datastel. Die boonste helfte bevat 'n ongelyke aantal datawaardes. 7 8 8 9 10

Gevolgtrekking: 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10

(b) Oorweeg die volgende stel punte behaal uit 'n klastoets uit tien punte. Die aantal toetse is onewe (13 punte) 1 3 4 5 5 5 6 7 7 8 8 9 10 Aangesien daar 'n onewe aantal datawaardes is, sal die mediaan 'n nommer in die datastel wees. 1 3 4 5 5 5 6 7 7 8 8 9 10

Die onderste kwartiel is die mediaan van die onderste helfte van die datastel. Die onderste helfte bevat 'n ewe aantal datawaardes. Daarom moet ons die gemiddelde van die twee middelgetalle, 4 en 5 vind en dit dan in die datastel plaas 1 3 4 4, 5 5

Die boonste kwartiel is die mediaan van die boonste helfte van die datastel. Die boonste helfte bevat 'n ewe aantal datawaardes. Daarom moet ons die gemiddeld van die twee middelgetalle, 8 en 8 vind en dit dan in die datastel invoeg: 7 7 8 8 8 9 10

Gevolgtrekking: 1 3 4 4, 5 5 6 7 7 8 8 8 9 10

Voorbeeld 2 (a) Oorweeg die volgende stel punte van 12 leerders, behaal deur 'n klas tydens 'n klastoets van 100 punte. Die aantal punte is eweredig. 18 32 43 54 55 61 73 78 89 90 91 99 Aangesien daar 'n ewe aantal datawaardes is, sal die mediaan nie 'n datawaarde in die datastel wees nie.

18 32 43 54 55 61 73 78 89 90 91 99 Ons sal die gemiddelde van die twee middelgetalle, 61 en 73, moet vind voeg dan hierdie nommer in die datastel in: 18 32 43 54 55 61 67 73 78 89 90 91 99

Die onderste kwartiel is die mediaan van die onderste helfte van die datastel. Die onderste helfte bevat 'n ewe aantal datawaardes. Daarom moet ons die gemiddeld van die twee middelgetalle 43 en 54 vind en dit dan in die datastel invoeg: 18 32 43 48, 5 54 55 61

Die boonste kwartiel is die mediaan van die boonste helfte van die datastel. Die boonste helfte bevat 'n ewe aantal datawaardes. Daarom moet ons die gemiddeld van die twee middelgetalle 89 en 90 vind en dit dan in die datastel invoeg: 73 78 89 89, 5 90 91 99

Gevolgtrekking: 18 32 43 48, 5 54 55 61 67 73 78 89 89, 5 90 91 99

Voorbeeld (b) Oorweeg die volgende stel van 10 punte behaal deur 'n klas tydens 'n klastoets van 150 punte. Die aantal punte is eweredig. 11 60 95 105 120 125 130 135 140 144 Aangesien daar 'n ewe aantal datawaardes is, sal die mediaan nie 'n datawaarde in die datastel wees nie

Ons sal die gemiddeld van die twee middelgetalle, 120 en 125 moet vind, voeg dan hierdie nommer in die datastel in: 11 60 95 105 120 122, 5 125 130 135 140 144

Die onderste kwartiel is die mediaan van die onderste helfte van die datastel. Die onderste helfte bevat 'n onewe aantal datawaardes. 11 60 95 105 120

Die boonste kwartiel is die mediaan van die boonste helfte van die datastel. Die boonste helfte bevat 'n ongelyke aantal datawaardes. 125 130 135 140 144

Gevolgtrekking: 11 60 95 105 120 122, 5 125 130 135 140 144

DIE INTERKWARTIELE REEKS (IKR) Die verskil tussen die onderste en boonste kwartiel word die interkwartielgebied genoem. Dit is 'n beter mate van verspreiding as die omvang, omdat dit nie deur uiterste waardes beïnvloed word nie. Dit is gebaseer op die middelste helfte van die data. Dit dui aan hoe dig die data in die middel rondom die mediaan versprei is.

Die IKR van die vorige voorbeeld (a) is Die IKR van die vorige voorbeeld 2(a) is

DIE SEMI-INTERKWARTIELE REEKS Die semi-interkwartiel reeks is die helfte van die interkwartiel reeks. Die semi IKR van die vorige voorbeeld 1(a) is Die IKR van die vorige voorbeeld 2(a) is

VYFGETALOPSOMMING EN HOUER-EN-PUNTSTIPPINGS Vyf getal-opsommings en houer- en puntstippings-diagramme help ons om die verspreiding van data oor die mediaan voor te stel en te ontleed.

Vyfgetalopsomming Die vyfgetalopsomming gebruik die volgende waardes om data te beskryf. • Minimum: Die kleinste data waarde • Onderste Kwartiel: Die median van die onderste helfte van die waardes • Mediaan: Die waarde wat die data in die helfte deel • Boonste Kwartiel: Die median van die boonste helfte van die waarde • Maksimum: Die grootste waarde van die data

Houer-en-puntdiagram is ‘n grafiese voorstelling van die vyfpuntopsomming Onderste kwartiel Minimum Mediaan Boonste kwartiel Maksimum

Nota: • Die helfte van die waardes lê tussen die minimum waarde en die mediaan. • Die helfte van die waardes lê tussen die mediaan en die maksimum waarde. • 'n Kwart van die waardes lê tussen die minimum waarde en die onderste kwartiel.

• 'n Kwart van die waardes lê tussen die onderste kwartiel en die mediaan. • 'n Kwart van die waardes lê tussen die mediaan en die boonste kwartiel. • 'n Kwart van die waardes lê tussen die boonste kwartiel en die maksimum waarde. • Die helfte van die waardes lê tussen die onderste kwartiel en boonste kwartiel.

VOORBEELD 1 Oorweeg die volgende stel punte vir 'n klastoets (uit 10) vir drie klasse elk met 17 leerders. A B C 1 1 1 2 3 3 2 4 3 3 4 4 4 5 5 4 7 5 4 8 5 6 8 6 7 8 6 8 8 7 8 9 7 9 10 10 10 9 9 10 10 7 8 9 10 Teken ‘n vyfgetalopsomming vir elke klas hierbo en van daar teken ‘n houer-en-punt diagram. Sorg altyd dat die waardes van die kleinste tot die grootste gerangskik is.

Klas A 1 2 2, 5 3 3 4 4 4 6 7 Vyfgetalopsomming Minimum: 1 Onderste kwartiel ( ): 2, 5 Mediaan ( ): 4 Boonste kwartiel ( ): 8, 5 Maksimum: 10 8 8 8, 5 9 10 10 10

Min Max

Klas B 1 3 4 4 4 5 7 8 Vyfgetalopsomming Minimum: Onderste kwartiel( ): Mediaan ( ): Boonste kwartiel( ): Maksimum: 8 8 1 4 8 9 10 8 9 9 10 10

Min Max

Klas C 1 3 3 3 4 5 5 5 Vyfgetalopsomming Minimum: Onderste kwartiel( ): Mediaan ( ): Boonste kwartiel( ): Maksimum: 6 6 1 3 5 7 10 7 7 8 9 10

Min Max

VERSPREINDING VAN DATA Normale verspreiding van data MEDIAAN=GEMIDDELD=MODUS

As die data aan die linkerkant van die mediaan in balans is met die data aan die regterkant, dan is die gemiddelde, mediaan en modus dieselfde. Na bewering word die data normaalweg versprei. MEDIAAN=GEMIDDELD=MODUS

MEDIAAN GEMIDDELD MODUS

Verspreinding van data Situasie 1 Mediaan Gemiddeld

As daar meestal 'n massa datawaardes aan die linkerkant van die verspreiding is, met minder hoër waardes aan die regterkant, word gesê dat die data positief skeef of na regs geskuif is. Die modus sal nader aan die linkerkant van die verspreiding wees. Die mediaan is links. In hierdie geval:

Verspreinding van data Situasie 2 Gemiddeld Mediaan

As daar hoofsaaklik 'n massa datawaardes aan die regterkant van die verspreiding is, met minder laer waardes aan die linkerkant, word gesê dat die data negatief skeef of na links skeef is. Die modus sal nader aan die regterkant van die verspreiding wees. Die mediaan is regs. In hierdie geval: