MODUL IV ESTIMASIPENDUGAAN 3 A ESTIMASI RAGAM Estimasi

MODUL IV ESTIMASI/PENDUGAAN (3) A. ESTIMASI RAGAM Estimasi ragam digunakan untuk menduga ragam σ2 dari suatu populasi normal berdasarkan ragam s 2 contoh acak berukuran n. Ragam contoh ini akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi σ2. Dengan demikian statistik S 2 disebut penduga bagi σ2. Selang kepercayaan bagi σ2 dapat diperoleh dengan menggunakan statistik : 2 = (n � 1)s 2 2 Yang disebut Khi Kuadrat, yang sebaran penarikan contohnya dikenal sebagai sebaran Khi-Kuadrat , dengan v = n – 1 derajat bebas. Seperti sebelumnya v sama dengan pembagi dalam rumus s 2. Nilai statistik khi-kuadrat dihitung dari suatu contoh acak berdasarkan rumus di atas. Ciri – ciri Khi Kuadrat adalah 1. Nilai Khi Kuadrat tidak pernah negatif 2. Kurva khi kuadrat tidak setangkup terhadap 2 = 0 3. Semakin besar derajat bebasnya maka nilai data akan semakin menyebar Dari rumus di atas jelaslah bahwa 2 tidak pernah negatif, sehingga kurva sebaran khi-kuadrat ini tidak mungkin setangkup terhadap 2 = 0. Persamaan matematik kurva ini agak rumit, tetapi untunglah kita dapat tidak mencantumkannya di sini. Dengan mudah kita dapat memperoleh sebaran penarikan contoh bagi 2 dengan mengambil secara berulang-ulang contoh acak berukuran n dari suatu populasi normal dan kemudian menghitung nilai 2 untuk setiap contoh tersebut. Dengan http: //www. mercubuana. ac. id

46. 0. Buat selang kepercayaan 95% bagi ragam volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut bila diasumsikan volume kaleng tersebut menyebar normal. Jawab. n n 2 S= 2 � n � xi 2 � �� xi �� � i 1 � = n(n � 1) � i 1 � (10)(2. 72) � (1. 2) 2 = 0. 286 (10)(9) Untuk mendapatkan selang kepercayaan 95%, maka kita mengambil α = 0. 05. Selanjutnya dengan menggunakan Tabel A. 6 dengan v = 9 derajat bebas, kita memperoleh 02. 025 = 19. 023 dan 02. 975 = 2. 700. Dengan mensubsitusikannya ke dalam rumus (n � 1)S 2 2 2 (n � 1)S 2 < σ2 < 2 1� 2 (9)(0. 286) < σ2 < 19. 023 (9)(0. 286) 2. 700 0. 135 < σ2 < 0. 953 B. ESTIMASI RASIO DUA RAGAM Apabila terdapat dua populasi yang berbeda, maka dalam populasi tersebut terdapat 2 ragam yang berbeda pula. Nilai dugaan titik bagi rasio dua Ragam populasi 12 / 22 diberikan oleh rasio ragam contohnya masing – masing s 12 / s 22. Jadi statistik s 12 / s 22 merupakan penduga bagi 12 / 22. Bagi 12 dan 22 keduanya merupakan ragam populasi normal, maka kita dapat membuat Selang kepercayaan bagi 12 / 22 dengan menggunakan statistik F= 22 s 12 s 22 Yang sebaran penarikan contohnya disebut sebaran/distribusi F. Secara teoritik kita dapat mendefinisikan statistik F sebagai rasio dua peubah khi-kuadrat bebas, yang http: //www. mercubuana. ac. id

Jadi nilai f dengan 6 dan 10 derajat bebas yang disebelah kanannyaterdapat daerah seluas 0. 95 adalah f 0. 95 (6, 10) 1 f 0. 05 (10, 6) 1 0. 246 4. 06 Untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi P [ ƒ 1 -α/2 (v 1, v 2) < F < 2 1 / 2 2 ƒ α/2 (v 1, v 2) ] = 1 - α Sedangkan dalam hal ini [ ƒ 1 -α/2 (v 1, v 2) dan ƒ α/2 (v 1, v 2) ] adalah nilai-nilai sebaran F dengan v 1 dan v 2 derajat bebas yang masing-masing di sebelah kanannya terdapat daerah seluas 1 – α/2 dan α/2. Dengan mensubsitusikan F kita memperoleh P [ ƒ 1 -α/2 (v 1, v 2) < 22 s 12 < 12 s 22 ƒ α/2 (v 1, v 2) ] = 1 - α Dengan menggandakan setiap suku dalam ketaksamaan tersebut dengan S 22 / S 21 dan kemudian membalikkan suku-sukunya, kita memperoleh Selang kepercayaan bagi 12 / 22. adalah s 12 s 22 2 s 2 1 12 f 2 (v 2, v 1 ) f 2 (v 1, v 2 ) 2 s 2 Dengan v 1 = n 1 – 1 dan v 2 = n 2 -1 Contoh Suatu tes penempatan untuk matematika diberikan pada 25 siswa laki – laki dan 16 siswa perempuan. Siswa laki – laki mencapai nilai rata – rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan siswa perempuan mencapai nilai rata – rata 78 dengan simpangan baku 7. Buat selang kepercayaan 98% bagi 12 / 22 dan 1 2 , bila 12 dan 22 masing – masing adalah ragam populasi semua nilai siswa laki – laki dan perempuan yang mungkin mengambil tes tersebut. Asumsikan bahwa populasinya menyebar normal. Jawab. Diketahui : n 1 = 25 n 2 = 16 http: //www. mercubuana. ac. id