MODUL I FORMULASI LINEAR PROGRAMMING INTRODUCTION TO LINEAR

MODUL I

FORMULASI LINEAR PROGRAMMING

INTRODUCTION TO LINEAR PROGRAMMING Perharikan skenario berikut: Perusahaan furnitur CALS Furniture memproduksi dan menjual produk-produk berikut. Kursi: dijual $150 Meja: dijual $250 Programa Linier/ OR I/ Reni A Sofa: Dijual $400 3

Kebutuhan komponen masing-masing produk : Kursi : 6 4 2 2 Meja : 4 0 2 0 Sofa : 12 4 8 14 Programa Linier/ OR I/ Reni A 4

Constraint (Kendala) dalam Linear Programming • Limitations (keterbatasan): Perusahaan hanya memiliki komponen yang tersedia sbg berikut: 725 650 500 1000 • Tujuan perusahaan furnitur CALS yaitu : Menentukan jumlah kursi, meja dan sofa untuk memaksimalkan nilai penjualan total dari produk-produk yang dibuat tersebut. Programa Linier/ OR I/ Reni A 5

Solusi untuk Perusahaan furnitur CALS • Kita dapat mencoba secara manual menentukan kombinasi-kombinasi komponen dari produk dan menentukan nilai penjualan totalnya. Meski demikian bagaimana kita tahu kombinasi mana yang terbaik? • Maka kita dapat menggunakan Linear Programming untuk memecahkan permasalahan ini. Linear programming dapat memberikan solusi terbaik. Programa Linier/ OR I/ Reni A 6

PENGANTAR • Pemrograman (programming) secara umum berkaitan dengan penggunaan atau pengalokasian sumberdaya yang langka – tenaga kerja, bahan, mesin dan modal – dalam cara yang “terbaik” sehingga diperoleh biaya yang minimum atau profit yang maksimum. Programa Linier/ OR I/ Reni A 7

PENGANTAR • Istilah “terbaik” mengimplikasikan bahwa terdapat satu himpunan alternatif tindakan yang tersedia bagi pengambilan keputusan. • Secara umum, keputusan terbaik diperoleh dengan memecahkan suatu masalah matematis. Programa Linier/ OR I/ Reni A 8

• Pemrograman linier (linear programming, LP) adalah satu dari masalah pemrograman matematis yang memenuhi persyaratan sebagai berikut: ØKriteria untuk memilih nilai “terbaik” dari variabel keputusan dinyatakan sebagai suatu fungsi linier ØAturan operasi yang mengarahkan proses (dalam hal ini, sumberdaya yang langka) dinyatakan sebagai satu himpunan persamaan atau pertidaksamaan linier. Programa Linier/ OR I/ Reni A 9

• Memakai suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang dihadapi • Kata sifat ‘linier’ berarti semua fungsi matematis dalam model ini harus merupakan fungsi-fungsi linier Programa Linier/ OR I/ Reni A 10

• Kata ‘pemograman’ merupakan sinonim untuk kata ‘perencanaan’ yaitu membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal, yaitu hasil yang dengan cara yang paling baik di antara semua alternatif yang mungkin. Programa Linier/ OR I/ Reni A 11

Model Pemograman Linier • Pengembangan model matematis dapat dimulai dengan menjawab pertanyaan : – Apa yang akan ditentukan oleh model (Apa variabel dari masalah yang dimodelkan)? – Apa batasan yang harus dikenakan atas variabel? – Apa tujuan (sasaran) yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan optimum (terbaik) dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut ? Programa Linier/ OR I/ Reni A 12

Langkah Membangun Model PL 1. Mengidentifikasikan variabel yang tak diketahui yang akan ditentukan nilainya (decision variable) – menyatakannya dengan simbol-simbol matematis. 2. Mengidentifikasi semua pembatas (constraint) – menyatakannya dengan persamaan atau pertidaksamaan linier sebagai fungsi dari variabel keputusan. Programa Linier/ OR I/ Reni A 13

3. Mengidentifikasi tujuan atau kriteria dan menyatakannya sebagai suatu fungsi linier dari variabel keputusan yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan (fungsi tujuan) Programa Linier/ OR I/ Reni A 14

Notasi Standar Pemakaian Sumber Daya per unit kegiatan Jumlah Sumber Kegiatan Daya yang tersedia daya 1 2 …. n 1 2. . m Z /unit keg Tingkat keg. a 11 a 21. . am 1 c 1 x 1 a 12 a 22. . am 2 c 2 x 2 . …. …. . . … …. …. Programa Linier/ OR I/ Reni A a 1 n a 2 n. . amn cn xn b 1 b 2. . bm 15

Bentuk Baku Model Fungsi Tujuan Kendala Fungsional Kendala Non negatif Programa Linier/ OR I/ Reni A 16

Notasi standar dari pemrograman linear : – Untuk kegitan j (j= 1, 2, …, n) – cj merupakan kenaikan dalam Z sebagai akibat dari setiap unit kenaikan dalam xj (tingkat kegiatan j) – Untuk sumber daya i (i = 1, 2, …, m) – bi merupakan jumlah yang tersedia untuk alokasi kegiatan-kegiatan – aij merupakan jumlah sumber daya i yang dikonsumsi oleh setiap unit kegiatan j (untuk i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …n) Programa Linier/ OR I/ Reni A 17

Istilah-istilah umum • Fungsi yang memaksimumkan disebut sebagai fungsi tujuan • Pembatas-pembatas atau konstrain • Sebanyak m buah konstrain pertama sering disebut sebagai konstrain fungsional atau pembatas teknologis • Pembatas xj > 0 disebut sebagai konstrain nonnegatif • Variabel xj adalah variabel keputusan • Konstanta-konstanta aij, bi, dan cj adalah parameter-parameter model. Programa Linier/ OR I/ Reni A 18

Bentuk model PL lain • Fungsi tujuan bukan memaksimumkan, melainkan meminimumkan • Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai ketidaksamaan dalam bentuk lebih besar atau sama dengan • Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai bentuk persamaan • Menghilangkan konstrain nonnegatif untuk beberapa variabel keputusan Programa Linier/ OR I/ Reni A 19

Asumsi-Asumsi • Kesebandingan (proportionality) a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan b. Konstribusi suatu variable keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu • Penambahan (additivity) a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak tergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. Programa Linier/ OR I/ Reni A 20

Asumsi-Asumsi • Pembagian (divisibility) Variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan • Kepastian (certainty) Setiap parameter(koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi) diasumsikan dapat diketahui secara pasti Programa Linier/ OR I/ Reni A 21

Karakteristik Persoalan PL • Variabel Keputusan : Variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat • Fungsi Tujuan : Fungsi dari var. keputusan yang akan dimaksimumkan(pendapatan/keuntu ngan) atau diminimumkan (pengeluaran/ongkos) Programa Linier/ OR I/ Reni A 22

Karakteristik Persoalan PL • Pembatas : Kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang • Pembatas tanda : Pembatas yang menunjukkan apakah var. keputusannya diasumsikan hanya berharga non negatif atau var keputusan tersebut boleh positif atau negatif Programa Linier/ OR I/ Reni A 23

Contoh • PT. SAR merupakan perusahaan kecil pembuat cat yang memproduksi dua jenis cat, interior dan eksterior. – Terdapat dua jenis bahan yang digunakan, yaitu bahan A dan B. – Ketersediaan bahan maksimum per hari adalah 6 ton untuk A dan 8 ton untuk B. – Kebutuhan bahan mentah per ton produk cat untuk kedua jenis cat, interior dan eksterior, adalah sebagai berikut: Programa Linier/ OR I/ Reni A 24

Kebutuhan bahan mentah untuk per ton cat (ton) Ketersediaan maksimum per hari (ton) Eksterior Interior Bahan Mentah A 1 2 6 Bahan Mentah B 2 1 8 Programa Linier/ OR I/ Reni A 25

• Penelitian pasar menunjukkan bahwa – Jumlah permintaan cat interior dikurangi dengan jumlahpermintaan cat eksterior tidak lebih dari satu ton. – Permintaan maksimum cat interior adalah 2 ton per hari. – Harga jual produk cat adalah $3 untuk cat eksterior dan $2 untuk cat interior. • Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus diproduksi per hari agar diperoleh pendapatan yang maksimum? Programa Linier/ OR I/ Reni A 26

• Variabel keputusan: – x 1 = jumlah cat eksterior yang diproduksi per hari – x 2 = jumlah cat interior yang diproduksi per hari Programa Linier/ OR I/ Reni A 27

Pembatas: 1) Ketersediaan bahan Bahan A : x 1 + 2 x 2 ≤ 6 Bahan B : 2 x 1 + x 2 ≤ 8 2) Permintaan Selisih permintaan: x 2 – x 1 ≤ 1 Permintaan cat interior : x 2 ≤ 2 3) Pembatas tak negatif x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0 Programa Linier/ OR I/ Reni A 28

• Fungsi Tujuan: Memaksimumkan Pendapatan Total Z = 3 x 1 + 2 x 2 Programa Linier/ OR I/ Reni A 29

Memaksimumkan Z = 3 x 1 + 2 x 2 dengan pembatas-pembatas: x 1 + 2 x 2 ≤ 6 2 x 1 + x 2 ≤ 8 – x 1 + x 2 ≤ 1 x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 Programa Linier/ OR I/ Reni A 30