Modul 7 LIMIT Tujuan Instruksional Khusus Diharapkan mahasiswa

Modul 7 LIMIT Tujuan Instruksional Khusus: Diharapkan mahasiswa akan lebih mudah dalam mendalami teori diferensiasi dan integrasi yang berhubungan dengan perubahan sangat kecil dalam variabel suatu fungsi. 1 PENDAHULUAN Teori tentang limit sebuah fungsi merupakan “akar” dari aljabar kalkulus. Oleh sebab itu uraian mengenai kalkulus selalu diawali dengan bahasan tentang limit. Dimana aljabar kalkulus yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi. Diferensiasi dan integrasi merupakandua operasi matematis yang berkebalikan, seperti halnya antara penambahan dan pengurangan atau antara perkalian dan pembagian. Pada intinya, diferensial (teori tentang diferensiasi) berkenaan dengan penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori tentang integrasi) berkenaan dengan pembentukan persamaan sutau fungsi apabila tingkat perubahan fungsi yang bersangkutan diketahui. 2 PENGERTIAN LIMIT Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variable didalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari Y= f (x) akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f(x) iniapabila variable x terus menerus berkembang hingga mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi: Lim f(x) = L x→a dan dibaca “limit fungsi f(x) untuk mendekati a adalah L”. Artinya jika variable x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai ‘ 12 1 Matematika Bisnis Proyono, SE. ME. Pusat Bahan Ajar dan Elearning Universitas Mercu Buana http: //www. mercubuana. ac. id saling

2. 05 1 - 2(2. 05) = - 7. 405 2. 01 1 - 2(2. 01) = - 7. 0802 1. 99 1 - 2(1. 99) = - 6. 9202 1. 95 1 - 2(1. 95) = - 6. 605 1. 90 1 - 2(1. 90) = - 6. 22 1. 50 1 - 2(1. 50) = - 3. 5 1. 00 1 - 2(1. 00) = - 1. 0 2 2 2 2 Pada contoh di atas variable x bergerak mendekati nilai-nilai positif tertentu, yakni 2 dan 3. Limit sebuah fungsi dapat pula dianalisis untuk perkembangan bagan variable yang menuju 0, bahkan menuju + � dan - �. Dengan demikian, untuk setiap fungsi f(x) kita dapat menganalisis lim f(x) untuk x→ +a , x → -a, x → 0, x → +� dan x→- �. Seiring dengan itu dapat terjadi (untuk x mendekati seberang nilai tertentu) lim f(x) = +L, lim f(x) = -L, lim f(x) = 0, lim f(x) = +� atau lim f(x) = -�. Limit suatu fungsi hanya mempunyai dua kemungkinan : ada (terdefinisi, tertentu; yakni jika limitnya adalah L, atau –L, atau 0 atau +� atau - � atau tidak ada sama sekali (tidak terdefinisi), ada tidak boleh tak tentu 0 atau �. Contoh: 1. lim (1 - 2 x 2) = -7 x → -2 2. lim ( 1 - 2 x 2) = 1 x → 0 3. lim ( 1 -2 x 2) = -� x →+� 3 LIMIT SISI-KIRI DAN LIMIT SISI-KANAN Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilah menjadi dua bagian, tergantung pada sisi mana kita melihat gerakan perkembangan variabelnya. Apabila kita menganalisis lim f(x) dari nilai x yang lebih kecil daripada a (dari x→a x<a), berarti kita melihatnya dari sisi kiri. Sebaliknya jika menganalisis lim f(x) dari x→a nilai-nilai x yang lebih besar daripada a ( x> a), berarti kita melihatnya dari sisi kanan. http: //www. mercubuana. ac. id 3

2. y = f (x) = -3/x maka limf (x) = lim (-3/x) = + � x → 0+ lim f(x) = lim (-3/x) = - � x→ 0+ Karena lim (-3/x), maka lim (-3/x) tidak terdefinisi. X→ 0 x→ 0+ x → 0 4 HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Sedangkan Kuosien diferensi y/ x tak lain adalah lereng dari kurva y = f (x). derivatif dy/dx adalah lim ( y/ x) untuk x→ 0. Jika x sangat kecil, lim ( y/ x) = y/ x itu sendiri, dengan perkataan lain derivatif fungsi yang x→ 0 bersangkutan sama dengan kuosien diferensinya (dy/dx = y/ x). jadi untuk x yang sangat kecil, derivatif juga mencerminkan lereng dari kurva y = f(x). Uraian mengenai diferensial berikut ini akan semakin memperjelas makna tentang derivatif, serta mempertajam pemahaman akan ketiga konsep yang saling berkaitan: kuosien diferensi, derivatif, dan diferensial. Notasi derivatif dy/dx sesungguhnya terdiri atas dua suku, yaitu dy dan dx. Suku dy dinamakan diferensial dari y, sedangkan dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x (dx) mencerminkan perubahan sangat kecil pada variable bebas x. Diferensial dari x: dx = x Adapun diferensial dari y (dy) mencerminkan taksiran perubahan pada variable terikat y berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variable bebas x. Diferensial dari variable terikat sebuah fungsi sekaligus merupakan diferensial dari fungsi yang bersangkutan, yakni hasil kali dari derivatifnya terhadap perubahan pada variable bebas. dy Diferensialdari y : dy _____ dx dx http: //www. mercubuana. ac. id 5