Modlisation et rsolution du problme de contact mcanique

Modélisation et résolution du problème de contact mécanique et son application dans un contexte multiphysique Soutenance de thèse de doctorat en ingénierie BUSSETTA Philippe Directeur: Codirecteur: M. Daniel Marceau, UQAC M. Jean Philippe Ponthot, ULg Université du Québec à Chicoutimi Département des sciences appliquées 3 Février 2009

Plan Ø Introduction Ø Mécanique du contact frottant Ø Méthodes de résolution Ø Limites des méthodes habituelles Ø Méthodes de résolution proposées Ø Conclusion et recommandations 2/58

Introduction Ø Mécanique du contact frottant Ø Méthodes de résolution Ø Limites des méthodes habituelles Ø Méthodes de résolution proposées Ø Conclusion et recommandations • • Problématique Objectifs État des connaissances Méthodologie 3/58

Introduction… Problématique Le contact, un phénomène de tous les jours… Mathématique Physique Informatique Numérique 4/58

Introduction… Problématique… Ø Contrainte de Contact àContraintes dans les solides àRésistance thermique àRésistance électrique Ø Méthode de résolution àType de problème àChoix de paramètres 5/58

Introduction… Objectifs Ø Méthode de résolution àPolyvalente àFiable àRapide Ø Algorithme de résolution àSystème d’équations Ø Discrétisation du contact àDiscrétisation des frontières àLois de contact 6/58

Introduction… État des connaissances Ø Modélisation mathématique Ø Méthode de résolution àPénalisation (Sh. Keshavarz 08, etc. ) àMultiplicateurs de Lagrange (H. Walter 99, etc. ) àLagrangien augmenté (J. C. Simo 92, etc. ) Ø Discrétisation du contact à « Point surface » (P. Goulet 04, etc. ) à « Surface surface » (M. A. Puso 04, etc. ) àX FEM (G. Legrain 05, etc. ) àLissage des frontières (D. Chamoret 04, etc. ) 7/58

Introduction… Méthodologie Ø Technique de résolution àÉtude comparative àLimites des méthodes usuelles àMéthode proposée Ø Discrétisation du contact àÉtude comparative àLimites des méthodes usuelles àMéthode proposée 8/58

Mécanique du contact frottant Ø Introduction Ø Mécanique du contact frottant Ø Méthodes de résolution Ø Limites des méthodes habituelles Ø Méthodes de résolution proposées Ø Conclusion et recommandations • Physique du problème • Contact frottant Modélisation du contact Modélisation du frottement • Principe des travaux virtuels 9/58

Mécanique du contact frottant. . . Physique du problème Représentation du contact entre deux solides Statut de contact? à Configuration déformée? 10/58

Mécanique du contact frottant. . . Contact frottant Modélisation du contact Lois non différentiables Loi de contact unilatérale 11/58

Mécanique du contact frottant. . . Contact frottant… Modélisation du frottement Lois non différentiables Loi de frottement de Coulomb 12/58

Mécanique du contact frottant. . . Principe des travaux virtuels Travaux virtuels des forces internes Travaux virtuels des forces de contact Travaux virtuels des forces externes 13/58

Méthodes de résolution Ø Introduction Ø Mécanique du contact frottant Ø Méthodes de résolution Ø Limites des méthodes habituelles Ø Méthodes de résolution proposées Ø Conclusion et recommandations • Système d’équations Pénalisation Lagrangien augmenté • Discrétisation du contact « Point surface » « Surface surface » • Algorithmes de résolution Pénalisation adaptative Lagrangien augmenté 14/58

Méthodes de résolution… Système d’équations Méthode de pénalisation Loi de contact Coefficients de pénalisation? Loi de frottement 15/58

Méthodes de résolution… Système d’équations… Méthode du lagrangien augmenté Loi de contact Loi de frottement Coefficients de pénalisation? Augmentation des lagrangiens 16/58

Méthodes de résolution… Discrétisation du contact Méthode « point-surface » Conditions d’admissibilité Problèmes : àFrontières irrégulières àDéplacements relatifs importants Représentation du calcul de l’interpénétration au point A 17/58

Méthodes de résolution… Discrétisation du contact… Méthode « surface-surface » Conditions d’admissibilité Problème : Pour chaque nœud àVecteur normal àVecteur tangent Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A 18/58

Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution Méthode de pénalisation Méthode de Newton Raphson : 19/58

Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode de pénalisation adaptative L’interpénétration doit respecter : Calcul du coefficient de pénalisation normale : 20/58

Méthodes de résolution… Algorithmes de résolution… Méthode du lagrangien augmenté Méthode de Newton Raphson : 21/58

Limites des méthodes habituelles Ø Introduction Ø Mécanique du contact frottant Ø Méthodes de résolution Ø Limites des méthodes habituelles Ø Méthodes de résolution proposées Ø Conclusion et recommandations • Problème de Hertz Pénalisation adaptative Lagrangien augmenté • Tubes concentriques 22/58

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz Deux cylindres en acier Rayon : Module d’Young : Coefficient de Poisson : Limite d’élasticité (se): Loi d’écrouissage : K : 25 cm 200 GPa 0, 3 472 MPa se + Ke 640 23/58 acier

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Nombre d’itérations 24/58

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto plastique) 25/58

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Nombre d’itérations 26/58

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto plastique) 27/58

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Nombre d’itérations 28/58

Limites des méthodes habituelles… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto plastique) 29/58

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques Écrasement de deux tubes concentriques Rayon de contact : Épaisseur (e) : Coefficient de frottement : Module d’Young : Coefficient de Poisson : Limite d’élasticité (se): Loi d’écrouissage : K : 25 cm 1 cm 0, 15 200 GPa 0, 3 472 MPa se + Ke 640 Déplacement U imposé Frontière fixe 30/58

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Maillage utilisés Frontières de contact Longueur : 10 cm 31/58

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Nombre d’itérations en fonction du type de modélisation 32/58

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation Maillage 1 Maillage 2 33/58

Limites des méthodes habituelles… Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode du lagrangien augmenté Maillage 1 Maillage 2 34/58

Méthodes de résolution proposées Ø Introduction Ø Mécanique du contact frottant Ø Méthodes de résolution Ø Limites des méthodes habituelles Ø Méthodes de résolution proposées Ø Conclusion et recommandations • • Méthode « Surface surface » Pénalisation adaptative modifiée Lagrangien augmenté adapté Validation Problème de Hertz Tubes concentriques Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse 35/58

Méthodes de résolution proposées… Méthode « Surface-surface » Conditions d’admissibilité Solution : Pour chaque nœud Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A àVecteur normal et tangent (élément maître) Problème 3 D 36/58

Méthodes de résolution proposées… Pénalisation adapté modifié Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi 1 gi ≈ gi 1 gi > gi 1 37/58

Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté Algorithme de calcul de la force normale de contact : Ai Ai 1 g 2 38/58

Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi 1 gi ≈ gi 1 gi > gi 1 39/58

Méthodes de résolution proposées… Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation tangentiel Initialisation Adaptation 40/58

Méthodes de résolution proposées… Validation Problème de Hertz acier 41/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée Nombre d’itérations 42/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto plastique) 43/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté Nombre d’itérations 44/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto plastique) 45/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Écrasement de deux tubes concentriques Maillage utilisés 46/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Écrasement de deux tubes concentriques… Méthode « surface-surface » Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation (en = 105 et et = 104) Maillage 1 Maillage 2 47/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse carbone fonte acier Schéma d’un bloc cathodique Courbe de montée en température du dessus du bloc cathodique 48/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Maillage d’un bloc cathodique 49/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté Nombre d’itération en fonction du pas de temps Valeur maximale de l’interpénétration pour chaque pas de temps avec la méthode du lagrangien augmenté adapté 50/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Contrainte normale de contact au 6ème pas de temps (interface fonte carbone) Pénalisation Lagrangien augmenté adapté 51/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Première contrainte principale au 16ème pas de temps Pénalisation Lagrangien augmenté adapté 52/58

Méthodes de résolution proposées… Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté… Id 2 Id 1 Force normale de contact sur l’interface fonte carbone 53/58

Conclusion et recommandations Ø Méthodes usuelles de résolution àNon adaptées Ø Méthode de résolution proposée : lagrangien augmenté adapté àPlus rapide (adaptation de la pénalité) àPlus robuste (lagrangien augmentée) àContact avec frottement Ø Contexte multiphysique 54/58

Conclusion et recommandations Ø Méthode « point surface » àSolution irrégulière / non représentative àValeur de l’interpénétration Ø Méthode « surface » àSolution plus régulière àContact non local 55/58

Conclusion et recommandations Ø Lagrangien augmenté adapté àCalcul du contact frottant àMultiplicateurs de Lagrange à incrément avant Ø Méthode « surface » àAmélioration de la programmation 56/58

Questions 57/58