Modles de files dattente Modle gnral de files

Modèles de files d’attente Modèle général de files d’attente, étude des lois d’arrivées et de service du système, distribution exponentielle, propriétés d’un système de file d’attente. Processus de naissance et de mort. Étude de cas particuliers : une ou plusieurs files, une ou plusieurs stations, un nombre limité ou non de clients, distributions non exponentielles, etc. Politiques de service. Aspect économique des phénomènes d’attente. Applications.

Généralités Nous sommes souvent en présence d’un phénomène de files d’attente. CONGESTION : Lorsque la demande de service dépasse la capacité de service, il y a formation de files d’attente. Caractéristiques d’un tel phénomène : Arrivées d’unités à des intervalles de temps irréguliers ou non, à un centre de service. Exemple : arrivée de camions à un poste de chargement, entrée de clients dans un magasin, arrivée de bateaux dans un port, etc. Un ou plusieurs canaux de service ou stations. Exemple : guichet, vendeur, etc. Les unités doivent éventuellement attendre qu’une station soit disponible pour être servies. Les intervalles de temps de service des unités sont irréguliers ou non. 2

Généralités Cas non intéressant : Des intervalles constants des entrées et des temps de service, avec une durée de service plus élevée que l’intervalle entre 2 entrées, La file d’attente augmente régulièrement et indéfiniment. Schéma de file d’attente : Système d’attente Source 1 Station 1 File d’attente 1 Source 2 Processus d’arrivée d’unités File d’attente 2 File d’attente F Source U Processus de service des unités (durée et ordre de service, …) Station 2 Station S 3

Modèle général de file d’attente Posons M nombre d’unités dans l’ensemble du phénomène (peut être infini) (dans les sources, les files et les stations), N nombre d’unités dans le système (dans les files et les stations), Q nombre d’unités dans les files d’attente, Qmax nombre maximum d’unités dans les files d’attente, R nombre d’unités en cours de service, S nombre de stations, SI nombre de stations inoccupées, SO nombre de stations occupées, F nombre de files d’attente, 4

Quelques résultats préliminaires …. Trivialement, N = R si N ≤ S S + Q sinon. En général, N N(t), Q Q(t) et R R(t) varient en fonction du temps et sont aléatoires suivant une loi de probabilité que nous cherons à connaître. Posons maintenant pn = Prob(N = n) la probabilité qu’il y ait n unités dans le système. En général, pn pn(t) varient aussi en fonction du temps. M On obtient alors : E[N] = k pk le nombre moyen d’unités dans le système. k = 0 M Dans le cas d’une seule file d’attente (F = 1), E[Q] = (k – S) pk k = S+1 désigne le nombre moyen d’unités dans la file. 5

Quelques résultats préliminaires …. E[SI] = S (S – k) pk désigne le nombre moyen de stations inoccupées. k = 0 On peut vérifier assez facilement que : E[N] = E[Q] + S – E[SI] (en exercice) Afin de poursuivre plus avant notre étude d’un phénomène d’attente, il nous faut connaître les probabilités pn qu’il y ait n unités dans le système. Pour y arriver, il nous faut étudier les lois d’arrivées et de service du système. 6

Arrivée d’une unité dans le système Considérons un intervalle de temps de durée t et n le nombre d’unités qui arrivent dans le système dans cet intervalle, n est une variable aléatoire. Hypothèses : La probabilité qu’il y ait n arrivées dans l’intervalle de durée t ne dépend que de t et non de l’instant initial à partir duquel on a comptabilisé les arrivées dans le système. Homogénéité ou stationnarité dans le temps. La probabilité qu’une arrivée se produise plus d’une fois dans un intervalle de temps infinitésimal dt est infiniment petite par rapport à dt. Il n’y a pas d’arrivées en groupe (plusieurs arrivées simultanées). La probabilité qu’une arrivée se produise une fois exactement dans un intervalle de temps infinitésimal dt est proportionnelle à dt, disons dt. Il n’y a pas d’heures de pointe (répartition uniforme). 7

Arrivée d’une unité dans le système Nous pouvons poser pn(t) la probabilité qu’il y ait n arrivées dans l’intervalle de durée t. Sous les hypothèses précédentes, on peut montrer que le nombre d’arrivées dans un intervalle de temps t, soit N(t), suit une distribution de Poisson de paramètre t égal au nombre moyen d’arrivées pendant un temps t i. e. pn(t) ( t)n e- t n! On a aussi que : E[N] = t n = 0, 1, 2, … et Var[N] = t. La loi des arrivées est entièrement déterminée par le nombre moyen des arrivées par unité de temps. 8

Temps de service d’une unité dans le système Après une période d’attente, les entités dans le système reçoivent le service. Le service est aléatoire; il est donc décrit par une distribution de probabilité. Si le nombre d’arrivées dans un intervalle de temps obéit à une loi de Poisson, alors la durée séparant deux arrivées est exponentielle. Nous considérerons donc que la durée de service suit une loi exponentielle de paramètre dont la fonction de densité est : f(t) = e- t t [0, ), > 0. La loi des services est entièrement déterminée par le taux moyen des services égal à l’inverse de la durée moyenne d’un service. Note : Nous supposons que < sans quoi la file va augmenter indéfiniment. À moins d’avis contraire, les premiers arrivés sont les premiers servis. 9

Processus de naissance et de mort Une arrivée : une naissance, un départ : une mort. Hypothèses : Soit N = n, le temps écoulé jusqu’à la prochaine naissance suit une loi exponentielle de paramètre n, le temps écoulé jusqu’à la prochaine mortalité suit une loi exponentielle de paramètre n, seul une naissance ou une mort arrive à la fois, n : taux d’arrivée lorsqu’il y a n clients dans le système, n : taux de service lorsqu’il y a n clients dans le système. Problème : Trouver une formule pour pn(t) = Prob(N(t) = n) la probabilité qu’il y ait n unités dans le système au temps t. 10

Processus de naissance et de mort : résolution Régime transitoire : pn(t) dépend de t (résolution difficile). Régime stationnaire : pn(t) est indépendant de t. En supposant le régime transitoire très court, notre intérêt va porter sur le régime stationnaire. PRINCIPE PERMETTANT D’ÉCRIRE UNE ÉQUATION D’ÉQUILIBRE POUR TOUT ÉTAT n : pour tout état n = 0, 1, 2, …, le taux d’entrée moyen de clients doit être égal au taux de départ moyen. diagramme d’états 11

Calcul de Pn pn(t) 12

Calcul de Pn pn(t) 13

1 er cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/ / Une file d’attente de capacité illimitée, une station, une source illimitée. Intensité de trafic diapositive suivante 14

Modèle 1/1/ / : calcul de P 0 Vous jouez à pile-ou-face. Vous décidez de jouer jusqu'à ce qu'apparaisse "Pile" pour la première fois. Le nombre L de lancers nécessaires est donc une variable aléatoire dont la distribution est géométrique. 15

Modèle 1/1/ / : intensité de trafic Max Pn correspond à = n . n + 1 Exemple : La probabilité la plus élevée de rencontrer 3 unités dans le système a lieu lorsque = 3 / 4 et a pour valeur : 27 / 256 0. 1054. Pour calculer Prob(N ≤ n), on a : n Pi i = 0 = (1 - ) n n i = 0 = 1 - n+1 Par conséquent, Prob(N > n) = n+1 et la probabilité qu’il y ait au moins une unité dans le système est Prob(N > 0) = = intensité de trafic = 1 – probabilité de ne pas attendre. 16

Modèle 1/1/ / : nombre moyen d’unités dans le système N N = / (1 - ) Note : Si , alors 1 et N . La quantité est l’essence même du problème; cela reflète un compromis entre le gain issu de la réduction de N et le coût associé des installations et du personnel constituant le service. 17

Modèle 1/1/ / : nombre moyen d’unités dans la file d’attente Q 18

Modèle 1/1/ / : temps moyen passé dans le système Formule de Little : Temps moyen passé dans le système (temps de service inclus) : N / = [ / (1 - )] / = 1 / ( - ) = [1 / (1 - )] / Temps d’attente moyen dans la file : Q / = [ 2 / (1 - )] / = / [ ( - )] = [ / (1 - )] / = N / Note : N / - Q / = 1 / ce qui représente bien le temps moyen de service. 19

Modèle 1/1/ / : exemple I Dans une usine de fabrication de meubles, on peint 20 unités à l’heure. Celles-ci arrivent à la salle de peinture à un rythme moyen de 12 à l’heure. = 12 = 20 Nombre moyen de meubles dans la salle de peinture N = / (1 - ) = (12 / 20) / (1 – 12 / 20) = 1. 5 meuble. Temps moyen passé dans la salle de peinture N / = 1. 5 / 12 = 1/8 heure = 7. 5 minutes. Temps moyen d’attente avant d’être peint N / = 1. 5 / 20 = 3/40 heure = 4. 5 minutes. 20

Modèle 1/1/ / : exemple II Dans un grand magasin, on a observé les arrivées suivantes de clients : Arrivées pendant une période de 5 min. (n) 0 1 2 3 4 5 6 Fréquences observées (fn) 29 34 24 8 4 1 0 Nombre moyen d’arrivées par période de 5 minutes : 6 1 n fn = 1. 27 100 n=0 Total sur 100 21

Le paramètre 1. 27 est-il admissible comme celui de la loi de Poisson associée aux arrivées ? Effectuons donc un test du 2. Règle à suivre : On doit retrouver 4 à 5 éléments par classe au minimum pour un échantillon de taille 100. Regroupons les 3 dernières classes en une. Arrivées pendant une période de 5 min. (n) 0 1 2 3 ≥ 4 Fréquences observées (fn) 29 34 24 8 5 Fréquences théoriques (100 pn(t) ) où t = 1. 27 28 36 23 9 4 100 – ce qui précède Différence : fd 2 |fn – 100 pn(t) | 100 pn (fd) 1 4 1 1 1 . 0357. 1111. 0435. 1111. 2500 22

Le paramètre 1. 27 est-il admissible comme celui de la loi de Poisson associée aux arrivées ? Nous avons alors exp 2 = 0. 0357 + 0. 1111 + 0. 0435 + 0. 1111 + 0. 2500 = 0. 5514. Étant donné que nous avons estimé un paramètre et que nous possédons 5 classes, nous sommes en présence d’une 2 à 3 degrés de liberté. À un niveau = 5 %, on obtient t 2 = 7. 8147 et vu que t 2 > exp 2 on accepte l’hypothèse que : = 1. 27 / 5 minutes = 0. 254 / minute. 23

Durée des services La durée des services s’est répartie comme suit : Durée [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 10) [10, 11) [11, 12) [12, ) Fréquence 23 20 14 12 9 5 4 5 3 2 1 0 Durée moyenne de service (1 / ) : (0. 5 x 23 + 1. 5 x 20 + … + 11. 5 x 1) / 100 = 3. 27 = 1 / 3. 27 0. 3 / minute valeur médiane de l’intervalle Vérifions par un test de 2 si cette hypothèse est fondée. 24

Durée des services Regroupons quelques classes : Durée [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 6) [6, 8) [8, ) Fréquences observées (fn) théoriques (100 pn) où 0. 3 23 20 14 12 14 9 8 26 19 14 11 14 7. 5 9 Différence : |fn – 100 pn |2 (fd) 9 1 0 2. 25 1 fd 100 pn . 3962 . 0526 0 . 0909 0 . 3000 . 1111 exp 2 = 0. 9008 qui correspond à un 2 à 5 degrés de liberté. À 5 %, on a t 2 = 11. 1; on accepte donc l’hypothèse. 25

Caractéristiques de la file d’attente S = 1 = / = 0. 8467 Nombre moyen d’unités dans le système N = / (1 - ) = 5. 52 Temps moyen d’attente Nombre moyen de clients une journée de 8 h. Temps perdu en attente N / = 5. 52 / 0. 3 = 18. 4 min. 0. 254 x 8 x 60 = 121. 92 x 18. 4 min. Temps pendant lequel le caissier est occupé Durée moyenne de service 121. 92 x 3. 27 min. 26

Modèle S/1/ / Arrivée d’une unité Les S stations sont occupées. non oui L’unité attend. est servie immédiatement 27

Modèle S/1/ / : nombre moyen d’unités dans la file Q Temps d’attente moyen : Q / Q = 28

Modèle S/1/ / : nombre moyen de stations inoccupées SI SI 29

Modèle S/1/ / : nombre moyen d’unités dans le système N = Q + S – SI N = Q + / Modèle S/1/ / : temps moyen passé dans le système Q / + 1 / Note : S P 0 e - / La probabilité qu’il y ait 0 unité dans la file lorsque S est égale à 1. 30

Modèle S/1/ / : probabilité qu’une unité attende dans la file Prob(N ≥ S) = pn n = S = p 0 SS S! = p 0 ( / )S S! (1 - ) 31

Exemple : salle d’urgence d’un hôpital Arrivées de patients suivent un processus de Poisson. Durée de traitement par patient obéit à une loi exponentielle. = 2 patients / heure = 3 patients / heure Question : Doit-on affecter un ou deux médecins ? S = 1 S = 2 / = 2/3 < 1 / 2 = 2/6 = 1/3 < 1 P 0 1/3 1/2 P 1 2/9 1/3 Pn (2/3)n/3 (1/3)n Q 4/3 1 / 12 Nombre moyen d’unités dans la file N 2 3/4 Nombre moyen d’unités dans le système 2/3 Nette amélioration 1/24 n ≥ 2 Temps moyen d’attente dans la file 32

3 ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/ /q Une file d’attente de capacité limitée q, une station, une source illimitée. Lorsqu’il y a q + 1 unités dans le système, les nouveaux arrivants partent sans recevoir de service. Ex. : Salle d’attente de capacité limitée. si n = 0, 1, 2, …, q Taux d’arrivée : n = Taux de service : n = Cn = 0 si n > q pour tout n. ( / )n = n si n = 0, 1, 2, …, q, q + 1 0 si n > q + 1 P 0 = [ 1 - ] / [1 - q+2] et Pn = [ (1 - ) n] / [1 - q+2] n ≤ q + 1 33

3 ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/ /q N = n Pn n = 0 = [ (1 - )] / [1 - q+2] q+1 n n n = 0 = [ / (1 - )] - [ (q + 2) q+2 / (1 - q+2)] Q = N – (1 – P 0). q = taux d’arrivée moyen = n Pn n = 0 = (1 – Pq+1) Temps passé dans le système : N / . Temps d’attente dans la file : Q / . 34

4 ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle s/1/ /q Une file d’attente de capacité limitée q, s stations, une source illimitée. Lorsqu’il y a q + s unités dans le système, les nouveaux arrivants partent sans recevoir de service. Ex. : Salle d’attente de capacité limitée. si n = 0, 1, 2, …, q + s - 1 n = Taux d’arrivée : 0 si n ≥ q + s Taux de service : Cn = ( / )n / n! n s si n = 0, 1, 2, …, s [( / )s ( /s )n-s] / s! 0 si n ≤ s si n > s si n = s + 1, s + 2, …, q + s si n > q + s On peut alors calculer P 0 et, ensuite, Pn pour tout n = 1, 2, …, q + s. etc. 35

5 ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/m/ Une file d’attente de capacité illimitée, une station, une source limitée m. Exemple : Considérons un atelier dans lequel sont utilisées m machines identiques qui fonctionnent indépendamment les unes des autres. Des pannes se produisent sur ces machines, d’une façon aléatoire selon une loi de Poisson avec un taux pour chacune. Pour les réparer, on dispose d’un mécanicien qui constitue ainsi la station par où doivent passer les machines. La durée des réparations est distribuée selon la loi exponentielle avec un taux . (m - n) si n = 0, 1, 2, …, m n = Taux d’arrivée : 0 si n ≥ m Taux de service : n = si n = 1, 2, …, m. où n désigne le nombre de machines dans le système (n ≤ m). / désigne le facteur de service ou facteur d’entretien. 36

5 ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/m/ Cn = m!( / )n / [(m – n)!] Pn = Cn P 0 si n = 1, 2, …, m. Pour calculer P 0, on se sert du fait que : P 0 = 1 - P 1 - … - Pm. Le nombre moyen d’unités dans la file est : m (n – 1) Pn = m - (1 – P 0) (1 + / ) n = 2 m Le nombre moyen d’unités dans le système est : n Pn = m - (1 – P 0) / n = 0 m La probabilité d’une attente de durée quelconque est : Pn = 1 – P 0 n = 1 37

5 ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle 1/1/m/ Le temps moyen d’attente dans la file est : c’est-à-dire, nombre moyen d’unités dans la file taux moyen des arrivées # moyen d’unités dans la file (m - # moyen d’unités dans le système) = [m / (1 – P 0) – (1 + / )] / Le temps moyen d’attente dans le système est : # moyen d’unités dans le système (m - # moyen d’unités dans le système) = [m / (1 – P 0) - / ] / 38

6 ième cas : modèle S/F/M/Qmax modèle s/1/m/ Généralisation du cas précédent : s mécaniciens au lieu d’un seul. Taux d’arrivée : n = Taux de service : n = (m - n) si n = 0, 1, 2, …, m 0 si n ≥ m n s si n = 1, 2, …, s. si n = s+1, s + 2, …, m. où n désigne le nombre de machines dans le système (n ≤ m). n Pn = m P 0 n Pn = n! m s! sn-s n si n = 1, 2, …, s n P 0 etc. si n = s + 1, s + 2, …, m 39

Conclusion Il existe plusieurs autres types de phénomènes d’attente avec des lois d’arrivées et/ou de service différentes. Mais les principes généraux demeurent les mêmes. Exemples : Un taux de service qui dépend de l’état du système (n). Des durées de services non exponentielles. etc. 40