Modena 15 ottobre 2014 Incontro laboratoriale 1 Learly

Modena - 15 ottobre 2014 Incontro laboratoriale 1 L’early algebra e le competenze in ambito linguistico Giancarlo Navarra GREM, Università di Modena e Reggio Emilia

Ambiti delle competenze nel Curricolo Ar. Al A. B. C. D. E. Linguaggio Forma canonica e non canonica del numero Approccio all’incognita e alle equazioni Approccio ai concetti di variabilità/variabile Dalle successioni modulari alle leggi di corrispondenza F. Verso le funzioni G. Utilizzare il linguaggio algebrico per indagare su conoscenze pregresse e per successivi approfondimenti ed ampliamenti di insiemi numerici dai naturali ai razionali, agli interi relativi Modena - 15 ottobre 2014 2

Prova di verifica delle competenze Curricolo di matematica per la scuola primaria e secondaria di primo grado nella prospettiva di un approccio precoce all’algebra (early algebra) Iniziamo dagli esiti di una sperimentazione: una prova per la verifica delle Competenze nell’ambito linguistico –A) proposta nel giugno 2014 in tre prime, tre seconde, tre terze, una quarta e due quinte di Trieste (12 classi, di cui tre ‘Ar. Al’, 204 alunni). Non ci sono classi di scuola secondaria. Per ognuna delle sei competenze sono state proposte tre frasi (in linguaggio naturale o matematico) adeguate all’età degli alunni. Modena - 15 ottobre 2014 3

Le sei competenze in ambito linguistico (A) A 1. Tradurre in linguaggio naturale un numero espresso in forma non canonica; Es: 3× 2+5 A 2. Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione procedurale; Es: Aggiungi 9 alla somma fra 4 e 15 A 3. Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione relazionale. Es: Il doppio della somma fra 51 e 37 Modena - 15 ottobre 2014 4

Competenze A 4, A 5, A 6 A 4. Esprimere in linguaggio naturale il confronto tra numeri scritti in forma canonica e non canonica, cogliendo le equivalenze senza calcoli scritti e argomentando le scelte Es: 6×n-4 e 4+n× 3× 2 A 5. Ricavare scritture equivalenti ad una data esplicitando, dov’è possibile, le proprietà applicate Es: 27 -▲=15 A 6. Completare frasi scritte in linguaggio matematico in cui un punto di domanda sostituisce un segno Es: 5× 0 ? 0: 12 Modena - 15 ottobre 2014 5

Competenza A 1, seconda primaria Il laboratorio si basa sulle risposte fornite da 56 alunni di tre seconde a questa consegna: A 1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5× 2 Le traduzioni verranno analizzate da due punti di vista: 1. Cosa ci dicono della didattica attraverso la quale sono state costruite le conoscenze relative alla moltiplicazione? (rivolto ai docenti) 2. Come possiamo utilizzare le traduzioni per promuovere nella classe una riflessione sui loro significati? (implementazione in classe) Modena - 15 ottobre 2014 6

Prima parte A 1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5× 2 1. Cosa ci dicono della didattica attraverso la quale sono state costruite le conoscenze relative alla moltiplicazione? (rivolto ai docenti) Modena - 15 ottobre 2014 7

A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Modena - 15 ottobre 2014 8

A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 Cilosono moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo informazioni che permettano di ipotizzare un moltiplico 2 (1); Cinque per li 2 ha volte (1); A ‘retroterra per concettuale’ degliripetuto alunni che portati ad 5 moltiplico 2 (2); Da frasi? 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per organizzare le loro 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il Emergono segnali che indichino i modi nei quali sono cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio state costruite le loro conoscenze nel corso dei primi 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); due anni della scuola primaria? Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Modena - 15 ottobre 2014 9

A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Modena - 15 ottobre 2014 10

A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il Alcuni segnali cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Modena - 15 ottobre 2014 11

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna Segnale 1 fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale Aspetti fondativi del concetto di moltiplicazione: dieci; compaiono spesso i termini volte e ripetere. Modena - 15 ottobre 2014 12

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Segnale 2 due volte il cinque; Prendo per La concretezza degli esordi: ‘possiedo’ (probabile Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna residuo di problemi ‘prendo’ fare con ildi×testi il numero 5 e 2; verbali), Cinque più due uguale (permane la manipolazione di oggetti e poi di numeri). dieci; Modena - 15 ottobre 2014 13

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; 3 ASegnale cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; operativi: fare (spesso da 5 Aspetti raddoppio 2; Raddoppiare il 5 ×accompagnato 2 volte; verbi inper funzione assertiva – Devi, bisogna) Prendo due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Modena - 15 ottobre 2014 14

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 4 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; 5 Segnale raddoppio Il permanere indicazioni Prendo per duedivolte il cinque; ad un puro livello formale: di consigli e avvertimenti Devo fare probabile 5 preso 2 residuo volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna daticon dall’insegnante fare il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene Modena - 15 ottobre 2014 15

I ‘segnali’: • gli aspetti fondativi (volte, ripetere) • la concretezza degli esordi (possiedo, prendo) • gli aspetti operativi (fare, devi, bisogna) • il permanere di indicazioni a livello formale fanno parte dell’epistemologia matematica degli alunni (Schoenfeld) che condiziona, nel bene e nel male, i modi attraverso i quali essi affrontano l’evolversi della disciplina. Sono in gran parte, a questa età, più lo specchio di fattori esterni (l’insegnante) che il frutto di una rielaborazione personale. Modena - 15 ottobre 2014 16

I ‘segnali’ che traspaiono dalle traduzioni (in misure diverse, da alunno ad alunno) rappresentano atteggiamenti individuali che probabilmente, in una pur efficace didattica tradizionale, tendono a non emergere. La discussione collettiva permette non solo la loro emersione ma anche il loro confronto. Attraverso il confronto si apre la negoziazione sui significati (quale frase è più chiara? Più ‘matematica’? Più ‘evoluta’? Più trasparente? Sbagliata‘? ) che dovrà condurre ad una condivisione ragionata della/e frase/i considerata più corretta. Modena - 15 ottobre 2014 17

Seconda parte A 1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5× 2 2. Come possiamo utilizzare le traduzioni per promuovere nella classe una riflessione sui loro significati? Modena - 15 ottobre 2014 18

A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Immaginate che queste traduzioni siano state proposte dai vostri alunni. A partire da questo elenco molto disordinato come potrebbe essere organizzata un’attività centrata sulla riflessione da proporre alla classe che spinga gli alunni a mettersi in gioco? (nella quale quindi l’insegnante svolga un ruolo defilato, come smistatore di traffico argomentativo). NB: alla classe non proporreste certamente tutte le traduzioni ma fareste una selezione significativa. Ora le consideriamo tutte perché è una simulazione ‘per soli adulti’. Modena - 15 ottobre 2014 19

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene Modena - 15 ottobre 2014 20

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 L’esperienza mostra cheper durante l’analisi moltiplico 2; Da 5 ripeto 2 volte; Ripetocollettiva 5 per 2 delle frasi gli alunni volte; 5 ripeto per 2; sanno riconoscere che: • il termine ‘volte’ è importante; Ripetere due voltenon il cinque; • i cinque termini moltiplico ‘ripetere’, per ‘fare’ o ‘prendere’ sono A due; Raddoppio 5; meno di Raddoppiare ‘moltiplicare’, ilo 5‘raddoppiare’; 5 significativi raddoppio 2; × 2 volte; • certi modi di dire non si usano, ad es: ‘A 5 moltiplico Prendo per due volte il cinque; 2’, ‘Raddoppio il 52 per due. Devi volte’; Devo fare 5 preso volte; fare 2 volte 5; Bisogna • le ultime ‘dicono’ meno più delle altre. fare con il ×frasi il numero 5 molto e 2; Cinque due uguale ↓ sempre scritto; Devi fare dieci; Il risultato deve essere Accettano. Tu di scrivi cancellarle: con i segni l’operazione; il risultato e vedrai che fai bene Modena - 15 ottobre 2014 21

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte Rimangono: il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene Modena - 15 ottobre 2014 22

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per 2; 5 lo moltiplico per 2; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; Raddoppio 5; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 Modena - 15 ottobre 2014 23

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per 2; 5 lo moltiplico per 2; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; Raddoppio 5; Se proponiamo di raggruppare Prendo per due volte il cinque; frasi simili (attività sulle parafrasi) molto 2 probabile che emergano Devo fare 5èpreso volte; Devi fare 2 volte 5; queste Bisogna categorie: fare con il × il numero 5 e 2 • Frasi in cui compare il verbo ‘moltiplicare’; • Frasi in cui compare il verbo ‘ripetere’; • Frasi in cui compare il verbo ‘raddoppiare’; • Frasi in cui compaiono verbi come ‘bisogna’, ‘devi’, ecc; • Frasi senza verbo. Modena - 15 ottobre 2014 24

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) 5 moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 5 ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5 Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 5 per due (25) Modena - 15 ottobre 2014 25

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) 5 moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 5 Laripetuto per 2 sulle volte; Ripeto peruna 2 volte; riflessione frasi porta 5 ad ulteriore 5 selezione ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5 Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 5 per due (25) Modena - 15 ottobre 2014 26

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) 5 moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 5 ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5 Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 5 per due (25) Modena - 15 ottobre 2014 27

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda primaria) 5 per due Moltiplico 5 per 2 Ripeto 5 per 2 volte Raddoppio 5 Definizioni procedurali Prodotto fra 5 e 2 Doppio di 5 Definizioni relazionali Modena - 15 ottobre 2014 28

Seconda parte Un secondo esempio per A 1 (quinta) Traduci in linguaggio naturale la frase (5+4)× 2 Modena - 15 ottobre 2014 29

Competenza A 1: tradurre (5+4)× 2 (quinta) Ar. Al Il doppio della somma di 5 e di 4 (1) Il prodotto di 2 e la somma di 5 e 4 (1) Il prodotto tra la somma di 5 e 4 e 2 (2) Raddoppia la somma di 5 e 4 (3) Moltiplica per 2 la somma di 5 e 4 (7) Raddoppia la somma di 5 per il numero che lo precede (2) Due moltiplicato il risultato di 5 più 4 (1) Fai la somma di 5 e 4 e moltiplica per 2 (1) La somma di 5 e 4 del prodotto di 2 (1) Aperta parentesi tonda 5 più 4 chiusa per 2 (6) 5 più 4 per 2 (12) Devi addizionare 5 e 4 il risultato per 2 (2) Modena - 15 ottobre 2014 30

Competenza A 1: tradurre 5× 2 (seconda) Il doppio della somma di 5 e di 4 (1) Il prodotto di 2 e la somma di 5 e 4 (1) Il prodotto tra la somma di 5 e 4 e 2 (2) Raddoppia la somma di 5 e 4 (3) Moltiplica per 2 la somma di 5 e 4 (7) Raddoppia la somma di 5 per il numero che lo precede (2) Due moltiplicato il risultato di 5 più 4 (1) Fai la somma di 5 e 4 e moltiplica per 2 (1) La somma di 5 e 4 del prodotto di 2 (1) Aperta parentesi tonda 5 più 4 chiusa per 2 (6) 5 più 4 per 2 (12) Devi addizionare 5 e 4 il risultato per 2 (2) Modena - 15 ottobre 2014 31

Seconda parte Un terzo esempio per la competenza A 2 (quinta): Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione procedurale: Dividi per 2 la somma fra 5 e il numero precedente Modena - 15 ottobre 2014 32

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe Ar. Al, non Ar. Al) a) b) c) d) e) f) g) h) i) (4+5): 2 (13, 3) (5+4): 2=4, 5 (1) 2: (5+4) (1) (5+4)× 2 (1) 5+4=9: 2=4, 5 (1) (5× 4): 2 (1) 9: 2= (1, 2) 4. R. 1 (1) 5× 6: 2 (1) j) 5+4=9: 2=4, 5 (2) k) 5+4=9: 2=4 R 2 (1) l) 5: 4=1× 1 (1) m) 5+4=9 9: 2=4, 5 (1) n) 9: 2=4, 5 (2) o) 3 (1) p) 5+4=9: 2 (1) q) 5+4=9 9: 2=4, 5 (1) Analizziamo le frasi in chiave early algebra Modena - 15 ottobre 2014 33

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe Ar. Al, non Ar. Al) a) b) c) d) e) f) g) h) i) (4+5): 2 (13, 3) (5+4): 2=4, 5 (1) 2: (5+4) (1) (5+4)× 2 (1) 5+4=9: 2=4, 5 (1) (5× 4): 2 (1) 9: 2= (1, 2) 4. R. 1 (1) 5× 6: 2 (1) j) 5+4=9: 2=4, 5 (2) k) 5+4=9: 2=4 R 2 (1) l) 5: 4=1× 1 (1) m) 5+4=9 9: 2=4, 5 (1) n) 9: 2=4, 5 (2) o) 3 (1) p) 5+4=9: 2 (1) q) 5+4=9 9: 2=4, 5 (1) Una riflessione di carattere generale Modena - 15 ottobre 2014 34

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) Attraverso attività come questa vengono promosse negli alunni competenze relative all’interpretazione delle scritture in linguaggio matematico nei loro aspetti semantici e sintattici, alla ricerca della loro maggiore o minore aderenza alla frase iniziale: a livello linguistico: • al significato della frase ‘Dividi per due… ‘ che induce in molti ad effettuare calcoli; a livello metalinguistico: • al significato della consegna ‘Traduci’ che conduce alla categoria del rappresentare contrapposta a quella del risolvere. Modena - 15 ottobre 2014 35

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe Ar. Al, non Ar. Al) a) b) c) d) e) f) g) h) i) (4+5): 2 (13, 3) (5+4): 2=4, 5 (1) 2: (5+4) (1) (5+4)× 2 (1) 5+4=9: 2=4, 5 (1) (5× 4): 2 (1) 9: 2= (1, 2) 4. R. 1 (1) 5× 6: 2 (1) j) 5+4=9: 2=4, 5 (2) k) 5+4=9: 2=4 R 2 (1) l) 5: 4=1× 1 (1) m) 5+4=9 9: 2=4, 5 (1) n) 9: 2=4, 5 (2) o) 3 (1) p) 5+4=9: 2 (1) q) 5+4=9 9: 2=4, 5 (1) Si cancellano delle frasi Modena - 15 ottobre 2014 36

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe Ar. Al, non Ar. Al) a) b) c) d) e) (4+5): 2 (13, 3) (5+4): 2=4, 5 (1) 9: 2= (1, 2) 5+4=9 9: 2=4, 5 (1) 9: 2=4, 5 (2) Molti alunni si rendono conto che la consegna chiede di tradurre, e non di effettuare operazioni e propongono di cancellare le scritture che contengono le operazioni e/o il risultato. Modena - 15 ottobre 2014 37

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe Ar. Al, non Ar. Al) a) (4+5): 2 (13, 3) b) 9: 2= (1, 2) Scritture come ‘ 9: 2=‘ conducono alle categorie note come ‘sindrome da mancanza di risultato’ o ‘mancanza di chiusura’: gli alunni vedono 9: 2 solo come operazione e quindi aggiungono l’uguale, come per preparare l’inevitabile conclusione di una storia che senza risultato non sta in piedi. Modena - 15 ottobre 2014 38

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe Ar. Al, non Ar. Al) a) (4+5): 2 (13, 3) b) 9: 2= (1, 2) Cosa si può dire di 4+5 e 9? 4+5 è più trasparente (rappresentazione non canonica di 9, mostra il processo) rispetto a 9 (rappresentazione del prodotto, opaco rispetto al processo che l’ha generato). 4+5 è più aderente a frase iniziale perché contiene gli stessi numeri. Approfondiremo fra poco questo aspetto. Modena - 15 ottobre 2014 39

A 2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ a) (4+5): 2 b). c) Possiamo guidare la classe verso una rappresentazione che esprima in modo più trasparente le relazioni fra i numeri in gioco (si pensi alla frase iniziale)? Collochiamo ora questi episodi in un contesto generale facendo riferimento a dei costrutti teorici accompagnati da un esempio relativo ad una prima secondaria. Modena - 15 ottobre 2014 40

COMPORTAMENTO CONSUETO Tradizionalmente, nella scuola primaria italiana, gli studenti si abituano a vedere i numeri come termini di un'operazione o come risultati. Questo porta, tra l'altro, a vedere la soluzione di un problema come ricerca di operazioni da effettuare. Il punto di vista prevalente è quindi di natura procedurale: i numeri sono entità che devono essere manipolate. Gli studenti non sono guidati verso la riflessione, attraverso l'analisi della rappresentazione del numero, sulla sua struttura. Gli insegnanti raramente spiegano che. . . September 21– 26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA . . . ogni numero può essere rappresentato in diversi modi, attraverso una qualsiasi espressione equivalente ad esso: uno (ad esempio 12) è il suo nome, la cosiddetta forma canonica, tutti gli altri modi di nominarlo (3× 4, (2+2)× 3, 36/3, 10+2, 3× 2× 2, . . . ) sono forme non canoniche, e ognuna di loro riceverà un senso in relazione al contesto e al processo sottostante. La forma canonica, che rappresenta un prodotto, è opaca in termini di significati. La forma non canonica rappresenta un processo ed è trasparente in termini di significati. September 21– 26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA Saper riconoscere e interpretare queste forme crea negli alunni la base semantica per accettare e comprendere, negli anni successivi, scritture algebriche come a-4 p, ab, x 2 y, k / 3. Il complesso processo che accompagna la costruzione di queste competenze dovrebbe essere sviluppato nel corso dei primi anni di scuola. Il concetto di forma canonica / non-canonica comporta per gli alunni (e per i docenti) implicazioni essenziali per riflettere sui possibili significati attribuiti al segno di uguaglianza. Vediamo un esempio di queste competenze: September 21– 26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

Esempio (11 anni) - UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA Gli alunni hanno il compito di rappresentare in linguaggio matematico la frase: "Raddoppia la somma fra 5 e il numero successivo. “ Quando le proposte vengono visualizzate alla lavagna Diana indica la frase di Filippo e giustifica la sua scrittura: "Filippo ha scritto 2×(5+6) ed è giusto. Ma io ho scritto 2×(5+5+1) perché in questo modo è evidente che il numero successivo a 5 è una unità più grande. La mia frase è più trasparente". Cosa possiamo dire della frase di Diana? September 21– 26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

Esempio (11 anni) - UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA Gli alunni hanno il compito di rappresentare in linguaggio matematico la frase: "Raddoppia la somma fra 5 e il numero successivo. “ Quando le proposte vengono visualizzate alla lavagna Diana indica la frase di Filippo e giustifica la sua scrittura: "Filippo ha scritto 2×(5+6) ed è giusto. Ma io ho scritto 2×(5+5+1) perché in questo modo è evidente che il numero successivo a 5 è una unità più grande. La mia frase è più trasparente". Diana esalta gli aspetti relazionali del numero resi evidenti dalla sua forma non-canonica. September 21– 26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO - Quinta A 1. Traduci in linguaggio naturale: • 4× 100+2× 10+6 • Somma fra il prodotto di 4 e 100, il prodotto di 2 e 10 e 6; • 15× 2 -32: 2 • Somma fra il quadruplo di 100, il doppio di 10 e 6 • Differenza fra il doppio di 15 e la metà di 32 Perché è importante attivare queste competenze? Passa a: Primaria 1 2 3 4 5 Secondaria 1° 1 2 3 Secondaria 2° 1

Verso l’oggettivazione Cosa è un oggetto matematico (a+b)2 quadrato di un binomio a 3–b 3 differenza di due cubi (3–b 3)(5 a+4 b) prodotto di due binomi La capacità di nominare gli oggetti dipende dal fatto che lo studente non sia stato abituato solo ad operare sugli oggetti: (3+5)2=82=64 (3+5)2 3+5 quadrato di una somma Modena - 17 settembre 2014

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A 4. Esprimere in linguaggio naturale il confronto tra numeri scritti in forma canonica e non canonica, cogliendo le equivalenze senza calcoli scritti e argomentando le scelte (attività sulla struttura delle rappresentazioni) Riferimenti • Unità 3 • Unità 4 • Unità 11 • GREM • INVALSI Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica Quinta primaria Esprimi in linguaggio naturale il confronto fra i seguenti numeri: • 39 39+5 • ⅝ ⅝× 3 39 -16 • 2 d d+4 (con d punteggio di un dado variabile fra 1 e 6) • (4+n)× 5 • 3× 0, 5 5+(4×n) 0, 5× 2+0, 5 4× 5+5×n 0, 5× 3 0, 5× 1+0, 5× 2 Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A 5. Ricavare scritture equivalenti ad una data esplicitando, dov’è possibile, le proprietà applicate (attività sulla struttura delle rappresentazioni additive, moltiplicative, esponenziali) Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A 5. Ricavare scritture equivalenti ad una data esplicitando, dov’è possibile, le proprietà applicate (attività sulla struttura delle rappresentazioni additive, moltiplicative, esponenziali) Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A 6. Completare frasi scritte in linguaggio matematico in cui un punto di domanda sostituisce un segno Riferimenti • Elaborazioni da Prove INVALSI Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica Prima secondaria primo grado Completa le seguenti frasi inserendo un segno al posto del ‘? ’: • • • 0: d=d ? d 153=157 ? 154 73 ? 70× 74 (5+6)× 3=5 ? 3 ? 6 ? 3 5 a>6 a ? 3 a (a N) Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Piano del corso Modena - 15 ottobre 2014 54

Date Incontro Malara Navarra Giorno Data M 0 mar 17. 09 M 1 mer 15. 10 M 2 mar 11. 11 M 3 mar 09. 12 M 4 mar 20. 01 M 5 mer 25. 02 M 6 mar 17. 03 M concl mer 29. 04 Modena - 15 ottobre 2014 55