Modelowanie i identyfikacja 20142015 Technologie modelowania white box

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Podział dziedzin: Teoria systemów, teoria sterowania: badanie zachowania w czasie systemów korzystając z modeli systemów Analiza systemów, modelowanie: budowa modeli znajdujących stosowne zastosowanie Dwa zasadnicze podejścia do modelowania: Oparte na znanych teoriach: model jest wyprowadzany ze znanych praw fizyki, chemii itd. wykorzystując znane zasady matematyki (w skrócie: modelowanie teoretyczne, fenomenologiczne) Oparte na pomiarach: model jest budowany z wykorzystaniem mierzonych w systemie sygnałów (w skrócie modelowanie eksperymentalne, behawioralne, identyfikacja) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Modelowanie fenomenologiczne Modelowanie behawioralne Założenia upraszczające Wiedza aprioryczna o systemie Struktura znana Prawa: 1. równania równowagi 2. równania spójności 3. zależności wiążące Struktura nieznana Eksperyment Identyfikacja Parametryczna Nieparametryczna Model fenomenologiczny (teoretyczny) · Struktura · Parametry Model behawioralny (eksperymentalny) Parametryczny · Struktura · Parametry Upraszczanie Podstawowe działania w procesie modelowania A – ścieżka modelowania behawioralnego (eksperymentalnego) B – ścieżka modelowania fenomenologicznego (teoretycznego) Nieparametryczny B/1 – wykorzystanie działań ścieżki modelowania eksperymentalnego do określenia wartości parametrów Uproszczony model fenomenologiczny 1) Struktura 2) Parametry Porównanie Przypadek B Przypadek A Wynikowy model Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. A/1, A/2 – wykorzystanie działań ścieżki modelowania teoretycznego do określenia struktury modelu Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Działania upraszczające w modelowaniu fenomenologicznym Linear yzacja Cząstkowe równania różniczkowe liniowe Aproksymacja równaniami o paramet rach skupionych Linearyzacja Cząstkowe równania różniczkowe nieliniowe Aproksymacja ró wn a niami o pa rametrach skup ion ych Zwyczajne równania różniczkowe nieliniowe, rzędu n Zwyczajne równania różniczkowe liniowe, rzędu n Redukcj a rzędu Zwyczajne równania różniczkowe liniowe, rzędu < n Przyrównanie pochodnych do zera Równania algebraiczne liniowe R edukcja r zędu Zwyczajne równania różniczkowe nieliniowe, rzędu < n Przyrówna nie po cho dn ych d o ze ra Równania algebraiczne nieliniowe Punkty wejścia procesu modelowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Modelowanie fenomenologiczne · Prawa fizyczne znane · Parametry znane · Liniowe/nieliniowe równania różniczkowe Różne rodzaje modeli matematycznych · Prawa fizyczne znane · Parametry nieznane · Sygnały mierzalne · Równania różniczkowe z estymacją parametrów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. · Reguły fizyczne znane · Struktura modelu nieznana · Parametry nieznane · Sygnały mierzalne · Modele neuronowo/rozmyte z estymacją parametrów Modelowanie behawioralne · Sygnały wejścia/wyjścia mierzalne · Założenie struktury modelu · Modele odpowiedzi impulsowej (transmitancje) · Sieci neuronowe Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Cechy modeli fenomenologicznych i behawioralnych Modelowanie teoretyczne Modelowanie eksperymentalne Struktura modelu wynika z praw natury Struktura modelu musi być założona Możliwe modelowanie zachowań w relacji wejście/wyjście jak i zachowań wewnętrznych (stanu) Tylko zachowania w relacji wejście/wyjście mogą być identyfikowane Parametry modeli są dane jako funkcje własności systemu Parametry modeli są tylko „liczbami”, w ogólności nie są znane związki z własnościami systemu Model jest ważny dla całej klasy procesów rozważanego typu i dla różnych warunków operacyjnych Model jest ważny tylko dla badanego systemu i w przyjętych granicach warunków operacyjnych Parametry modelu nie są znane dokładnie Parametry modelu są bardziej dokładne dla badanego systemu i przyjętych warunków operacyjnych Model może być budowany dla systemów nie istniejących Model może być identyfikowany tylko dla istniejącego systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Cechy modeli fenomenologicznych i behawioralnych – c. d. Modelowanie teoretyczne Modelowanie eksperymentalne Wewnętrzne zachowanie systemu musi być Metody identyfikacji są niezależne od znane i opisywalne matematyczne badanego systemu i mogą zatem być stosowane do wielu różnych systemów Modelowanie jest zwykłe przewlekłym procesem zajmującym dużo czasu Modelowanie jest szybkim procesem, jeżeli istnieją stosowne metody identyfikacji Model może być złożony i szczegółowy Rozmiar modelu może być dostosowany do obszaru zastosowania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Modele dynamiczne typu white – box, czyli modele fenomenologiczne Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym Przypadki, kiedy cele modelowania wymagają budowy modeli dynamicznych: chcemy badać w oparciu o model stany przejściowe (nieustalone) systemu; chcemy przeprowadzać w oparciu o model analizę stabilności, obserwowalności, sterowalności; chcemy generować sterowania systemem w oparciu o predykcję wyjść systemu (sterowanie predykcyjne) ……… Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Propozycja kroków budowy modelu dynamicznego § Krok I: Dokładne określenie systemu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia § Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji systemu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami systemu rzeczywistego § Krok III: Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Krok I Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych – tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych – tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Krok II Idealizowana reprezentacja Pod pojęciem idealizowanej reprezentacji rozumiemy utworzony w myśli system, który odpowiada rzeczywistemu pod względem jego istotnych cech wynikających z celów modelowania, ale jest prostszy (idealniejszy) i dlatego łatwiej poddający się analizie Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Krok III Budowa modelu (struktury) w oparciu o: (a) Wykorzystanie praw zachowania lub innych podstawowych praw o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoff’a, Newtona, zachowania masy, itd. . ) (b) zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Wyprowadzenie równań modelu poprzedzamy: właściwym wyborem zmiennych, które będą opisywać chwilowy stan systemu Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne: przepływu, naporu Zmienne przepływu są zmiennymi systemu, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Zmienne naporu są zmiennymi systemu, które są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu systemu, wyrażają „napór” jakiemu poddany jest element Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Centralne zagadnienie wyprowadzenia równań dynamiki Sformułowanie zależności (równań) wyrażających warunki równowagi , poprzez podanie bilansów wielkości właściwych dla rozważanego systemu, które muszą zachodzić dla całego systemu i jego podsystemów lub zależności (równań) wyrażających warunki spójności dynamiki, które muszą zachodzić pomiędzy elementami systemu ze względu na sposób w jaki elementy te łączą się ze sobą Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoff’a, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle, . . . ) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi spadku (II prawo Kirchhoff’a, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu, . . . ) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Po wyprowadzeniu równań wynikających z praw zachowania rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących wielkości związane z poszczególnymi elementami systemu Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i spadku dla każdego poszczególnego elementu systemu (np. , . . . ) Uwzględniamy również - przyjęte założenia - występujące w systemie tożsamości Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Systematyczny porządek: 1) wybór zmiennych; 2) zestawienie równań równowagi lub spójności; 3) uwzględnienie zależności wiążących, założeń, tożsamości a wynikowe równania zestawiamy w układ, w którym pozostawiamy jedynie wybrane przez nas zmienne niezależne i zależne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Przykłady modelowania fenomenologicznego (teoretycznego) Zawory regulacyjne Pomiar poziomu - Pole powierzchni przekroju obydwu zbiorników A Zbiornik L Zbiornik R - Idealne mieszanie w zbiornikach Mieszadło Pomiar temperatury Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Pole przekroju otwarcia zaworu Av Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 - Równania układu pomiarowego kh, kt – wzmocnienia przetworników pomiarowych - Obydwa zawory mają takie same charakterystyki przepływu i przyjmujemy, że ka – współczynniki przepływu - Prawo zachowania masy dla zbiorników L i R Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - Energia cieplna zgromadzona w objętości zbiorników T 0 - temperatura odniesienia, możemy przyjąć T 0 = 0, wówczas ρ, c – odpowiednio gęstość i ciepło właściwe wody - Dla przepływu przez kryzę – otwór przyjmiemy, że słuszna jest zależność pierwiastkowa ∆P - spadek ciśnienia na kryzie – otworze, Cd - stały współczynnik strat, Ao – pole powierzchni kryzy - otworu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - Ciśnienie hydrostatyczne cieczy na poziomie H poniżej powierzchni Pa - ciśnienie atmosferyczne - Wypływ ze zbiornika R gdzie - Przepływ między zbiornikami L i R przy założeniu: H 1 > H 2 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - Zasada zachowania energii dla zbiornika L i R - Dzieląc przez ρc i różniczkując - Podstawiając Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. oraz Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Całościowy model: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Schemat blokowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Zmienne modelu: - Naturalny wybór zmiennych stanu – wyjścia integratorów - Zakłócenia – pole powierzchni otworu zaworu wypływowego ze zbiornika R, temperatury wody dopływającej - Sterowania – napięcia siłowników zaworów dopływów do zbiornika R Zmienne stanu: Zmienne sterowania: Zmienne zakłócenia: Zmienne wyjścia: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Równania stanu: Równania wyjścia: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Równania stanu nieliniowe: Linearyzacja w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: Dla naszego przykładu: 4 równania – 9 zmiennych ! Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Jeżeli przyjąć np. wartości zmiennych sterowania i zmiennych zakłócenia Sterowania mogą zmieniać się w zakresie 0 – 10 V; Przyjmijmy: Otrzymamy: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - Linearyzacja – zmienne przyrostowe w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: - Linearyzacja – rozwinięcie w szereg Taylor’a w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - Linearyzacja – jakobiany w stacjonarnym punkcie pracy równania stanu: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - Linearyzacja – zlinearyzowane równanie stanu - Linearyzacja – jakobiany w stacjonarnym punkcie pracy równania wyjścia - Linearyzacja – zlinearyzowane równanie wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Dla naszego przykładu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Dla danych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Otrzymamy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Zlinearyzowany model przestrzeni stanu Ogólny schemat blokowy liniowego modelu przestrzeni stanu - ciągłego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Modele liniowe – modele przestrzeni stanu z transmitancji Postać kanoniczna sterowalności (sterownika, regulatora) Transmitancja dana w postaci - wykonujemy pierwszy krok dzielenia wielomianów licznika i mianownika transmitancji - wprowadzamy zmienną pomocniczą Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box otrzymujemy - definiujemy zmienne stanu w dziedzinie zmiennej s - mnożymy każde z definicyjnych wyrażeń przez s i podstawiamy zmienne stanu w prawej stronie wyrażeń Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplace’a ostatnich wyrażeń i wyrażenia na sn. V(s) - równanie stanu w postaci macierzowej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplace’a na równaniu otrzymujemy - równanie wyjścia Uwagi: - terminologiczna: stopień licznika transmitancji = stopień mianownika transmitancji, mówimy transmitancja jest właściwa, system dynamiczny jest właściwy - terminologiczna: stopień licznika transmitancji < stopień mianownika transmitancji, mówimy transmitancja jest ściśle właściwa, system dynamiczny jest ściśle właściwy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Uwagi c. d. : - macierz D – bezpośredniego sterowania pojawia się w modelu przestrzeni stanu tylko dla systemów właściwych; dla systemów ściśle właściwych macierz D nie występuje w modelu przestrzeni stanu - postać kanoniczna sterowalności jest bardzo efektywna w sensie liczby elementów niezerowych macierzy modelu - poza zerami i jedynkami elementy macierzy są takie same jak elementy transmitancji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Schemat blokowy postaci kanonicznej sterowalności systemu SISO Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przykład – silnik prądu stałego Transmitancja w torze droga kątowa - napięcie Dla danych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Schemat blokowy postaci kanonicznej sterowalności Natura fizyczna zmiennych stanu w przykładzie? Odpowiedź - jak powstawał model silnika Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przykład 3 – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - z II zasady dynamiki Newtona Konwencja: - z II prawa Kirchhoff’a lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS 1 wejście: 1 wyjście: 5 zmiennych stanu: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , , Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Przykład 4 – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Teraz Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Transmitancja: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Technologie modelowania – white box Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Przykład 5 – model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Model podsystemu elektrycznego Model podsystemu mechanicznego bez zmian Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Postać kanoniczna obserwowalności Transmitancja dana w postaci - wykonujemy pierwszy krok dzielenia wielomianów licznika i mianownika transmitancji - wprowadzamy zmienną pomocniczą Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box otrzymujemy - definiujemy zmienne stanu w dziedzinie zmiennej s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplace’a dla ostatnich zależności - mnożymy przez s - bierzemy pod uwagę otrzymujemy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - równanie stanu w postaci macierzowej - równanie wyjścia w dziedzinie s stąd - równanie wyjścia w postaci macierzowej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Schemat blokowy postaci kanonicznej obserwowalności systemu SISO Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przekształcenia podobieństwa gdzie, P – nieosobliwa macierz stałych (liczbowa) o wymiarze nxn Korzystając z przekształcenia podobieństwa możemy znaleźć model systemu wyrażony z użyciem nowych zmiennych stanu Możemy napisać: Mnożąc pierwsze równania lewostronnie przez P: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Nowa postać: gdzie, Jedno ze szczególnych przekształceń podobieństwa – związane z wartościami własnymi, wektorami własnymi macierzy A (lub AD) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Równanie charakterystyczne dla modelu systemu po transformacji podobieństwa Wniosek: macierze A i At mają takie same wartości własne Macierze tranzycji a przekształcenia podobieństwa: - system ciągły: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - system dyskretny: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przypadek 1: macierz A ma n różnych wartości własnych rzeczywistych n różnym wartościom własnym odpowiada n liniowo niezależnych wektorów własnych vi Związek wartości własnych i wektorów własnych lub Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Oznaczając diagonalną macierz wartości własnych przez biorąc pod uwagę: macierz A ma n różnych wartości własnych Wniosek: macierz A może być transformowana do postaci diagonalnej za pomocą transformacji podobieństwa czyli Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Model systemu po transformacji gdzie, Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Model systemu po transformacji dla systemu ciągłego dla i – tej zmiennej stanu ! zmienne stanu niezależne od siebie (odsprzężone) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Przypadek 2: macierz A ma wielokrotne wartości własne rzeczywiste Nie można zagwarantować liniowej niezależności wektorów własnych i wówczas macierz M może być osobliwa Postępowanie Jordana dla znalezienia n liniowo niezależnych wektorów własnych Niech wartość własna jest wielokrotna - definiujemy wektory razy rekursywnie przyjmując Tak znalezione wektory własne są nazywane uogólnionymi wektorami własnymi i są liniowo niezależne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box - uogólnione wektory własne tworzą zbiór liniowo niezależnych wektorów gdzie, l jest liczbą różnych wartości własnych oraz - zachodzi gdzie, Macierz blokowo-diagonalna, macierz Jordana Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Blok (klatka) Jordana Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 68

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przypadek 3: macierz A ma wartości własne zespolone Załóżmy, bez utraty ogólności Odpowiadające wektory własne, tez zespolone sprzężone Macierz transformacji Postać kanoniczna Jordana po transformacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 69

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przykład 6 Dany jest model systemu Znaleźć model systemu wykorzystując macierz diagonalizującą wektorów własnych Równanie charakterystyczne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 70

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Wartości własne Wektor własny dla Stąd i Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 71

Technologie modelowania – white box Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Rozwiązanie np. Podobnie Macierz diagonalizująca i odwrotna do niej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 72

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Przekształcenie podobieństwa Technologie modelowania – white box daje nowy model przestrzeni stanu gdzie, Związki pomiędzy zmiennymi stanu Sprawdzić, że zmiana zmiennych stanu nie prowadzi do zmiany transmitancji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 73

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przykład 7 – model małego silnika PS Korzystając z środowiska Matlab/Simulink znajdziemy wartości własne, wektory własne i macierz diagonalizującej transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 74

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Technologie modelowania – white box Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 75

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 76

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przykład 8 Wartości własne Dwukrotna wartość własna Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 77

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Ponieważ istnieje tylko jeden wektor własny związany z Korzystając a Matlab’a możemy policzyć niezależne wektory własne Uogólniony wektor własny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 78

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Macierz transformacji Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 79

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Przykład 9 Wartości własne Korzystając a Matlab’a możemy policzyć niezależne wektory własne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 80

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Macierz transformacji Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 81

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015 Technologie modelowania – white box Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 82