Modelos de Programacin Lineal Charles Nicholson Department of

Modelos de Programación Lineal Charles Nicholson Department of Applied Economics and Management, Cornell University

¿Para qué se utiliza la PL? Respuestas a: n n n ¿Cuál es la composición de dieta composición que minimizaría el costo de lograr cierto rendimiento de leche? (animal) ¿Cuántos animales maximizarían el ingreso neto de un área específica de terreno (recurso de pasto)? (rancho) ¿Cuáles serían los impactos de un cambio en tecnología o una política gubernamental relacionada con los precios en la producción y precio? (mercado, sectorial)

¿Para qué la PL es útil? n Un rango muy amplio de aplicaciones

¿Qué es PL? n n n Una técnica de modelaje matemático Se utiliza para tomar decisiones respecto a la asignación de recursos Pero, antes de discutir esto en más detalle, debemos preguntar: ¿Qué es un modelo?

¿Qué es un modelo? X Modelo de moda X Modelo matemático

¿Qué es un modelo? Aracil (1997) n n Una representación abstracta de… …ciertos aspectos de la realidad q n Estructura basada en elementos seleccionados de la realidad q q n No todos los elementos de ella (¡esto no es posible!) Elementos elegidos para un propósito particular Para dar respuesta a un interrogativo en particular Relaciones entre los elementos

¿Por qué los modelos matemáticos son útiles? n A veces revelan resultados o relaciones que no serían evidentes de otra manera q n Un complemento—no un sustituto—para nuestros “modelos mentales” Permite un análisis de “experimentos” que serían muy caros, peligrosos o imposibles de otra forma q q Pocos experimentos controlados posibles para los sistemas socio-económicos Nuevas tecnologías o políticas para pequeños productores

Críticas de modelos n “No cuentan con todos los factores relevantes” q q q n Un diseño inteligente lo puede resolver Los modelos no pueden, ni deberían, incluir “todo” “Todos los modelos son imprecisos, algunos son útiles” “Con frecuencia los datos para modelos cuantitativos son inadecuados” q q Imprecisión en los datos →resultados menos confiables Especificar suposiciones inteligentes cuando hacen falta observaciones Utilizar “análisis de sensitividad” para evaluar importancia Utilizar el modelo para identificar los datos prioritarios

Críticas de modelos, a continuación n “Modelaje no es ‘Ciencia’” q q Creencia: “Solamente experimentos controlados son válidos” Muchos métodos de evaluación de modelos existen para mejorar su utilidad como herramientas de apoyo de decisiones

Modelaje en perspectiva…. n n En muchas situaciones, se debe tomar una decisión importante con información incompleta. Dos elecciones: q q n Tomar la decisión con base solamente en intuición, o “modelos mentales” Tomar la decisión con base en múltiples fuentes de información, inclusive modelos cuantitativos La segunda elección conduce a mejores resultados

¿Qué es PL? n n n Un tipo de modelo matemático específico Maximiza o minimiza una cantidad específica, a través de Selección de valores para las variables, Sujeto a una o más restricciones, Todas las ecuaciones son lineales

Ejemplo: elección de productividad de vacas n ¿Cuál rendimiento (leche, kg/año) maximiza 2000 2500 Recurso el margen neto con 1500 los recursos disponibles? kg/año del rancho Margen neto, $/vaca/año 900 1250 1400 -- Pasto requerido, ha/vaca/año 1. 0 1. 5 2. 0 15. 0 Mano de obra requerido, ETC/vaca/año 0. 20 0. 25 0. 40 2. 0

Función objetiva Maximizar Margen Neto: Margin Neto = 900*Número de vacas con 1500 kg/año + 1250*Número de vacas con 2000 kg/año + 1400*Número de vacas con 2500 kg/año

Restricción de área en pastos El total requerido de potreros tiene que ser menos de la cantidad de terreno disponible en pastos 1. 0*Número de vacas con 1500 kg/año + 1. 5*Número de vacas con 2000 kg/año + 2. 0*Número de vacas con 2500 kg/año ≤ 15 ha, el total disponible en el rancho

Restricción de mano de obra El total de mano de obra requerido tiene que ser menos que la disponibilidad de mano de obra 0. 20*Número de vacas con 1500 kg/año + 0. 25*Número de vacas con 2000 kg/año + 0. 40*Número de vacas con 2500 kg/año ≤ 2 ETC, total disponible en el rancho

Formulación como un problema de PL 900* Vaca 1500 + 1250* Vaca 2000 + 1400* Vaca 2500 Recurso del rancho Restricción de pasto, ha 1. 0* Vaca 1500 + 1. 5* Vaca 2000 + 2. 0* Vaca 2500 ≤ 15 Restricción de mano de obra, ETC 0. 20* Vaca 1500 + 0. 25* Vaca 2000 + 0. 40* Vaca 2500 Maximizar Función Objetiva Z = Subjeto a: Variables, coeficientes de la función objetiva, recursos, requerimientos de recursos por unidad ≤ 2

Problema de PL genérico c 1*x 1 + c 2*x 2 + c 3*x 3 Recurso del rancho Restricción 1 a 11*x 1 + a 12*x 2 + a 13*x 3 ≤ b 1 Restricción 2 a 21*x 1 + a 22*x 2 + a 23*x 3 ≤ b 2 Maximizar Función Objetiva Z = Sujeto a: Variables (actividades) xi, coeficientes de la función objetiva cj, recursos bi, requerimientos de recursos por unidad aij

Solución del problema PL n n Hay muchos algoritmos y programas disponibles “Solver” en Excel es bueno y accesible Anteriormente, se enfocó en los cálculos, pero ahora es menos necesario con los programas disponibles Haremos un ejercicio con Solver en Excel

Solución del problema PL 900*0 + 1250*8 + 1400*0 Recurso del rancho Restricción de pasto, ha 1. 0*0 + 1. 5*8 =12 + 2. 0*0 <15 Restricción de mano de obra, ETC 0. 20*0 + 0. 25*8 =2 + 0. 40*0 Maximizar Función Objetiva Z =10, 000 Sujeto a: Solución primaria: 8 vacas con 2000 kg/año =2

Información adicional del modelo PL n ¿Cuáles restricciones son “limitantes”? q q “Limitante” significa que se satisface la restricción exactamente En este caso, la mano de obra es el recurso limitante, no la tierra

Información adicional del model PL n “El precio sombra” del recurso q q El cambio en la función objetiva al incrementar por una unidad la cantidad de recurso Indica un valor numérico que describe la importancia de la restricción en el recurso (¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional del recurso? ) En este caso, una unidad adicional de mano de obra aumentaría por 5000 el margen neto Si la restricción no es limitante, el precio sombra es igual a cero

Información adicional del model PL n “Reducción en costo” de una actividad q q Cantidad que cambiaría la función objetiva si una unidad de “actividad” no parte de la solución original está obligado a ser parte de ella Si elige vacas de 2500 kg de leche, la función objetiva se reduce en 600 de su valor máximo

Algunos retos con PL n ¿Cuál es la función objetiva correcta? q q n Depende de los objetivos de los productores Puede que no sea maximizar el margen neto Minimizar riesgo (Programación de riesgo) Objetivos múltiples (Programación de criterios múltiples) ¿Los problemas de rancho son lineales? q q q Muchas veces, no lo son Los problemas no-lineales pueden ser formulados Más difíciles de resolver (aproximaciones lineales)

Algunos retos con PL, a continuación n ¿Y los problemas dinámicos? q q q n Muchos problemas traen efectos de temporada del año Tiempo requerido para la implementación de tecnología nueva Se pueden utilizar métodos de programación multiperiodica o dinámica ¿Los productores optimizan? q q Probablemente no, pero los modelos PL pueden proveer una pauta de comportamiento (si lo hicieran) Los métodos alternativos se dirigen hacia esto