MODELLO DI DIFFUSIONE DI UNA MALATTIA INFETTIVA Modello

MODELLO DI DIFFUSIONE DI UNA MALATTIA INFETTIVA Modello di Bernoulli (1760) Introdotto per valutare l’efficacia dell’inoculazione come protezione del vaiolo • Due popolazioni all’inizio identiche: con • sopravvissuti al tempo t di una popolazione che non subisce contatto con il virus • sopravvissuti al tempo t di una popolazione che viene in contatto con il virus Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

Problema Confronto dei sopravvissuti nelle due popolazioni studio della funzione: Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

IPOTESI 1. del modello di Bernoulli La popolazione di mortalità diminuisce solo in base al tasso naturale tasso di mortalità naturale 2. Un individuo infettato ha solo due possibilità: muore o si immunizza I sopravvissuti della popolazione infettata sono formati dagli individui Suscettibili ( cioè quegli individui che possono essere infettati ) e da quelli già immunizzati ( Rimossi) In questo modello non si considerano gli Infettivi, cioè quegli individui in grado di diffondere l’infezione. Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

3. 4. La proporzione di individui che hanno contratto il vaiolo e non muoio ma si immunizzano è costante Il numero di individui colpiti dal vaiolo è proporzionale ai Suscettibili Velocità di infezione Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

Studio della popolazione (sopravvissuti tra gli infettati) diminuisce per morte naturale e per infezione secondo l’ipotesi 3 morte naturale Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia infezione

diminuisce per morte naturale e aumenta secondo l’ipotesi 2 si sono ammalati morte naturale Sommando Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia frazione di ammalati che non sono morti ma immunizzati

segue la legge: numero di individui che pur essendo venuti in contatto con il virus sono sopravvissuti E’ possibile ora eseguire il confronto tra le due popolazioni, cioè è possibile studiare la funzione: Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

Per trovare l’espressione della funzione : ricaviamo l’equazione differenziale di cui essa è soluzione. Per confrontare i sopravvissuti non infetti con i sopravvissuti venuti in contatto con il virus, studiamo come varia nel tempo il loro rapporto : Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

Se si riuscisse ad esplicitare il termine lineare a variabili separabili … Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia si ridurrebbe ad una equazione differenziale

Studio del termine proporzione di individui ancora viventi che non hanno contratto il virus E’ tecnicamente più conveniente valutare il reciproco: Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

In conclusione: all’inizio tutta la popolazione che viene in contatto col virus è suscettibile di ammalarsi Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

Ricordando che Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

Calcolo di eq. differenziale lineare Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia

Risolvendo: • non dipende da tasso di mortalità • dipende da cioè dal potere di immunizzazione e dalla velocità d’infezione Il modello prevede che il rapporto tra i sopravvissuti nelle due popolazioni si stabilizzi al valore Il tempo impiegato per stabilizzarsi dipende da Lucia Della Croce – Matematica applicata alla Biologia