Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet

Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)

Funzioni e calcolabilità Lezione 2

Cos’è una funzione Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi D e C tale che, ad ogni elemento x di D preso come argomento, f associa uno e un solo elemento y di C come valore. Di solito si scrive f(x) = y per indicare la corrispondenza tra un elemento x D e un elemento y C

Funzioni: Dominio e Codominio D C Dominio: l’insieme D da cui una funzione f assume i suoi argomenti Codominio: l’insieme C da cui una funzione f assume i suoi valori f: D C

Esempi Le seguenti corrispondenze sono funzioni: – Data una persona, associare l’altezza – Data una regione italiana, associare il capoluogo di regione Le seguenti corrispondenze non sono funzioni: – Data una persona, associarle i suoi nonni – Data una regione Italiana, associarle le città capoluogo di provincia che si trovano nel suo territorio

Specifica di una funzione ● ● Una funzione non è determinata soltanto dall’operazione richiesta per associare un argomento a un valore, ma anche dalla determinazione di dominio e codominio Per esempio, la funzione f(x) = x 2 + 4 Può essere di tipo R R o di tipo N N

Funzioni a più argomenti Ovviamente una funzione può avere più di un argomento. Per esempio, la somma è una funzione che associa a una coppia di numeri un valore che corrisponde alla loro somma: f(x, y) = x + y e si scrive f : N × N N o anche f : N 2 N (da coppie di numeri a numeri)

Definizione insiemistica delle funzioni Una funzione può essere vista come un insieme di coppie ordinate: f D ×C In altri termini, una funzione è un insieme di coppie (x, y) tali che: – x D – y C – f(x) = y

Esempio Prendiamo la seguente funzione N N: f(x) = 2 x Essa può essere descritta come il seguente insieme di coppie ordinate: (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), …

Problemi ● A che funzione corrisponde l’insieme di coppie seguente? (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), … ● I seguenti insiemi di coppie corrispondono a una funzione o no? (0, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 5) (0, 1), (1, 2), (3, 2), (4, 1)

Rango di una funzione Chiamiamo rango l’insieme dei valori di una funzione. D C Rango Dominio Codominio

Funzioni suriettive Definizione. Una funzione f : D × C si dice suriettiva sse il suo rango coincide con l’intero codominio C, ovvero: per ogni y C esiste sempre un x D tale che f(x) = y

Funzioni iniettive Definizione. Una funzione f : D × C si dice iniettiva sse a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio, ovvero: per ogni x 1, x 2 D, se x 1 x 2 allora f(x 1) f(x 2 )

Funzioni biiettive Definizione. Una funzione suriettiva e iniettiva si dice biiettiva (o corrispondenza biunivoca) Esercizio: dimostrare che una funzione suriettiva e iniettiva non può non essere una corrispondenza biunivoca.

Funzione inversa Definizione. Data una funzione biiettiva f : D × C, si dice funzione inversa di f (e si scrive f-1) la funzione f-1 : C × D tale che: f-1(y) = x sse f(x) = y Dimostrare che una funzione non biiettiva in genere non può avere una funzione inversa.

Funzione identità Definizione. Dato un qualsiasi insieme D, la funzione f : D × D si dice funzione identità sse: f(x) = x La funzione identità di indica con ιD

Funzione composta Definizione. Date due funzioni f : A B e g : B C (ovvero, il codominio della prima è dominio della seconda), si può definire una funzione h : A C tale che, per ogni a A, h(a) = g(f(a)). Tale funzione h è chiamata funzione composta di f e g. La funzione composta di f e g si indica anche con la notazione f g

Osservazione Data una funzione biiettiva f : D C, essa può sempre essere composta con a sua inversa f-1 e si ottiene quanto segue: f-1 f = ιD e f f-1 = ιC

Funzioni calcolabili Definizione. Dato un algoritmo A, si dice che esso calcola una funzione f : D C sse, per ogni x D, f(x) = y sse A produce l’output y dato x come input. Definizione. Si dice che una funzione è calcolabile in modo algoritmico (o effettivamente calcolabile) sse esiste un algoritmo che la calcola.

Funzioni e algoritmi ● ● Una funzione non va confusa con l’algoritmo che la calcola! La stessa funzione può essere calcolata da molti algoritmi diversi. Esercizio: scrivere almeno due algoritmi per riordinare un array di elementi.

Predicati e relazioni come funzioni Cos’è una proprietà? Cos’è una relazione tra oggetti? Domande che hanno torturato i logici per millenni … G. Frege ha dato una risposta che ha rivoluzionato la logica del ‘ 900.

Proprietà come funzioni Dato un dominio D di oggetti, una proprietà può essere definita come: P : D V, F Intuizione: per ogni x D – se P(x) = V, allora x ha la proprietà P – se P(x) = F, allora x non ha la proprietà P

Proprietà come sottoinsiemi di D Ma allora una proprietà coincide con il sottoinsieme A di D tale che: A = x D | P(x) = V Una funzione come P(x) viene chiamata una funzione proposizionale. NB: se D è infinito, le proprietà sono strettamente più numerose delle funzioni proposizionali!

Relazioni come funzioni Dati due insiemi D 1 e D 2, una relazione può essere definita come una funzione: P : D 1 × D 2 V, F Intuizione: per ogni <d 1, d 2> D 1 × D 2, – se R(d 1, d 2) = V, allora d 1 è in relazione R con d 2 – se R(d 1, d 2) = F, allora d 1 non è in relazione R con d 2

Relazioni come sottoinsiemi di D 1 × D 2 Ma allora una proprietà coincide con il sottoinsieme A di D 1 × D 2 tale che: A = <d 1, d 2> D 1 × D 2 | R(d 1, d 2) = V Se D 1 e D 2 sono lo stesso insieme, allora si dice che R D 2 Il tutto si può generalizzare a funzioni n-arie.

Decidibilità di proprietà Definizione. Una proprietà è decidibile rispetto a un insieme D sse esiste un algoritmo che, per ogni x D, sia in grado di stabilire se x ha non ha la proprietà in questione. Esempi di proprietà decidibili: – n è un numero pari, n è un numero primo, … – x è una tautologia in logica proposizionale

Decidibilità di relazioni Definizione. Una relazione è decidibile rispetto a un dominio D sse esiste un algoritmo che, per ogni x, y D, sia in grado di stabilire se x e y sono o non sono nella relazione in questione. Esempi di proprietà decidibili: – Nel dominio dei numeri naturali: m è maggiore di n, m è il quadrato di n, … – In logica proposizionale: x è conseguenza logica di Γ

Decidibilità di insiemi Definizione. Una insieme A in un dominio D è decidibile sse lo è la relazione di appartenenza ad A, cioè se esiste un algoritmo che, per ogni x D, sia in grado di stabilire se x appartiene o meno all’insieme A.

Osservazione La decidibilità di proprietà e relazioni è riconducibile alla decidibilità dei corrispondenti insiemi. Esempi: – “x è pari” è decidibile sse lo è l’insieme: P = x N | x è pari – “x è minore di y” è decidibile sse lo è l’insieme: M = <x, y> N 2 | x è minore di y

Decidibilità e calcolabilità Esiste un’ovvia relazione tra calcolabiltà delle funzioni e decidibilità dei predicati (relazioni). Infatti, il problema di stabilire se un predicato (o una relazione) è decidibile può essere ricondotto alla calcolabilità della corrispondente funzione caratteristica.

Funzioni caratteristiche Sia R(x 1, …, xn) una relazione a n argomenti. La sua funzione caratteristica è una funzione f. R con lo stesso numero di argomenti, avente come codominio l’insieme 0, 1 , così definita: 0 f. R (x 1, …, xn) = 1 se R(x 1, …, xn) è vera se R(x 1, …, xn) è falsa Se R è decidibile, allora f. R è calcolabile (e viceversa)

… e perciò … … è sufficiente limitarsi a trattare il problema della calcolabilità delle funzioni. Infatti: Un predicato è decidibile sse la sua funzione caratteristica è calcolabile

Funzioni di codifica Definizione. Dato un insieme A, si dice codifica di A una qualsiasi funzione φ : A N che sia iniettiva, calcolabile e tale che sia calcolabile anche la funzione inversa φ-1 Iniettività: garantisce che a elementi diversi di A corrispondano diversi numeri naturali Calcolabilità: garantisce che la codifica (decodifica) sia effettiva.

Calcolabilità e funzioni aritmetiche Una funzione è calcolabile sse lo è la funzione aritmetica sui rispettivi codici. dominio φ funzione generica codifica numeri codice valori di decodifica funzione aritmetica χ φ-1 valori di χ

Funzioni parziali Definizione. Una funzione φ : D C si dice parziale sse associa uno ed un solo elemento di C a ciascun elemento di un sottoinsieme E di D, detto campo di esistenza. D C Campo di esistenza Dominio Rango Codominio

… inoltre … ● ● ● Se x D – E, si dice che φ è indefinita in x, e si scrive φ(x) = Se φ(x) = , allora si dice che φ diverge in x Se x E, allora φ(x) apparterrà a C e si dice che φ converge in x

… ● ● ● Le funzioni totali sono funzioni parziali il cui E coincide con D La funzione totalmente indefinita è una funzione il cui campo di esistenza è L’inversa di una funzione iniettiva φ è normalmente una funzione parziale in cui E coincide con il rango di φ [questo è il tipico caso delle funzioni di codifica!]

Calcolabilità delle funzioni parziali Definizione. Una funzione parziale φ : D C con campo di esistenza E è effettivamente calcolabile sse esiste un algoritmo A tale che: a) se x E e φ(x) = y, allora A con input x produce y come output b) se x D - E (ossia φ(x) = ), allora A con input x non produce alcun output

Cosa vuol dire “non produce nessun output”? Se x D - E (cioè φ(x) = ), un algoritmo A per φ con input x può comportarsi in due modi diversi: i. A termina senza dare alcun risultato ii. A non termina mai Cfr. esempi in Figura 2. 7 (pag. 79).

Conseguenza Una funzione parziale per la quale esiste un algoritmo che termina sempre sui valori indefiniti può sempre essere trasformata in una funzione totale come segue: 1. se x E e φ(x) = y, allora l’output di un algoritmo A che calcola φ sarà y 2. se x D – E, allora l’output di A sarà un qualsiasi valore convenzionale * Se tutte le funzioni parziali fossero così, non ci sarebbe bisogno di introdurre le funzioni parziali!!

Invece … … non sempre questo “gioco” si può fare. Immaginiamo di estendere una funzione parziale calcolabile φ a una funzione totale φ’ che: 1. Se φ è definita per x, e φ(x) = y, allora φ’(x) = y 2. Se φ è indefinita per x, e quindi φ(x) = , allora φ’(x) = * Problema: φ’ potrebbe non essere più calcolabile!

Com’è possibile? Immaginiamo che il campo di esistenza E corrisponda a un insieme di numeri non decidibile Allora, stabilire se un certo input x appartiene o non appartiene ad E non è un problema decidibile Come vedremo meglio, esistono insiemi di numeri che non sono decidibili Per cui in generale non è possibile ridurre le funzioni parziali a funzioni totali

Insiemi effettivamente enumerabili Definizione. Un insieme I contenuto in un dominio D si dice effettivamente enumerabile sse (i) I è l’insieme vuoto, oppure (ii) I è il rango di una funzione calcolabile totale di tipo φ : N I. Cioè, φ associa ad ogni numero naturale un elemento di I (le ripetizioni sono ammesse). Pertanto, la successione φ(1), φ(2), φ(3), … contiene tutti e soli gli elementi di I. Si dice che φ enumera in modo effettivo gli elementi di I.

Predicati effettivamente enumerabili Definizione. Un predicato P(x) è effettivamente enumerabile se lo è l’insieme A = x D | P(x) Questa definizione si può facilmente estendere alle relazioni con qualunque numero di argomenti

Osservazione ● Se un insieme I (o un predicato P) è decidibile, allora è anche effettivamente enumerabile

… tuttavia … … non necessariamente vale il viceversa!! Esistono infatti insiemi I effettivamente enumerabili che non sono decidibili. [Esempi saranno presentati più avanti]

Semi-decidibilità Un insieme A è effettivamente enumerabile sse la sua funzione caratteristica f. A è calcolabile parziale con campo di esistenza A: f. A (x) = 0 se x A (indefinito) Siccome il corrispondente algoritmo calcola un valore solo nel caso positivo, si dice che gli insiemi (predicati) effettivamente enumerabili sono semi-decidibili.