Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni risolvibili per scomposizione Ogni equazione polinomiale del tipo E(x) = 0 di grado n > 2 si può risolvere solo se il polinomio E(x) è scomponibile in fattori al più di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di annullamento del prodotto. ESEMPIO Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo: Trasportiamo tutti i termini al primo membro: Raccogliamo (x 2 − 8) a fattor comune: Applichiamo la legge di annullamento del prodotto: continua 1

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni risolvibili per scomposizione Risolvendo la prima equazione otteniamo: Risolvendo la seconda otteniamo: L’insieme delle soluzioni è quindi: 2

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni binomie Un’equazione si dice binomia se si può scrivere nella forma dove n è un intero positivo e k un numero reale. Per risolvere un’equazione binomia si applica la definizione di radicale: u se n è pari l’equazione ammette: • due soluzioni opposte se k > 0 : • una soluzione nulla se k = 0 • nessuna soluzione se k < 0 u se n è dispari l’equazione ammette: • una soluzione per qualsiasi valore di k : 3

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni binomie ESEMPI 1. Ricordando la definizione di radice cubica si ottiene: 2. Ricordando la definizione di radice di indice pari otteniamo: 4

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni trinomie Un’equazione si dice trinomia se si può scrivere nella forma dove n è un intero positivo e gli esponenti dell’incognita sono uno il doppio dell’altro. Se n = 2 si ottiene ax 4 + bx 2 + c = 0 e l’equazione è detta biquadratica. Per risolvere l’equazione trinomia ax 2 n + bxn + c = 0 • si opera la sostituzione di variabile xn = t • si risolve l’equazione di secondo grado in t così ottenuta at 2 + bt + c = 0 • Indicate con t 1 e t 2 le due soluzioni, se esistono reali, si risolvono le due equazioni binomie xn = t 1 ∨ xn = t 2 5

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni trinomie ESEMPIO Risolviamo l’equazione Essendo n = 2 l’equazione è biquadratica. Operando la sostituzione x 2 = t otteniamo 2 t 2 − t − 3 = 0 Risolviamo ora l’equazione ottenuta nell’incognita t: Operando poi la sostituzione inversa si ha: da cui impossibile Dunque 6

Disequazioni di grado superiore al secondo Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica. ESEMPIO Scomponiamo il polinomio al primo membro: Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: 3 R segno di x 2 + 1 + + segno di x − 3 − + prodotto − + S 7

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni irrazionali Si dice irrazionale un’equazione che contiene radicali nei cui argomenti compare l’incognita. Esempi: • sono equazioni irrazionali • non sono equazioni irrazionali e e Per risolvere un’equazione irrazionale bisogna eliminare i segni di radice e per far questo è necessario elevare a potenza i due membri dell’equazione. Ricordiamo che: Non esiste un principio di equivalenza che afferma che l’equazione A(x) = B(x) è equivalente all’equazione [A(x)]n = [B(x)]n per qualsiasi valore di n. Si può affermare che: u un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza pari non conduce in generale a un’equazione equivalente a quella data u un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza dispari conduce sempre a un’equazione equivalente a quella data. 8

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni irrazionali Le equazioni irrazionali con un solo radicale possono essere ridotte alla forma: Il caso n dispari Se n è dispari, basta elevare a potenza n entrambi i membri; il caso più frequente è quello in cui n = 3: ESEMPIO Isoliamo il radicale al primo membro: Eleviamo al cubo e svolgiamo i calcoli: Scomponiamo: 9

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni irrazionali Il caso n pari Se n è pari, e il caso più frequente è n = 2, abbiamo a disposizione due metodi risolutivi: Primo metodo • Risolvere l’equazione Secondo metodo • Risolvere il sistema • Procedere alla verifica delle soluzioni 10

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Equazioni irrazionali ESEMPIO Secondo metodo Primo metodo • Per la condizione di equivalenza deve essere • Eleviamo al quadrato: • Sviluppiamo i calcoli: e questo insieme rappresenta l’insieme di accettabilità delle soluzioni. • Risolviamo: • Verifichiamo sostituendo nell’equazione: L’equazione polinomiale che si ottiene elevando al quadrato è la stessa del primo metodo. Delle due soluzioni trovate non è soluzione non è accettabile perché non è maggiore di La soluzione è quindi . 11

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Disequazioni irrazionali Le disequazioni sono equivalenti rispettivamente a ESEMPIO continua Eleviamo al cubo entrambi i membri: Svolgiamo i calcoli e risolviamo: Primo fattore: Secondo fattore: Sempre positivo 12

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Disequazioni irrazionali ESEMPIO Tabella dei segni 3 R − + + + − + Soluzione 13

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Disequazioni irrazionali La disequazione è equivalente al sistema 14

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Disequazioni irrazionali ESEMPIO Impostiamo il sistema 15

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Disequazioni irrazionali La disequazione è equivalente ai due sistemi Se S 1 è l’insieme delle soluzioni del primo sistema e S 2 è l’insieme delle soluzioni del secondo, l’insieme delle soluzioni della disequazione è 16

Modelli di grado superiore al secondo e irrazionali Disequazioni irrazionali ESEMPIO Impostiamo i due sistemi: 17