Modellbildung in der Geokologie G 5 103 SS
Modellbildung in der Geoökologie (G 5, 103) SS 2004 - 29. 4. Einführung, Modelle, Modellklassen 6. 5. Zustandsmodelle, Rekursion 13. 5. Phänomenologie, zelluläre Automaten 27. 5. Populationsmodelle (FK) 3. 6. Individuenbasierte Modelle (FK) 17. 6. Transportgleichungen und -modelle 24. 6. Konzeptionelle Modelle der Hydrologie 1. 7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation 8. 7. Modelle zur Gewässerversauerung 15. 7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie 22. 7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK) - 1 -2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)
R. Rosen (1991): • „The central concept of Newtonian mechanics, from which all others flow as corollaries or collaterals, is the concept of state, and with it, the effective introduction of recursion as the basic underpinning of science it self. “
Allgemein: Rekursion • r: Startwert aus der Def. Menge • T: Abbildung über einer Menge • f(n): Funktion, die durch die Abbildung und den Startwert erzeugt wird
Beispiel: Rekursion in der Fibonacci Reihe • Rosen (1991): „This apparently trivial situation is the germ on which the state concept and hence contemporary physics rests. “ • Der nächste Schritt besteht darin, den zweiten Zeitpunkt zu beseitigen
Kausalität bei Aristoteles: Antworten auf die Fragen „Warum f(n)“ ? 1. Materieller Grund: Anfangswert 2. Effektiver Grund: Abbildung T 3. Formaler Grund: Exponent n 4. Finaler Grund: (nicht mehr erlaubt) Kausalität manifestiert sich durch Zustandsübergänge
Taylors Theorem: Für eine reelle, stetige und differenzierbare Funktion gilt: Die Werte einer Funktion an einem Punkt (t 0) bestimmen das Verhalten in dessen Umgebung (t+h)
Beispiel für eine rekursive Funktion Von dieser Funktion stellen wir eine Reihe von Chroniken her und finden eine Taylor Reihe:
Historisches Beispiel: Ansätze für Bewegungsmodelle Newton – Kraft zur Veränderung von Bewegung – Bewegung als Zustand – Anfangsbedingungen legen Entwicklung fest – abstraktes Modell – idealisierte Experimente
Zustandsysteme • Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische Systeme) • Diskrete Zustände (Diskrete dynamische Systeme), z. B. : - Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret) - Zelluläre Automaten ( “ )
Kontinuierliche dynamische Systeme Def. : Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobei f eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist. Es gilt (Bewegungsgleichung) ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum, Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom: durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest (Determinismus)
Zustände eines dynamischen Systems Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)? Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben: Die Menge der Zustandsgrößen sind genau die, deren Werte man alle kennen muss, um das Verhalten des Systems in der nahen Zukunft vorhersagen zu können. (? ) Zustandsvektoren sind nicht eindeutig. Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n des Zustandsraums zu finden ist i. a. sehr schwierig. (Ist n z. B. unendlich? )
Zustandsbeschreibung von Systemen Folgende Elemente werden benötigt: • • • Zustandsvektor Eingangsvektor Parametervektor Ausgabevektor Systemfunktion Ausgangsfunktion
Zeitkontinuierliche Systeme beschrieben durch DGL 1. Ordnung Zustandsgleichung Ausgangsgleichung Beispiel: Fallende Masse mit Luftreibung Theorie: Lösungen sind stetig und diff. bar, jeder Zeitpunkt kommt vor Praxis: Diskretisierung erforderlich, nur diskrete Zeitpunkte, Diskretisierungsfehler
Laplace (1749 -1827): „Ein Geist, der für einen Augenblick alle Kräfte kennte, welche die Natur beleben, und die gegenseitige Lage alle Wesenheiten, aus denen sie besteht, müsste, wenn er umfassend genug wäre, um all diese Dinge der mathematischen Analyse unterwerfen zu können, in derselben Formel die Bewegung der größten Himmelskörper und des leichtesten Atoms begreifen, nichts wäre ungewiss für ihn, und Zukunft wie Vergangenheit läge seinem Auge offen da. “
Modellierung von Systemen Zitat Bjerkenes (aus Smith & Smith 1999)
aktueller Ansatz (Schellnhuber) An autonomous willpower is required. . . which intervenes from outside. . . The Global Subject transcends the sum of the physical individual desires and impulses of all elements of A as a result of a selfreferential process. Mit den Bestandteilen: • Erde • Ökosphäre • Menschliche Sphäre • Globales Subjekt – B: Brain – V: Values – M: Management (konstante Menge an Optionen)
Annahmen The simplifying assumption of the time invariance of {M} is justified by two reasons: 1. We remain in the structural framework of conventional control theory 2. Management strategies are long-term in character
Die Anwendung Each M(t) represents a certain time sequence of management modules that can be activated. . . In order to achieve. . . a direct intervention into the biogeophysical metabolism of N ( „Geo-engineering“) M(t) may also represent indirect measures, e. g. regulatory laws, etc. Pfadbündel von möglichen Zukünften Dabei ist der Zustand des Globalen Subjekts nach Außen verlegt und wird als nicht-berechenbar betrachtet
Die physikalische und metaphysikalische Dimension des Erdsystems (Schellnhuber 1998) About the nature of the Global Subject: „. . . which is just as unreal as „the life“ of an organism composed of millions of molecules. . . „
Zustands-Konzept: Übertragen auf die gesamte Geo- und Biosphäre Schellnhuber in Nature: 2. 1999 Figure 3 A 'theatre world' for representing paradigms of sustainable development. The space of all conceivable co-evolution states P=( N, A). . .
Gibt es ökologische Naturgesetze ? • Auf einer Tafel im Fichtelgebirge: „Alles Leben in einer Hecke steht miteinander in Verbindung. Es unterliegt einem andauernden natürlichen Kreislauf. Dieser ist so ausgereift, dass ohne Eingriffe von außen keine einzelne Art überhand nimmt. . . “ „Man spricht vom natürlichen Gleichgewicht – einem Naturgesetz“
Evolution und Mechanismus • Dobhansky (1941): Nichts in der Biologie macht Sinn, außer im Lichte der Evolution. • Review zur „Evolution“ in Science (1999): Evolution ist der Mechanismus, der die Diversität des Lebens produziert. • Rosen (2000): Die Beziehung zwischen Biologie und Mechanismen war stets problematisch, sie bis heute aber immer einflussreicher geworden.
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