Modeli repova ekanja podruje primjene Efos Uvod esti

Modeli repova čekanja (područje primjene Efos)

Uvod • Česti i svakodnevni problem - red čekanja • Primjer – Ekonomski fakultet u Osijeku – EFOS. • Problem redova čekanja pojavljuje se u slučajevima kada studenti kojima je potrebna usluga moraju čekati prije nego što budu usluženi od strane Ekonomskog fakulteta. • Nastajanje redova čekanja izazvano je: – neizvjesnošću dolaska studenata po usluge – pretjeranim „zasipanjem“ šaltera referade u istom vremenskom periodu

Elementi u sustavu repova • Osnovni elementi modela repova čekanja su KLIJENT I SERVER, odnosno onaj koji traži uslugu i onaj koji je daje, tj. pruža

Elementi u sustavu repova • Pod IZVOROM KLIJENATA podrazumijeva se skup svih potencijalnih klijenata koji dolaze na mjesto vršenja specifične usluge • Beskonačni skupovi su svi oni koji, uvjetno, nemaju nikakvo ograničenje u pogledu broja klijenata (npr. studenti koji čekaju na ispis potvrde sa studomata, knjižnica na Efosu, studentska kantina, studentski restorani za prehranu i sl. ) • Konačni skupovi su svi oni u kojima je ograničen pristup uslugama; potencijalni skup se ne može širiti, već nazočni klijenti svojim zahtjevima eliminiraju dolazak novih (npr. tajnica može usluživati ograničen broj studenata)

Elementi u sustavu repova • Jedan od važnih elemenata predstavljaju i DOLASCI KLIJENATA • Dolasci klijenata nastaju kada potencijalni klijent osjeti potrebu za određenom vrstom usluge (npr. studenti će otići u referadu kada budu imali potrebu za izdavanjem potvrde, računala iz informatičke učionice bit će odvežena na popravak kada se pokvare i sl. ) • Klijenti mogu biti ljudi (studenti, profesori. . . ) i “ne-ljudi” (računala, indeksi. . . )

Elementi u sustavu repova • Dolasci klijenata: mogu dolaziti pojedinačno ili u grupama • Dolasci su neredoviti i slučajni te nije moguće precizno odrediti potražnju za uslugama sve dok se ona stvarno i ne očituje • Red čekanja ovisi o tome kako klijenti pristižu i kolika je brzina obavljanja usluge • Usluga će ovisiti o : • broju uslužnih mjesta, • o broju usluga koje treba izvršiti i • o vremenu potrebnom za obavljanje usluge • Klijent napušta sustav tek kada dobije željenu uslugu. Izlaz, kao zadnja faza u sustavu, predstavlja ili neposredno vraćanje u izvor klijenata, ili izlaz iz skupa potencijalnih klijenata.

Klasifikacija sustava repova • Postoji više modela repova čekanja koji mogu odgovarati nekom određenom stvarnom stanju, ali i ne moraju jer u stvarnosti postoje situacije koje su daleko kompliciranije od matematičkih modela • Da bi se ustanovilo odgovara li neki stvarni slučaj teoretskom modelu, potrebno je odgovoriti na sljedeća pitanja: • Postoji li samo jedno ili više mjesta usluga? • Postoji li samo jedna vrsta usluga ili više uzastopnih usluga koje se moraju obaviti? • Da li jedinice koje zahtijevaju usluge stižu po nekom pravilu ili sasvim slučajno? • Da li je vrijeme usluga ujednačeno ili svaka usluga ima različito trajanje?

Klasifikacija sustava repova a) Red u studentskoj kantini gdje postoji samo jedna blagajna. b) Posudba knjige u knjižnici c) Podizanje potvrde u studentskoj referadi

Klasifikacija sustava repova d) Referada sa više referenata, svaki sa svojim repom e) Proces upisa na fakultet f) Priznavanje ocjena prilikom prebacivanja sa drugog fakulteta

Modeli repova čekanja Repovi čekanja ili problemi čekanja? Repovi čekanja mogu nastati : 1. • kada jedinice dolaze na neko mjesto usluge 2. • kada mjesta usluge čekaju na jedinice da ih se usluži Dualni karakter problema teorije repova Prilazni repovi čekanja Repovi u odlasku

• Osnovni statističko – teorijski proces u teoriji repova je Poissonov proces koji je izražen zakonitošću: o Pokazuje vjerojatnost da će u jedinici vremena biti u sustavu n osoba • A važan je i njemu inverzna zakonitost eksponencijalne distribucije koja praktički govori kolika je vjerojatnost da će se neka aktivnost (usluga) izvršiti u t vremenskih jedinica

• Kendall D. G. i Lee A. M. klasificirali su modele repova čekanja kroz procese dolazaka, usluge, broja uslužnih mjesta (kanala), veličine prostora za čekanje i pravila usluživanja • Obilježavanje glavnih karakteristika repova općenito je standardizirano u sljedećem kratkom obliku pisanja: (a/b/c) : (d/e/f) gdje simboli a, b, c, d, e, f predstavljaju osnovne elemente modela repova

• Značenje pojedinog elementa modela repova možemo uočiti iz sljedećih objašnjenja značenja: a – distribucija dolazaka b – distribucija usluge c – broj paralelnih usluga d – disciplina u repu e – maksimalan broj dozvoljen u sustavu (u repu + usluzi) f – veličina izvora pozivanja

• Standardizirano obilježavanje, simboli a i b koji označavaju distribuciju dolazaka i distribuciju usluga, zamjenjuju se sljedećim oznakama: • M – Poissonova ili Markovljeva distribucija dolaska ili odlaska (ili ekvivalentna eksponencijalna distribucija međuodlazaka ili usluge) • D – konstantan ili deterministički međudolazak ili vrijeme usluge • Ek – Erlangova ili gama distribucija međudolazaka ili usluge s parametrom k • GI – općenita nezavisna distribucija dolazaka • G – općenita distribucija odlazaka ili vremena usluge

(M/M/1) : (GD/∞/∞) • Najjednostavniji model koji se može primijeniti na mnoge sustave. • Polazi od toga da se na neko mjesto usluge s prosječnim brojem usluživanja osoba u jedinici vremena dolazi osoba po jedinici vremena. • Vrijeme potrebno za uslugu i intervali dolaska eksponencijalno su raspoređeni. To je isto kao da je broj usluga i broj dolazaka po vremenskoj jedinici raspodijeljen prema Poissonu • Model se koristi dvjema osnovnim veličinama: – Očekivanom stopom dolazaka klijenata (prosječan broj dolazaka klijenata u jedinici vremena) – ( ) – Očekivanom stopom davanja usluga (prosječan broj usluga u jedinici vremena) – ( )

• Ukoliko postoji jedan kanal i jedno mjesto usluga server može biti zaposlen ili ne zaposlen. • Vjerojatnost da će server biti zaposlen računa se tako da se podijeli prosječna stopa dolaska klijenata ( ) s prosječnom stopom usluživanja ( ): • Uvjet stabilnosti sustava: Ψ ‹ 1, tj. ‹ • Množenjem vjerojatnosti sa 100 dobiva se postotak zaposlenosti

• Ukupno vrijeme se sastoji od vremena kada je server zaposlen i vremena kada server nije zaposlen, za određivanje prosječnog vremena neangažiranosti dovoljno je vjerojatnost zaposlenosti oduzeti od 1: • Vjerojatnost nezaposlenosti servera (server je slobodan) označava ono stanje kada je sustav prazan, tako da vjerojatnost nezaposlenosti istovremeno predstavlja i vjerojatnost kada u sustavu ne postoji ni jedan klijent • Vjerojatnost da će u sustavu biti n osoba računa se na sljedeći način:

• Osnovni parametri sustava se računaju prema formulama: o Očekivani (prosječni) broj jedinica u sustavu o Očekivani (prosječni) broj jedinica u repu o Očekivano (prosječno) vrijeme čekanja u sustavu o Očekivano (prosječno) vrijeme čekanja u repu

(M/M/1) : (GD/∞/∞) • Npr. 96 studenata u tijeku 24 sata traže uslugu izdavanja potvrde na studomatu. Neka je za jednog studenta potrebno u prosjeku 10 minuta da se izda potvrda. U bilo kojem trenutku kapacitet studomata omogućava usluživanje samo jednog studenta što znači da se radi o jednostrukom repu čekanja (jednokanalnom). Treba izračunati: o o Prosječnu duljinu repa Prosječno vrijeme čekanja u repu Prosječnu duljinu sustava Prosječno vrijeme čekanja u sustavu

(M/M/1) : (GD/∞/∞) Jedinica vremena je 1 h Budući da je manji od 1, sustav je u stabilnom stanju U razdoblju od sat vremena 1, 33 studenta čeka da zatraži potvrdu U razdoblju od sat vremena 2 studenta je u sustavu (oni koji su zatražili izdavanje potvrde na studomatu i oni koji to nisu učinili) U prosjeku student čeka 30 minuta od trenutka kada je došao zatražiti potvrdu dok mu potvrda ne bude izdana U prosjeku student čeka 20 minuta da zatraži potvrdu

Hvala na pažnji