Modelarea matematica a proceselor biologice Curs Structura cursului
Modelarea matematica a proceselor biologice - Curs -
Structura cursului: Cap. 1: Introducere in modelarea numerica a proceselor biologice Cap. 2: Ecuatii de transport Cap. 3: Difuzia. Conductia termica. Cap. 4: Microcurgeri
Cap. 5: Micropicaturi Cap. 6: Transportul speciilor biochimice Cap. 7: Reactii biochimice Cap. 8: Curgerea si transportul de masa in domenii variabile Cap. 9: Transportul in camp magnetic Cap. 10: Transportul in camp electric
BIBLIOGRAFIE: 1) Friedman M. H. 2008, Principles and models of biological transport; Springer. 2) Kojic M, et al. 2008, Computer modeling in bioengineering; Wiley & Sons. 3) Berthier J. , Silberzan P. 2005, Microfluidics for Biotechnology; Artech House, Boston/London. 4) Alberts B, et al. 2002 Molecular biology of the cell; 4 th ed. New York, Garland Science. 5) Perthame B. 2007 Transport equations in biology; Birkhauser Verlag. 6) Dym C. 2004 Principles of mathematical modelling; Academic Press.
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) Capitolul 2: Ecuatii de transport 2. 1 Ecuatia de continuitate 2. 2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare 2. 3 Conditii initiale si conditii pe frontiera 2. 4 Adimensionalizare 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport (seminar)
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 1 Ecuatia de continuitate (densitatea de flux) Forma integrala a ecuatiei de continuitate:
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 1 Ecuatia de continuitate Folosind teorema divergentei (Gauss) obtinem: de unde rezulta forma diferentiala (locala) a ecuatiei de continuitate: In absenta termenului sursa : In mecanica fluidelor : cu cazul particular pentru fluide incompresibile : -2 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare Forma generala:
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare Tipuri de ecuatii cu derivate partiale: – dupa dependenta de variabila timp - stationare: solutia nu depinde de timp - nestationare: solutia depinde de timp – dupa ordinul de derivare - de ordinul I: - de ordinul II: - eliptice - parabolice - hiperbolice - etc. . -2 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 3 Conditii initiale si conditii pe frontiera Conditie initiala: Tipuri de conditii pe frontiera: - Dirichlet - Neumann - Robin - Cauchy - mixta
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 3 Conditii initiale si conditii pe frontiera Conditie de tip Dirichlet (Johann Peter Gustav Lejeune; 1805 -1859) -2 - Conditie de tip Neumann (Carl Gottfried; 1832 -1925)
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 3 Conditii initiale si conditii pe frontiera Conditie de tip Robin (Victor Gustave; 1855 -1897) Conditie de tip mixt -3 - Conditie de tip Cauchy (Augustin-Louis; 1789 -1857)
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 4 Adimensionalizare - Consta in impartirea marimilor fizice cu altele, de aceeasi natura, considerate de referinta pentru sistemul analizat, astfel incat sa obtinem in ecuatiile de transport si in conditiile initiale si pe frontiera doar cantitati adimensionale; - Pe langa termenii initiali, vor aparea niste rapoarte adimensionalizate (numere) numite parametri adimensionali; - Se urmareste ca valorile parametrilor adimensionali sa fie de ordinul unitatii (caz ideal); - In urma unei adimensionalizari corecte se vor obtine in ecuatie termeni de marimi comparabile, fara dimensiuni fizice, ceea ce usureaza din punct de vedere numeric rezolvarea problemei.
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 4 Adimensionalizare Exemplu de adimensionalizare: Obs: am notat cu “*” marimile fizice adimensionalizate -2 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport ETAPE DE LUCRU: - Construirea geometriei problemei si generarea retelei de calcul - Definirea modelului fizic (Preprocesare) : - ecuatii matematice - conditii initale si pe frontiera - parametrii de material - Rezolvarea numerica a problemei - Vizualizarea si analiza (numerica si fizica) a rezultatelor (Postprocesare) - Feedback/Debugging (daca este cazul!)
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Crearea geometriei (domeniului de calcul) si generarea retelei: -2 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Construirea geometriei si generarea retelei de calcul: -3 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport -4 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Ce este FREEFEM++? (http: //www. freefem. org/ff++/) • Solver de ecuatii cu derivate partiale (EDP) liniare bazat pe metoda elementului finit (FEM) • Sintaxa imprumutata din C++ • Geometrie 2 D sau 3 D axisimetrica • Generator de retea automat si performant • Permite lucrul cu geometrii si retele variabile (deformabile) • Descriere variationala a problemei (formula Green) • Foloseste o gama larga de solvere, la alegerea utilizatorului • Utilizeaza mai multe tipuri de functii de interpolare • Reprezentarea rezultatelor sub forma de grafice sau fisiere de date -5 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Exemplu de calcul: Conditie pe frontiera Caz particular: f (x, y) = 1. : -6 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Programul (fisier ***. edp): mesh dom=square(20, 20); fespace Vh(dom, P 1); Vh u, w; solve prob 1(u, w)=int 2 d(dom)(dx(u)*dx(w)+dy(u)*dy(w))+ int 2 d(dom)(-1*w) +on(1, 2, 3, 4, u=0); plot(dom, wait=1); plot(u, value=true); -7 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport -8 - Geometria si reteaua de calcul: Formulare variationala (formula Green) int 2 d(dom)( dx(u)*dx(w) + dy(u)*dy(w) ) int 2 d(dom)( f*w ) (forma biliniara) (forma liniara)
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Vizualizare si analiza rezultatelor: -9 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Exercitii: Construirea geometriei si generarea retelei de calcul Generarea unui domeniu dreptunghiular: border a (t=0, 1) {x=t; y=0; label=1; }; border b (t=0, 0. 5) {x=1; y=t; label=2; }; border c (t=1, 0) {x=t; y=0. 5; label=3; }; border d (t=0. 5, 0) {x=0; y=t; label=4; }; border ii (t=0, 1) {x=t; y=0. 25; label=5; }; plot(a(30)+b(20)+c(30)+d(20)+ii(30), wait=1); mesh ex 1 = buildmesh (a(30)+b(20)+c(30)+d(20)+ii(30)); plot (ex 1); -10 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport Generarea unui domeniu circular: border a (t=0, 2*pi){x=cos(t); y=sin(t); label=1; }; border b (t=0, 2*pi){x=0. 3+0. 3*cos(t); y=0. 3*sin(t); label=2; }; plot(a(50)+b(30), wait=1); plot(a(50)+b(-30), wait=1); mesh cerc 1=buildmesh (a(50)+b(30)); mesh cerc 2=buildmesh (a(50)+b(-30)); plot(cerc 1, wait=1); plot(cerc 2); -11 -
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2. 5 Simularea numerica a unui proces de transport -12 -
- Slides: 26